Valeur limite, pour les très faibles angles, de l'intensité observable du rayonnement X diffusé par les fluides

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Submitted on 1 Jan 1956

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Valeur limite, pour les très faibles angles, de l’intensité observable du rayonnement X diffusé par les fluides

G. Fournet

To cite this version:

G. Fournet. Valeur limite, pour les très faibles angles, de l’intensité observable du rayon-

nement X diffusé par les fluides. J. Phys. Radium, 1956, 17 (11), pp.940-943. �10.1051/jphys-

rad:019560017011094000�. �jpa-00235585�

VALEUR LIMITE, ^{POUR LES} TRÈS FAIBLES ANGLES,

DE L’INTENSITÉ OBSERVABLE DU RAYONNEMENT X DIFFUSÉ ^PAR LES FLUIDES Par G. FOURNET,

École Supérieure ^de Physique ^{et Chimie.}

Sommaire.

La valeur limite de l’intensité du rayonnement ^{X diffusé} par

fluide

de très faibles angles

^{été récemment} contreversée. Après avoir donné

critère permettant ^d’extraire

«

l’intensité observable » de l’intensité totale,

montrons que les formules classiques ^sont

accord

résultats (en

qui

l’intensité observable) ^obtenus

moyen d’une

analyse plus ^{fine des} phénomènes.

17, 1956,

1. Introduction.

L’expression de l’intensité du rayonnement X diffusé par ^un ensemble de

particules identiques, ^à symétrie sphérique, ^est généralement ^{mise sous la forme}

oùs désigne ^le rapport 2 sine lÀ (26 ^{et À sont} respec- tivement l’angle de diffusion ^et la longueur ^d’onde

du rayonnement),

le(s), l’intensité diffusée par ^un électron dans les

conditions considérées,

N, ^{le nombre} moyen de particules ^{en examen}

situées dans le volume irradié,

F(s), le facteur de structure des particules.

Les notations _{n, et} P(r, nl) ^sont classiques ; ^les

définitions correspondantes ^sont rappelées ^{dans le}

corps du présent ^article.

Nous avons déjà indiqué [3], ^en perfectionnant

les idées de quelques auteurs, qu’il ^faut ajouter

un terme à l’expression (1) pour obtenir l’intensité totale diffusée It(s). ^{Ce terme} complémentaire ^ne présente de valeurs notables que pour ^{les très} faibles angles, largement inférieurs au degré ; ^il

est pratiquement négligeable ^{pour les angles obser-}

vables et c’est pour cela que ^{nous avons} désigné [3]

l’expression (1) par « intensité observable » Io(s).

La notion de valeur limite lo(O) ^de l’intensité observable provient ^des difficultés expérimentales

et théoriques ^{de mesurer} correctement les phéno-

mènes de diffusion ^aux très petits angles. ^Cette

valeur limite est assez bien définie expérimen-

talement par le prolongement

^au sentiment » d’une courbe expérimentale.

La relation (1) permet ^d’obtenir pour ^cette valeur limite

Cette expression n’est pas uniformément admise.

Pour les auteurs qui ^{en sont} partisans ^{la valeur}

numérique ^de (2) ^{est encore} sujet ^de discussion ;

certains indiquent pour ^cette valeur

où x ^{est le} coefficient de compressibilité isotherme,

tandis _que d’autres fournissent zéro [1, 2, 5].

En travaillant sur ce sujet ^nous nous sommes

aperçus que cette question ^est très délicate et que la plupart ^{des calculs} qui ^{ont été effectués dans ce}

domaine ne sont pas ^assez rigoureux pour ^entraîner

une conviction universelle. Nous nous proposons dans cet article de montrer que la valeur limite ^est définie par (2) ^et (3) pour le modèle de fluide _que

nous définissons dans le paragraphe ^3.

2. Définition de l’intensité observable.

Avarit de définir ce modèle nous désirons revenir sur la notion d’intensité observable _pour en donner une

définition précise. ^Les expériences de diffusion des rayons X et leur dépouillement ^sont toujours

effectués en supposant que, les corrections d’absorp- ,

tion étant faites, ^les intensités observées sont

proportionnelles ^aux nombres de particules ^en

examen. Nous définirons donc l’intensité obser- vable comme étant la portion de l’intensité totale

qui varie linéairement avec le nombre _moyen N de

particules irradiées. Avec cette définition l’influence de la forme du volume V (la ^{notion de}

forme excluant la notion d’étendue) ^ne peut ^{se faire}

sentir que dans le ^terme complémentaire Ip(s).

3. Définition du modèle de fluide.

Nous consi- dérons un ensemble de No particules ^contenues

dans une enceinte de volume Vo. Cet ensemble est défini de la façon suivante : les particules ^sont

toutes identiques ; ^la statistique classique ^de

Boltzmann ^est utilisée ; l’énergie totale du fluide

peut s’exprimer ^{sous la forme}

la première ^{somme concerne} l’énergie cinétique

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019560017011094000

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(m ^{est la masse d’une} particule) ; ^elle comprend No termes. La seconde somme comprend également No termes, Ule ^{étant le} potentiel d’où dérive le

champ ^{de force extérieur} agissant ^sur la kième par-

ticule ; ^nous négligerons l’action’de la pesanteur

de sorte que U ^{ne sert} qu’à symboliser ^{sous forme}

d’un

champ répulsif ^très localisé mais intense » [7]

l’action des parois limitant le volume V°. ^Le

troisième terme de (4) comprend effectivement N (N - 1)

NO(NO - 1) ₂ valeurs du potentiel (Dkf p chaque q ^valeur

correspondant ^{p à} chacun des NO(NO - 1) ^{2 couples p}

formés par ^les No particules. ^Les particules ^pos-

sédant la symétrie sphérique, ^nous supposerons que le potentiel Pk; ^ne dépend que de la distance rkj entre les particules k ^et j. Les valeurs de la fonc- tion O(r) ^sont extrêmement élevées pour les petites

valeurs de r (traduction ^de l’impénétrabilité ^des particules) ^{et très faibles et} même sensiblement nulles pour les valeurs de ^r grandes devant les dimensions des particules ^{en examen} mais extrême- ment petites devant les dimensions de l’enceinte.

Pour décrire les propriétés ^{du fluide nous n’utili-}

serons que deux fonctions : la fonction nl Rk

telle _que

est la probabilité ^{de trouver un centre de} particule

~

dans l’élément de volume dRxentourant l’extrémité

- ~

(- ^-)

du vecteur Rk ; la fonction n2 RTe, R; ^{telle que}

est la probabilité ^{de trouver à la} fois ^{le centre d’une} particule dans l’élément dRk ^{et le centre d’une autre} particule ^{dans l’élément} dRi.

Nous allons maintenant donner les résultats que Yvon [7] ^{a obtenu} sans aucune approximation,

pour ^ce modèle. La fonction nl Rx ^{possède une}

valeur constante n, dans à peu près ^{toute l’étendue}

de l’enceinte Vo ^{et ne} prés’ente des valeurs diffé- rentes de cette constante que ^sur les bords de l’enceinte Vo ; ^{dans notre modèle ces variations}

sont dues au potentiel

^U.

La fonctions forme

peut s’exprimer ^{sous la}

Dans un domaine V, ^un peu plus restreint que

celui où nl(lt,) ^est constant et égal ^à n, la fonc-

tion P Rk, Rf ^ne dépend que de n, ^et de la dis-

tance rjw ^{entre les centres des} particules ^{en examen ;}

nous noterons cette fonction par P(rkj, n1) ; ^{sur les}

bords du volume Vola ^fonction P(Rk, Rf présente quelques variations par rapport ^{à celles} qui ^seraient

déterminées à partir ^de P(rkj, nl).

La fonction Q(R7C! ei) n’a pas été complètement

déterminée par Yvon ; ^{il a été} simplement ^montré

que pour les distances _rkl grandes devant les dimen- sions des particules ^{en examen on obtenait}

La fonction b Rk , dont la valeur est constante dans le domaine V, (cette ^{valeur ne} dépend que de nl), présente des variations sur les bords de Vo.

Pour résumer les résultats d’Yvon que ^nous

venons d’exposer ^nous pouvons indiquer que dans

une très grande partie V, ^de Ya la fonction ni Rk

présente ^{une valeur constante} nI très voisine de No /Yo. ^{Dans ce domaine} Y, la fonction

n2 Rk, It) ^{ne dépend que de la distance rki entre les}

centres des deux particules ^k et j considérées ;

pour les valeurs de ry comprises ^{entre 0 et} plusieurs

diamètres de particules (20 par exemple) ^nous

avons

pour ^les grandes ^{valeurs de rki nous avons} plus simplement

Le terme en 1/NO ^des développements (7) ^et (8)

n’a jamais ^{été considéré} dans des calculs de’ dif-

fusion ; ^nous montrerons qu’il peut ^{être essentiel}

aussi donnons nous la valeur de b2(n1) ^déterminée

par Yvon

le premier ^terme négligé ^{étant en 1} lN o.

4. Calcul de l’intensité du rayonnement ^diffusée.

-

L’expression générale ^et complète de l’intensité moyenne diffusée par ^un ensemble de No particules

contenues dans un volume Vo ^{dans le cas où le}

volume irradié est V Vo ^est fournie par [4]

où le vecteur s , ^de module s, ^est dirigé ^{suivant la}

bissectrice intérieure des directions des rayon- nements incident et diffusé.

Nous allons considérer le cas où le volume irradié est compris dans le volume V, (cf. paragraphe 3) ;

nous obtenons à partir ^de (10)

Nous pouvons maintenant considérer le pouvoir

diffusant

comme constitué d’une somme de cinq ^termes que

nous désignerons par A, B, C, ^{D et E}

Le calcul du terme A est très simple ^{et fournit}

la valeur ^{n1V ; cette valeur} représente ^{le nombre}

moyen N ^de particules ^situées dans le volume V.

Les termes C et .E sont proportionnels ^{à l’inté-} grale ^double

qui peut s’interpréter ^comme représentant ^l’inten-

sité diffusée (cf. [3] par exemple) par ^une particule homogène, de densité électronique égale ^{à l’unité}

et de volume V. Nous désignons par V2 i s ^la

valeur de cette intégrale double ; d’après ^cette

définition la valeur de i(O) ^est l’unité, nous savons

d’autre part que pour ^une

particule » ^d’un

volume V dont l’ordre de grandeur ^{est de} plu-

sieurs mm3la fonction 1 s ^décroît extrêmement

rapidement ^{avec s. Avec ces} zlotations les termes C et E peuvent maintenant s’écrire sous la forme

Le calcul du terme B s’effectue par l’inter- médiaire des stades suivants :

-

nous prenons ^comme nouvelles variables

d’intégration

volume permis à r;1

- la fonction P(rkj, ni) ^{- 1 étant} pratiquement

nulle pour des valeurs de rkj très faibles devant les dimensions de V nous pouvons remplacr ^le

«

volume permis ^{au vecteur} r1r,;

par ^un volume infiniment étendu.

L’intégrale par rapport ^à rk1r devient ainsi

où nous pouvons maintenant supprimer ^l’indice kj

et considérer simplement ^{l’élément d’inté-} gration d r ; ^une intégration ^{effectuée sur des}

~

vecteurs r de même module mais de toutes les orientations possibles fournit pour (13)

ce qui permet ^{tous calculs} faits, d’écrire .B ^sous la forme

Par des raisonnements analogues la valeur du terme D est

puisque ^{la fonction} Q(r, n1) + b 2(nl) ^est rati-

quement ^nulle pour ^{des valeurs de r} petites ^evant

les dimensions du volume V.

5. L’intensité observable.

^{Grâce au} critère que ^{nous avons} précédemment ^{défini nous} voyons que l’intensité observable, groupant ^{les termes} A,

B et D, ^est

tandis que le ^terme complémentaire I,(’s ) ^s’écrit

sous la forme

943

L’intégrale ^en Q(r, nl) étant du même ordre de

grandeur que l’intégrale ^en P(r, nl) ^nous voyons que l’expression ^de l’intensité observable est bien celle que nous avons donnée (1) ^{au début de cet} article, ^{à des} corrections tout à fait négligeables

en 1 /No près.

Les termes en Q(r, n1) (et ^{sa limite} b 2(nl» jouent

un rôle quand ^{on considère un} angle de diffusion extrêmement faible et tendant vers zéro. Dans ce cas le deuxième terme de Ip(0)

peut être du même ordre de grandeur que la valeur limite lo(O) puisque b2(ni) ^est de l’ordre de l’unité l’unité (cf. (9)). ^{Si nous nous} limitons dans l’expres-

sion de l’intensité totale It(o) aux termes ^{dont les}

ordrés de grandeur ^sont N2 ^et N nous pouvons donc négliger ^{le terme en} Q(r, nl) ^et b2 (n1) pro- venant de l’intensité observable mais nous devons

prendre ^en compte ^{le terme en} b2(ni) ^{du terme} complémentaire 1p(0) pour écrire

Cette expression ^{va nous} permettre ^{de montrer}

comment certains auteurs [1], [2], [5] ^ont pu croire que la limite Io(0) (qui correspond ^{à la} première ligne ^{du second membre de} (16)) était nulle. Consi- dérons le cas où le volume Vo ^{contenant les} parti-

cules est totalement irradié ; l’amplitude ^diffusée

à l’angle ^{nul est} NoV-I7(Ô) F(O) ^et nous avons donc alors :

Les calculs que ^{nous avons} développés ^{dans le} paragraphe ^{4 ne sont valables en toute} rigueur que

lorsque ^le volume irradié V est compris ^{dans le}

volume V1, ^lui-même plus petit que Vo. ^La façon

dont nous avons défini V 1 ^montre que le

rapport VI IV 0 ^{est d’autant} plus près ^{de l’unité}

que Vo ^est plus grand ; ^nous pouvons ^{donc dans} le cas où V

Vo employer ^nos résultats, ^{et en} particulier l’expression (16), ^{en ne} commettant sur

les termes écrits de cette expression (16) que des

erreurs aussi faibles que ^{nous le} désirons. Nous obtenons ainsi avec N

No (cf. (17)).

Pour satisfaire cette égalité quand ^{le terme}

en b2(nl) n’a pas été pris ^en compte, ^{il ne reste} plus qu’à écrire que

est égal ^à zéro ; C’est ainsi que ^cette relation que

nous condamnons a été obtenue. Si par ^{contre on} considère le terme en b2(nl) ^{et sa valeur} (9) ^on

obtient l’identité No

No.

On trouvera dans de nombreux articles le passage de (2) ^à (3) (cf. par exemple [6], [7] ^et [3]).

6. Conclusions.

Nous pouvons maintenant voir pourquoi le calcul de la limite de l’intensité observable _{pour les} très faibles angles ^est particu-

lièrement délicat. Si l’intensité observable lo(o)

est de l’ordre de N, ^{le terme} complémentaire Ip(0)

et l’intensité totale lt(O) ^sont de l’ordre de N2 ;

cf. les relations (14), (15) ^et l’égalité

Une erreur relative de 1 /N ^{sur le terme} complé-

mentaire Ip(0) ^soit une erreur absolue de l’ordre de N2 X 1

^{N est} donc du même ordre de

N

grandeur que l’intensité observable ; ^cette

remarque permet ^{de nous rendre} compte ^{de la} précision ^{et de la} rigueur nécessaires dan s le calcul

du terme complémentaire ^{et nous} explique ^{le rôle’}

essentiel, contrairement à ce que l’on pourrait

penser, du ^{terme en} Q(r, nl) /No ^du développement

de n2(r) ^{dans ce} calcul ; Yvon lui-même reconnaît que la

différence entre

et n12 P(r, ni) ^{est un} peu subtile ^».

L’expression (16) ^{nous montre} que le rôle de b2(n¡) ^{peut être négligé quand No est grand}

devant lh ; c’est pour cela qu’il ^est relativement facile d’obtenir [3] ^des conclusions exactes dans le

cas où le volume irradié V est petit ^{devant le}

volume Vo.

Nous pensons ^montrer dans un prochain ^article

comment il est possible d’appliquer ^{un certain}

nombre des idées que ^{nous venons} de développer

à la diffusion des rayons X par les substances

amorphes.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^BAGGHI (S. N.), ^Acta Cryst., 1954, 7, ^665.

[2] ^BAGGHI (S. N.), Communication personnelle.

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Diffusion des rayons X par les fluides» dans Handb. der Physik, Springer-Verlag, 1957.

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76.

[7] ^YVON (J.), Actualités Scientifiques ^et Industrielles,

Hermann, ^nos 542 et 543.