Feuille d’exercices du cours de M2 2012
C. Noot-Huyghe
1-Th´eorie des faisceaux
1. Somme directe de faisceaux. SoientF etG 2 faisceaux sur un espace toplogique X. Montrer que le pr´efaisceauU 7→ F(U)LG(U)est un faisceau et satisfait la propri´et´e universelle de la somme directe dans la cat´egorie des faisceaux.(cf sous- section pr´ec´edente)
2. Soit f : X → Y une application continue entre espaces topologiques. Soient F un faisceau sur X, et G un faisceau sur Y. Montrer qu’il existe des applications naturelles f−1f∗F → F etG → f∗f−1G.
Utiliser ces applications pour montrer qu’il existe une bijection naturelle entre les ensembles
HomX(f−1G,F)etHomY(G,f∗F).
On dit que f−1est adjoint `a gauche de f∗et que f∗est adjoint `a droite de f−1. 2-Sch´emas
1. 1- Montrer qu’il existe un morphisme canonique f spec(C[X]→R[X]).
2- Expliciter les fibres de ce morphisme. Montrer qu’elles sont finies, de cardi- nal≤2.
3- Pour tout pointP deC[X], etQ = f(P), d´ecrire les corps r´esiduelsk(P)et k(Q)ainsi que l’extensionk(P),→k(Q)induite par f.
2. 1- D´ecrire les fibres du morphisme canoniquespec(Z[X])→spec(Z).
3. SoitXun sch´ema, pour toutx∈ X,Oxle germe enxdu faisceau structural,k(x) le corps r´esiduel de cet anneau local. SoitKun corps. Montrer que se donner un morphisme de sch´emas :specK→ Xest ´equivallent `a se donner un pointxdeX et une inclusion :k(x)→K.
4. SoientXun sch´ema sur un corpsk, :k[T1, . . . ,Tn] → Γ(X,OX)un morphisme dek-alg`ebres etf:X→Ank le morphisme induit par . On appelle point rationnel deXun morphisme :speck→Xet on noteX(k)l’ensemble des points rationnels deX.
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1- Montrer queAnk(k)'kn,
2- Montrer que via l’identification donn´ee `a la question pr´ec´edente, on a f(x) = (f1(x), . . . ,fn(x)), o `u fi = (Ti) et fi(x) est l’image de fi dans k(x) =k.
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