10 Exercices d’application directe du cours 10.1 Distributions continues de charges
1) Soit un cylindre de rayon 𝑟 et de hauteur ℎ chargé uniformément en volume de densité volumique de charge 𝜌.
Donner la charge totale contenue dans ce cylindre.
2) Soit une sphère de rayon 𝑟 chargée uniformément en volume de densité volumique de charge 𝜌. Donner la charge totale contenue dans cette sphère.
3) Soit une sphère de rayon 𝑟 chargée uniformément en surface de densité surfacique de charge 𝜎. Donner la charge totale contenue dans cette sphère.
4) Soit deux plans parallèles infini d’équations respectives 𝑧 = 𝑎/2 et𝑧 = −𝑎/2, entre lesquels se trouve une distribution volumique de charge uniforme de valeur 𝜌 . On suppose que la distance entre les deux plans est très faible devant leur dimension latérale. Exprimer la densité surfacique de charge 𝜎 en fonction de 𝜌.
5) Soit un cylindre de rayon 𝑟 et de hauteur ℎ chargé uniformément en volume de densité volumique de charge 𝜌.
On suppose que le rayon 𝑟 est très faible devant sa hauteur. Le cylindre peut donc être confondu avec un fil de longueur ℎ et de densité linéique de charge 𝜆. Exprimer la densité linéique de charge 𝜆en fonction de 𝜌.
1) Cylindre
𝑄 = ∭ 𝜌𝑑𝜏𝑉 = 𝜌𝜋𝑟2ℎ 2) Sphère
𝑄 = ∭ 𝜌𝑑𝜏𝑉 =4
3𝜋𝑟3𝜌 3) Sphère en surface 𝑄 = ∬ 𝜎𝑆 𝑑𝑆 = 4𝜋𝑟2𝜎 4) Plan
𝜎 = 𝜌𝑎 5) Fil chargé 𝜆 = 𝜋𝑟2𝜌
10.2 Symétries de la distribution de charges
1) Soit un cylindre de rayon 𝑎 et de hauteur infinie chargé uniformément en volume de densité volumique de charge 𝜌. Déterminer les plans de symétrie de la distribution de charges. Que peut-on en déduire sur la direction du champ électrostatique en un point 𝑀 situé à une distance 𝑟 de l’axe du cylindre ?
2) Soit une sphère de rayon 𝑎 chargée uniformément en volume de densité volumique de charge 𝜌. Déterminer les plans de symétrie de la distribution de charges. Que peut-on en déduire sur la direction du champ électrostatique en un point 𝑀 situé à une distance 𝑟 du centre de la sphère ?
3) Soit un plan infini chargé uniformément en surface de densité surfacique de charge 𝜎. Déterminer les plans de symétrie de la distribution de charges. Que peut-on en déduire sur la direction du champ électrostatique en un point 𝑀 situé à une distance 𝑧 du plan ?
1) Cylindre
On se place dans une base cylindrique.
Plans de symétrie : plan contenant l’axe du cylindre + plan perpendiculaire à l’axe du cylindre Direction du champ électrostatique :
Le plan contenant l’axe du cylindre et passant par le point M est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique sera donc compris dans ce plan : 𝐸⃗ = 𝐸𝑟(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑟 𝑧(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
Le plan perpendiculaire à l’axe du cylindre et passant par le point M est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique sera donc compris dans ce plan : 𝐸⃗ = 𝐸𝑟(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑟 𝜃(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝜃
Le point M étant à l’intersection de ces deux plans : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟 2) Sphère
On se place dans une base sphérique.
Plans de symétrie : plans coupant la sphère en son centre Direction du champ électrostatique :
Les plans passant par le centre de la sphère et par le point M est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique sera donc compris dans l’intersection de ces deux plans : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟
3) Plan infini
On se place dans une base cartésienne.
Plans de symétrie : plans contenant l’axe Oz perpendiculaire du plan Direction du champ électrostatique ;
Les plans contenant l’axe Oz et passant par le point M (xMz et yMz) sont des plans de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique sera donc compris dans l’intersection de ces deux plans : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
Parité de la fonction :
De plus, le plan contenant contenant la distribution de charge (xOy) est un plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrostatique sera donc symétrique par rapport à ce plan. Donc pour 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) et 𝑀′(𝑥, 𝑦, −𝑧), le champ électrostatique sera: 𝐸(𝑀′) = −𝐸(𝑀)
10.3 Invariance de la distribution de charges
1) Soit un cylindre de rayon 𝑎 et de hauteur infinie chargé uniformément en volume de densité volumique de charge 𝜌. De quelles coordonnées dépend le champ électrostatique ?
2) Soit une sphère de rayon 𝑎 chargée uniformément en volume de densité volumique de charge 𝜌. De quelles coordonnées dépend le champ électrostatique ?
3) Soit un plan infini chargé uniformément en surface de densité surfacique de charge 𝜎. De quelles coordonnées dépend le champ électrostatique ?
1) Cylindre
La distribution de charge est invariante par translation le long de l’axe du cylindre et par rotation autour du même axe, d’où : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑟, 𝜃, 𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝐸(𝑟)𝑢𝑟 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟
2) Sphère
La distribution de charge est invariante par rotation selon 𝜑 𝑒𝑡 𝜃 , d’où : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑟, 𝜑, 𝜃)𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝐸(𝑟)𝑢𝑟 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟 3) Plan
La distribution de charge est invariante par translation selon x et y, d’où : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝐸(𝑧)𝑢𝑧 ⃗⃗⃗⃗ 𝑧 De plus, on peut dire que pour 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) et 𝑀′(𝑥, 𝑦, −𝑧): 𝐸(−𝑧) = −𝐸(𝑧)
La fonction est impaire.
10.4 Géométrie des lignes de champ et surfaces équipotentielles
Sans effectuer de calculs, préciser la nature géométrique des lignes de champ et des surfaces équipotentielles dans les cas étudiés suivants :
1) sphère chargée en volume 2) cylindre chargé en volume 3) plan chargé en surface 1) Sphère
Symétries et invariances : les lignes de champ sont radiales orientées du centre vers la périphérie Les surfaces équipotentielles leur sont perpendiculaire, ce sont donc des sphères
2) Cylindre
Symétries et invariances : les lignes de champ sont radiales orientées du centre vers la périphérie Les surfaces équipotentielles leur sont perpendiculaire, ce sont donc des cylindres
3) Plan
Symétries et invariances : les lignes de champ sont dirigées selon Oz en partant du plan chargé Les surfaces équipotentielles leur sont perpendiculaire, ce sont donc des plans perpendiculaires à Oz
10.5 Relation potentiel-champ
Dans l’espace muni d’un repère cartésien (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) un champ électrique est défini par son potentiel :
{
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝐸0 𝑥2
2𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝐸0𝑥 + 𝐸0𝑎
2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 𝑎 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸0𝑥 + 𝐸0𝑎
2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 < −𝑎
où 𝐸0 est une constante
1) Exprimer le champ dans les différents domaines.
2) Peut-on parler de champ uniforme ? 1) Champ électrique
𝐸𝑥 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥 ⇒ {
𝐸⃗ = 𝐸0𝑥
𝑎𝑢⃗ 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 𝐸⃗ = 𝐸0𝑢⃗ 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 𝑎
𝐸⃗ = −𝐸0𝑢⃗ 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 < −𝑎 2) Champ uniforme
Le champ est uniforme en dehors de –a < x < a.
10.6 Cas d’une masse ponctuelle
Une masse ponctuelle 𝑀 est placée à l’origine du repère, on s’intéresse au flux du champ de gravitation qu’elle crée à travers une sphère de centre 𝑂 et de rayon 𝑅.
1) Prévoir le signe du flux sortant.
2) Effectuer le calcul du flux et retrouver le résultat prévu par le théorème de Gauss.
3) Par analogie avec le potentiel électrostatique, retrouver l’expression de l’énergie potentielle de la force gravitationnelle entre une masse M et une masse m. On supposera l’énergie potentielle nulle à l’infini.
1) Signe du flux
Le champ de gravitation est radial et dirigé vers O (car attractif). Il est donc de sens opposé, la normale sortant de la surface. Le flux sera donc négatif.
2) Théorème de Gauss
Le champ de gravitation s’écrit : 𝐺 = −𝐺𝑀
𝑅2𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟 Son flux : ∯ 𝐺 ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝛴 = ∯ −𝐺𝑀
𝑅2𝑢⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆𝑟 ⃗⃗⃗⃗
𝛴 = −𝐺𝑀
𝑅2∯ 𝑑𝑆𝛴 = −𝐺𝑀
𝑅24𝜋𝑅2 = −4𝜋𝐺𝑀 Résultat conforme au théorème de Gauss.
3) Energie potentielle de la force gravitationnelle
Dans le cas d’une masse ponctuelle M placée à l’origine du repère, agissant sur une masse m (à la distance r), l’énergie potentielle s’écrit (en supposant l’énergie potentielle nulle à l’infini) :
𝑑𝐸𝑝= −𝐺𝑚𝑀
𝑟3 𝑟 ⋅ 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝐸𝑝(𝑟) − 𝐸⏟ 𝑝(∞)
=0
= −𝐺𝑚𝑀 ∫ 𝑢⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑟𝑟 ⃗⃗⃗⃗
𝑟2
∞ 𝑟
= −𝐺𝑚𝑀 [−1 𝑟]
𝑟
∞
= −𝐺𝑚𝑚′
𝑟
11 Exercices type écrit (A rendre en DM pour le 14/12/2020 et le 04/01/2021)
Seront donnés dans un document différent
12 Exercices type oral
12.1 Vitesse d’un électron en orbite circulaire
En 1913, le physicien danois Niels Bohr imagine un modèle « planétaire » de l’atome afin d’expliquer les raies émises par des atomes d’hydrogène excités. Ce modèle, aujourd’hui obsolète, ne permit pas d’expliquer les spectres des autres atomes.
Dans le modèle de Bohr, l’atome d’hydrogène est un système à deux corps ponctuels constitué d’un noyau, le proton de masse 𝑚𝑝 et charge électrique +𝑒, et d’un électron M, de masse 𝑚𝑒 et de charge −𝑒. Le proton est considéré comme fixe dans le référentiel d’étude supposé galiléen (𝑂, 𝑢⃗⃗⃗⃗ , 𝑢𝑥 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑢𝑦 ⃗⃗⃗⃗ ) où l’origine 𝑂 correspond au noyau de 𝑧 l’atome.
1) Montrer que le mouvement circulaire de l’électron autour du noyau est uniforme et exprimer sa vitesse 𝑣 en fonction de 𝑟, 𝑒, 𝑚𝑒 et 𝜀0.
2) Pourquoi ce modèle est-il qualifié de « planétaire » ? Retrouver alors la vitesse d’un satellite de masse 𝑚𝑠 en mouvement circulaire de rayon 𝑟 autour de la Terre. On introduira 𝐺, la constante gravitationnelle.
12.2 Carré de 4 charges
Soit 4 charges disposées à chaque somment d’un carré de côté 𝑎√2. On étudiera les cas suivants :
a b c d e
1) Donner la direction du champ créé en 𝑂 centre du carré, puis calculer le champ électrostatique en 𝑂.
2) Vérifier la direction du champ électrique donné à la question 1 par l’examen des symétries.
3) Calculer le potentiel créé en 𝑂.
4) Calculer le potentiel sur l'axe dans le cas (a), puis le champ sur l'axe.
1) Champ créé en O
a Le champ est nul en O : 𝐸⃗ (𝑂) = 0⃗ b Même principe avec : 𝐸⃗ (𝑂) = 0⃗ c Le champ est donc nul en O : 𝐸⃗ (𝑂) = 0⃗
d Le champ est donc orienté selon la verticale (Oy) : 𝐸⃗ = 𝐸𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦
e Le champ est donc orienté selon la diagonale (avec charges +q et -q) : 𝐸⃗ = 𝐸1𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑥 2𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 2) Calcul du champ
d 𝐸⃗ = ∑ 𝐸𝑖⃗⃗⃗ 𝑖= 1
4𝜋𝜀0∑ 𝑄𝑖
(𝑃𝑖𝑂)3𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖𝑂
𝑖 = 1
4𝜋𝜀0
(
𝑞
𝑎2(𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ − 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) +𝑦
𝑞
𝑎2(−𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ − 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) +𝑦
− 𝑞
𝑎2(−𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) +𝑦
− 𝑞
𝑎2(𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) )𝑦
= −𝑞
𝜋𝜀0𝑎2𝑠𝑖𝑛 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ =𝑦 −√2𝑞
2𝜋𝜀0𝑎2𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦
e
𝐸⃗ = ∑ 𝐸⃗⃗⃗ 𝑖
𝑖
= 1
4𝜋𝜀0∑ 𝑄𝑖 (𝑃𝑖𝑂)3𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖𝑂
𝑖
= 1
4𝜋𝜀0
( 𝑞
𝑎2(𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ − 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) +𝑦 𝑞
𝑎2(−𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ − 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) +𝑦
− 𝑞
𝑎2(−𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) +𝑦 𝑞
𝑎2(𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ )𝑦 ) 𝐸⃗ = 𝑞
2𝜋𝜀0𝑎2𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ −𝑥 𝑞
2𝜋𝜀0𝑎2𝑠𝑖𝑛 (𝜋
4) 𝑢⃗⃗⃗⃗ =𝑦 √2𝑞
4𝜋𝜀0𝑎2𝑢⃗⃗⃗⃗ −𝑥 √2𝑞 4𝜋𝜀0𝑎2𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦
2) Examen des symétries
Le plan contenant O et passant par les 4 charges est plan de symétrie.
a Les deux plans passant par O et contenant la diagonale du carré sont plans de symétrie : le champ appartient donc à l’intersection de ces deux plans.
Le champ est donc nul en O : 𝐸⃗ (𝑂) = 0⃗ b Même principe avec : 𝐸⃗ (𝑂) = 0⃗
c Les deux plans passant par O et contenant la diagonale du carré sont plans de symétrie : le champ appartient donc à l’intersection de ces deux plans.
Le champ est donc nul en O : 𝐸⃗ (𝑂) = 0⃗
d Le plan passant par O et coupant les côtés verticaux du carré est un plan d’anti-symétrie : le champ lui est donc perpendiculaire en O.
Le plan passant par O et coupant les côtés horizontaux du carré est un plan de symétrie : le champ appartient donc à ce plan.
Le champ est donc orienté selon la verticale (Oy) : 𝐸⃗ = 𝐸𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦
e Le plan passant par O et contenant la diagonale du carré (avec charges +q et -q) est plan de symétrie : le champ appartient donc à ce plan.
Le plan passant par O et contenant la diagonale du carré (avec charges +q et +q) est plan d’anti-symétrie : le champ lui est donc perpendiculaire en O.
Le champ est donc orienté selon la diagonale (avec charges +q et -q) : 𝐸⃗ = 𝐸1𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑥 2𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 3) Potentiel créé en O
Le plan contenant O et passant par les 4 charges est plan de symétrie.
a Le potentiel doit donc être constant en O. On peut le calculer par : 𝑉(𝑂) = 1
4𝜋𝜀0∑ 𝑄𝑖
𝑃𝑖𝑂
𝑖 = 1
4𝜋𝜀0×4𝑞
𝑎 = 𝑞
𝜋𝑎𝜀0
b 𝑉(𝑂) = 1
4𝜋𝜀0∑ 𝑄𝑖 𝑃𝑖𝑂
𝑖
= 1
4𝜋𝜀0×4(−𝑞)
𝑎 = − 𝑞
𝜋𝑎𝜀0 c Le potentiel doit donc être constant en O. On peut le calculer par : 𝑉(𝑂) = 1
4𝜋𝜀0∑ 𝑄𝑖
𝑃𝑖𝑂
𝑖 = 1
4𝜋𝜀0×2𝑞−2𝑞
𝑎 = 0 d Le potentiel est égal à : 𝑉(𝑂) =4𝜋𝜀1
0∑ 𝑄𝑖
𝑃𝑖𝑂 𝑖 =4𝜋𝜀1
0×2𝑞−2𝑞𝑎 = 0 e Le potentiel est égal à : 𝑉(𝑂) = 1
4𝜋𝜀0∑ 𝑄𝑖
𝑃𝑖𝑂
𝑖 = 1
4𝜋𝜀0×3𝑞−𝑞
𝑎 = 𝑞
2𝜋𝑎𝜀0
2) Champ et potentiel sur l’axe
On a les mêmes symétries que précédemment, donc le champ est orienté selon Oz et ne dépend que de z. On calcule le potentiel : 𝑉(𝑧) = 1
4𝜋𝜀0∑ 𝑄𝑖
𝑃𝑖𝑀
𝑖 = 1
4𝜋𝜀0× 4𝑞
√𝑎2+𝑧2= 𝑞
𝜋𝜀0√𝑎2+𝑧2
On peut alors calculer le champ : 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 = −𝑑𝑉
𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ =𝑧 −𝑞𝑧
𝜋𝜀0(𝑎2+𝑧2)32
𝑢𝑧
⃗⃗⃗⃗
12.3 Champ créé par un segment et un disque uniformément chargés
1) Calculer le champ créé par un segment de charge linéique 𝜆 en tout point de son plan médiateur.
2) Calculer le champ créé par un disque de charge surfacique 𝜎 en tout point de son axe.
1) Champ créé par un segment Symétries et invariances :
Le plan xOz et le plan rOy sont des plans de symétrie de la distribution de charge : le champ appartient donc à l’intersection de ces deux plans :
𝐸⃗ = 𝐸𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟
De plus, on cherche le champ seulement dans le plan médiateur du segment, il ne dépend donc que de la coordonnée r : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑟)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟
Calcul du champ : 𝐸⃗ (𝑀) = 1
4𝜋𝜀0∫𝐿𝜆𝑃𝑀𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3𝑑𝑙 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑟𝑢𝑧 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟 𝑒𝑡 𝑃𝑀 = √𝑟2+ 𝑧2 𝑒𝑡 𝑑𝑙 = 𝑑𝑧 𝐸⃗ (𝑀) = 1
4𝜋𝜀0∫ 𝜆𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟 (𝑟2+ 𝑧2)32
𝑑𝑧
𝑙/2
−𝑙/2
= 𝜆
4𝜋𝜀0[1 𝑟
𝑧
√𝑟2+ 𝑧2]
−𝑙/2 𝑙/2
𝑢𝑟
⃗⃗⃗⃗ = 𝜆 4𝜋𝑟𝜀0
𝑙
√𝑟2+ (𝑙 2)
2𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟 2) Champ créé par un disque
Symétries et invariances :
Le plan xOz et le plan yOz sont des plans de symétrie de la distribution de charge : le champ appartient donc à l’intersection de ces deux plans : 𝐸⃗ = 𝐸𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
De plus, le plan xOy est un plan de symétrie de la distribution de charge : le champ est O est nul.
De plus, on cherche le champ seulement dans selon l’axe du disque, il ne dépend donc que de la coordonnée z : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
Calcul du champ : 𝐸⃗ (𝑀) = 1
4𝜋𝜀0∫𝜎𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀3𝑑𝑆
𝐿
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑢𝑟 ⃗⃗⃗⃗ 𝑧 𝑒𝑡 𝑃𝑀 = √𝑟2+ 𝑧2 𝑒𝑡 𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝐸⃗ (𝑀) = 1
4𝜋𝜀0∫ ∫ 𝜎𝑧𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧 (𝑟2+ 𝑧2)32
𝑑𝑟
𝑅 0
𝑑𝜃
2𝜋 0
= 2𝜋𝜎
4𝜋𝜀0∫ 𝑧𝑟 (𝑟2+ 𝑧2)32
𝑑𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
𝑅 0
= 𝜎𝑧
2𝜀0[ −1
√𝑟2+ 𝑧2]
0 𝑅
𝑢𝑧
⃗⃗⃗⃗
= 𝜎𝑧 2𝜀0(1
|𝑧|− 1
√𝑅2+ 𝑧2) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
12.4 Etude d’un canon à électrons d’un oscilloscope cathodique (CCP TSI 2014)
Une cathode, notée C, émet des électrons de vitesse initiale négligeable. ON établit entre la cathode C et une anode, notée A, une différence de potentiel notée 𝑈𝐴𝐶 = 𝑉𝐴− 𝑉𝐶 > 0. Les électrons sont ainsi accélérés lors de leur parcours entre C et A. La distance entre C et A est notée d.
1) Déterminer, en un point de l’axe z situé entre la cathode et l’anode, la direction et le sens du champ électrique 𝐸⃗
crée par la tension 𝑈𝐴𝐶. Exprimer ‖𝐸⃗ ‖ en fonction de 𝑈𝐴𝐶 et d.
2) Déterminer l’expression de la force électrostatique 𝑓 subie par un électron entre C et A en fonction de 𝑈𝐴𝐶, d, e (charge élémentaire) et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
3) La tension 𝑈𝐴𝐶 appliquée est de l’ordre de 1kV. La distance d est de l’ordre de 0,1m. Le poids des électrons peut-il être négligé devant la force électrostatique précédente ? Justifier quantitativement la réponse apportée.
5) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, déterminer l’expression de la vitesse 𝑣0 avec laquelle les électrons atteignent l’anode. Exprimer 𝑣0 en fonction de 𝑈𝐴𝐶, 𝑚𝑒 et e. Déterminer l’ordre de grandeur de la valeur numérique de la vitesse 𝑣0.
Données : - Charge élémentaire : 𝑒 = 1,6. 10−19𝐶 - Masse de l’électron : 𝑚𝑒= 9,1. 10−31𝑘𝑔
1/ Le champ électrique est orienté selon Oz et dirigé de l’anode vers la cathode.
2/ f = −eE 𝑓 = 𝑒𝑈𝐴𝐶
𝑑 𝑒⃗⃗⃗ 𝑧 3/ ‖𝑓 ‖ ≈10−19103
10−1 ≈ 10−15𝑁 𝑒𝑡 ‖𝑃⃗ ‖ ≈ 10−30101≈ 10−29𝑁
Le poids des électrons peut être négligé devant la force électrostatique précédente.
4/ Théorème de l’énergie cinétique :
( )
12 02 AC 02 2 ACc ext e
e
U eU
E W F m v f CA e d v
d m
=
= = = 𝑣0 = √2𝑒𝑈𝑚𝑒𝐴𝐶19 3
14 7
0 31
2 1,6.10 10
4.10 2.10 9,1.10
v
−
−
𝑣0≈ 107𝑚/𝑠
12.5 Différents types de condensateurs
Pour les deux types de condensateur suivants, on suppose que la charge est répartie en surface des armatures.
1) Calculer la capacité d’un condensateur sphérique d’armatures concentriques de rayons respectifs 𝑅1 et 𝑅2 avec 𝑅1< 𝑅2. On supposera que la charge 𝑄 est portée par l’armature intérieure. Comparer à l’expression de la capacité d’un condensateur plan quand la distance 𝑑 entre les deux armatures devient très faible devant leur rayon.
2) Déterminer l’énergie stockée entre les armatures du condensateur sphérique en fonction de la 𝑄.
3) Retrouver l’expression de la capacité à l’aide de la relation 𝑈𝐸=𝑄2
2𝐶 .
4) Calculer la capacité d’un condensateur cylindrique d’armatures coaxiales de rayons respectifs 𝑅1 et 𝑅2 avec 𝑅1<
𝑅2. On supposera que la charge 𝑄 est portée par l’armature intérieure. Comparer à l’expression de la capacité d’un condensateur plan quand la distance 𝑑 entre les deux armatures devient très faible devant leur rayon.
1) Condensateur sphérique Symétries et invariances :
Tous les plans passant par M et le centre de la sphère sont plans de symétrie de la distribution de charge : le champ est donc radial : 𝐸⃗ = 𝐸𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟
La distribution de charge est à symétrie sphérique : le champ ne dépend donc que de la coordonnée r : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑟)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟 Surface de Gauss : sphère de rayon r et de centre le centre de la distribution de charge
Théorème de Gauss : ∯ 𝐸⃗ (𝑀) ⋅ 𝑑𝑠𝑛⃗ 𝑆 =𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0 avec 𝑆 = 4𝜋𝑟2 ⇒ 𝐸⃗ = 𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2𝑢⃗⃗⃗⃗ si 𝑟 ≥ 𝑅𝑟 1 Différence de potentiel : 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 = −𝑑𝑉
𝑑𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟 ⇒ 𝑉1− 𝑉2= ∫ 𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2𝑑𝑟
𝑅2
𝑅1 = 𝑄
4𝜋𝜀0(1
𝑅1− 1
𝑅2) Capacité : 𝐶 =𝑉𝑄
1−𝑉2= 4𝜋𝜀0 𝑅1𝑅2 𝑅2−𝑅1
On note : 𝑑 = 𝑅2− 𝑅1 ⇒ 𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑅1(𝑅1+𝑑)
𝑑 ⇒ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑑 ≪ 𝑅1 𝐶 ≈ 4𝜋𝜀0𝑅12
𝑑 ≈ 𝜀0𝑆
𝑑
2) Energie stockée
Entre deux sphères de rayons voisins r et r + dr : 𝑑𝑈𝐸=𝜀0
2( 𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2)24𝜋𝑟2𝑑𝑟 ⇒ 𝑈𝐸= ∫ 𝑄2
8𝜋𝜀0𝑟2𝑑𝑟
𝑅2
𝑅1 = 𝑄2
8𝜋𝜀0(1
𝑅1− 1
𝑅2) 3) Autre expression
𝑈𝐸=𝑄2
2𝐶 = 𝑄2
8𝜋𝜀0𝑅1𝑅2
𝑅2−𝑅1
= 𝑄2
8𝜋𝜀0(1
𝑅1− 1
𝑅2) 4) Condensateur cylindrique
On suppose que le cylindre infini.
Symétries et invariances :
Tous les plans contenant l’axe du cylindre et perpendiculaires à l’axe du cylindre sont plans de symétrie de la distribution de charge : le champ est donc radial : 𝐸⃗ = 𝐸𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟
La distribution de charge est à symétrie cylindrique et on a une invariance par translation le long de l’axe du cylindre : le champ ne dépend donc que de la coordonnée r : 𝐸⃗ = 𝐸(𝑟)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟
Surface de Gauss : cylindre de rayon r et de hauteur h et d’axe l’axe de la distribution de charge Théorème de Gauss : ∯ 𝐸⃗ (𝑀) ⋅ 𝑑𝑠𝑛⃗ 𝑆 =𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0 avec 𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ ⇒ 𝐸⃗ = 𝑄
2𝜋𝜀0𝑟ℎ𝑢⃗⃗⃗⃗ si 𝑟 ≥ 𝑅𝑟 1 Différence de potentiel : 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 = −𝑑𝑉
𝑑𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟 ⇒ 𝑉1− 𝑉2= ∫ 𝑄
2𝜋𝜀0𝑟ℎ𝑑𝑟
𝑅2
𝑅1 = 𝑄
2𝜋𝜀0ℎ𝑙𝑛 (𝑅2
𝑅1) Capacité : 𝐶 = 𝑄
𝑉1−𝑉2= 2𝜋𝜀0ℎ
𝑙𝑛(𝑅2
𝑅1)
On note : 𝑑 = 𝑅2− 𝑅1 ⇒ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑑 ≪ 𝑅1 𝑙𝑛 (𝑅2
𝑅1) = 𝑙𝑛 (1 + 𝑑
𝑅1) ≈ 𝑑
𝑅1 ⇒ 𝐶 ≈ 2𝜋𝜀0ℎ𝑅1
𝑑 ≈ 𝜀0𝑆
𝑑
12.6 Lignes de champ
On donne les lignes de champ suivantes :
Préciser celles qui peuvent correspondre aux lignes de champ d’un champ électrostatique.
Possible pour (a), (c), (d) et (f) car circulation nulle le long d’un cercle centré.
(a) champ uniforme (c) charge ponctuelle
(d) champ ne dépendant que d’une direction 𝐸⃗ = 𝐸(𝑥)𝑢𝑥 (f) sphère uniformément chargée
