Feuille d’exercices du cours de M2 2012
C. Noot-Huyghe
Composantes irr´eductibles de sch´emas 1. Soitkun corps.
SoitY=V(y−x2),→A2k. Montrer queYest irr´eductible et queΓ(Y,OY)est isomorphe `ak[u]. On dit alors queuest un param`etre deY.
1-
2- Soit Z = V(xy−1). Montrer queZ est irr´eductible, et que Γ(Z,OZ)n’est pas isomorphe `ak[u]. En d´eduire queZn’est pas isomorphe `aY.
2. Soitkun corps.
1- On consid`ere le polyn ˆome
h(x,y,z) =x3+xy2+xz2−yx2−y3−yz2.
Montrer que h(x,x,z) = 0. En d´eduire que h n’est pas irr´eductible dans k[x,y,z](on pourra tenter de diviserhpar le polyn ˆomex−y).
2- On consid`ereZ = V(h),→ A3k. Montrer queZest r´eunion de deux compo- santes irr´eductibles qui sont respectivement une droite et une quadrique.
3- Quel est le point g´en´erique de chaque composante irr´eductible ?
4- Montrer qu’il existe un unique point tdans l’intersection de ces deux com- posantes tel quex= y=1 et quek(t)est de degr´e 2 surk.
3. Soitkun corps. On consid`ere la courbe
Z=V((y−x2)k[x,y,z] + (z−xy)k[x,y,z]),→A3k. Montrer queΓ(Z,OZ)est isomorphe `ak[u]et queZest irr´eductible.
4. Soitkun corps. On consid`ere la courbe
Z=V((yz−x2)k[x,y,z] + (xz−x)k[x,y,z]),→A3k.
Montrer que Z a 3 composantes irr´eductibles. Donner le point g´en´erique de chaque composante et le corps des fonctions de chacune de ces composantes irr´eductibles (c’est-`a-dire l’anneau local au point g´en´erique de chaque compo- sante irr´eductible).
