6. Les int´ egrales impropres
1 Situation g´en´erique et terminologie
2 Exemple embl´ematique : Z +∞
0
sinx
x dx= π 2
3 Un crit`ere de comparaison
1. Situation g´ en´ erique et terminologie
−∞ ≤a < b≤+∞
f :]a, b[→[−∞,+∞]mesurable.
situation g´en´erique `a gauche
(i) (∀λ∈]a, b[) f ∈L1(λ, b) (i.e. : f1]λ,b[∈L1(a, b)) (ii) lim
λ→a
Z b λ
f(x)dx ∈R
On peut alors d´efinir : Z b
a
f(x)dx d´= limef
λ→a
Z b λ
f(x)dx = lim
λ→a
Z b a
f(x)1]λ,b[(x)dx
On dit que l’int´egrale impropre Z b
a
f(x)dxconverge, ou que Z b
a
f(x)dxest convergente (en a).
Remarques et terminologie
si on sait d´ej`a que f ∈L1(a, b), on a heureusement (par TCD) Z b
a
f(x)dx= lim
λ→a
Z b λ
f(x)dx
si la situation g´en´erique vaut pour|f|, alors Z b
a
|f(x)|dx Beppo Levi= lim
λ→a
Z b λ
|f(x)|dx <+∞
et donc f ∈L1(a, b). (parmi lesexemples d´ej`a vus : √1x ∈L1(0,1)) On disait que l’int´egrale impropre
Z b
a
f(x)dx est ACV : cette notion n’a plus d’int´erˆet !
LE cas int´eressant : f 6∈L1(a, b),i.e.
Z b a
|f(x)|dx= +∞,ETla situation g´en´erique vaut pour f.
2. Exemple embl´ ematique :
Z
+∞0
sin x
x dx ? ? ?
Z +∞
0
sinx x
dx= +∞
i.e. sinxx 6∈L1(0,+∞), et Z +∞
0
sinx
x dxN’est PAS une int´egrale.
λ→+∞lim Z λ
0
sinx
x dx existe.
et on peut donc donner ce sens : Z +∞
0
sinx
x dx d´=ef lim
λ→+∞
Z λ 0
sinx x dx
Calcul de lim
λ→+∞
Z
λ0
sin x x dx
Astuce :
(∀t∈[0,+∞[) I(t) d´=ef lim
λ→+∞
Z λ 0
e−txsinx x dx =
Z +∞
0
e−txsinx x dx
Exercice :
1 I d´erivable sur ]0,+∞[, et I0(t) = −1 1 +t2.
2 I(t) −−−−→
t→+∞ 0
3 (∀t∈]0,+∞[) I(t) = π
2 −Arctan (t)
4 La suite In, d´efinie parIn(t) d´=ef Z n
0
e−txsinx
x dx, converge versI uniform´ement sur[0,+∞[.
5 En d´eduire I(0) = π 2.
3. Un crit` ere de comparaison
Th´eor`eme (crit`ere, version `a gauche)
Supposons que :
(i) (∀λ∈]a, b[) f, g∈L1(λ, b); (ii) g de signe constant au voisinage dea; (iii) f(x)∼x→ag(x).
Alors on a l’´equivalence :
λ→alim Z b
λ
f(x)dx existe ⇐⇒ lim
λ→a
Z b λ
g(x)dx existe.
si l’une de ces limites existe, alors g∈L1(a, b) etf ∈L1(a, b), et il s’agit d’int´egrales de Lebesgue (propres !).
n´ecessit´e de l’hypoth`ese de signe constant : f(x) = sinx
√x et g(x) = sinx
√x
1 +sinx
√x
, x∈[1,+∞[
