Feuille d’exercices no 4 du cours de M2 2012

Feuille d’exercices no 4 du cours de M2 2012

C. Huyghe

1. Soit k un corps. Sur X = P ⁿ _k , on consid`ere le faisceau des formes diff´erentielles Ω ¹ _X . Montrer que

Ω ¹ _X ' O _X (− n − 1 ) .

2. V´erifier par un calcul `a la Cech sur X = P ¹ _k la cohomologie du faisceau Ω ¹ _X . 3. Automorphismes de l’espace projectif. Soit k un corps. On rappelle que le

groupe de Picard de P ⁿ _k , c’est-`a-dire, le groupe des faisceaux inversibles sur P ⁿ _k

`a isomorphisme pr`es, est isomorphe `a Z et engendr´e par O( 1 ) . 1- Soit f un automorphisme de P ⁿ _k . Montrer que f ^∗ O( 1 ) ' O( 1 ) .

2- Calculer Γ ( X, O( 1 )) par un calcul `a la Cech et montrer que f induit un

´el´ement de GL n + ₁ ( k ) .

3- R´eciproquement, montrer que tout automorphisme du k-espace vectoriel Γ ( X, O( 1 )) induit un automorphisme de P ⁿ _k .

4. Soit k un corps, F = x ⁿ + y ⁿ + z ⁿ , o `u n est premier `a la car. de k. Soit X = V + ( F ) ⊂ P ² _k , muni des coordonn´ees homog`enes [ x, y, z ] . Est-ce que X est lisse ? D´eterminer K ( X ) le corps des fonctions de X. D´eterminer Γ ( X, Ω ¹ _X ) .

5. 1- Soient m, n deux entiers naturels, N = mn + m + n, k un corps, P ⁿ _k muni des coordonn´ees homog`enes [ u <sub>0</sub> , · · · , u <sub>n</sub> ] , P <sup>m</sup> <sub>k</sub> muni des coordonn´ees homog`enes [ _{v 0 ,} · · · , v m ] . Montrer qu’on peut d´efinir

S : P ⁿ _k × _P ^m _k → _P ^N _{k ,}

qui envoie le point de P ^m _k ( l ) × _P ⁿ _k ( l ) de coordonn´ees ([ u ₀ , · · · , u n ] , [ v ₀ , · · · , v m ]) vers le point de coordonn´ees [ u ₀ v ₀ , u ₀ , v ₁ , . . . , u _n v _m ] dans l’ordre lexicographique, pour toute extension de corps l de k.

2- Montrer que S est une immersion ferm´ee. Il s’agit du plongement de Segre.

3- Soit X un sch´ema sur spec k, L , M deux faisceaux amples inversibles sur X.

Montrer que

L ⊗ _O

M est un faisceau ample inversible.

4- Montrer que la surface d’´equation xy − zw = 0 est l’image du plongement de Segre de P ¹ _k × P ¹ _k dans P ³ _k .

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