8 Exercices d’application directe du cours 8.1

(1)

8 Exercices d’application directe du cours 8.1 Symétries de la distribution de courants

1) Soit un fil infini parcouru par un courant I. Déterminer les plans de symétrie de la distribution de courants. En déduire la direction du champ magnétostatique en un point M situé à une distance r de l’axe du fil ?

2) Soit une spire circulaire parcourue par un courant I. Déterminer les plans de symétrie de la distribution de courants. Que peut-on en déduire sur la direction du champ magnétostatique en un point M situé sur l’axe de la spire ?

3) Soit un solénoïde composé de « infini » composé de n spires par unité de longueur en série parcourues par un courant I. Déterminer les plans de symétrie de la distribution de courants. Que peut-on en déduire sur la direction du champ magnétostatique en un point M situé à l’intérieur du solénoïde ?

4) Retrouver les plans de symétrie du champ magnétostatique correspondant aux deux distributions de courants ci- dessous. Retrouver le sens de parcours des deux fils.

1) Fil

On se place dans une base cylindrique.

Plans de symétrie : plan contenant l’axe du fil

Plans d’antisymétrie : plan perpendiculaire à l’axe du fil Direction du champ magnétostatique :

Le plan contenant l’axe du fil et passant par le point M est un plan de symétrie de la distribution de courants. Le champ électrique sera normal à ce plan : 𝐵⃗ = 𝐵(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝜃

2) Spire

Plans de symétrie : plan comprenant la spire

Plans d’antisymétrie : plan contenant l’axe de la spire Direction du champ magnétostatique sur l’axe :

Les plans contenant l’axe de la spire et passant par le point M sont des plans d’antisymétrie de la distribution de courants. Le champ électrique sera donc compris dans l’intersection de ces deux plans : 𝐵⃗ = 𝐵(𝑀)𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧

3) Solénoïde

(2)

Distribution 1 : même sens Distribution 2 : sens opposés

8.2 Invariance de la distribution de courants

1) Soit un fil infini parcouru par un courant I. De quelles coordonnées dépend le champ magnétostatique ?

2) Soit une spire circulaire parcourue par un courant I. De quelles coordonnées dépend le champ magnétostatique ? 3) Soit un solénoïde « infini » composé de n spires par unité de longueur en série parcourues par un courant I. De quelles coordonnées dépend le champ magnétostatique ?

1) Fil

La distribution de courants est invariante par translation le long de l’axe du fil et par rotation autour du même axe, d’où : 𝐵⃗ = 𝐵(𝑟)𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝜃

2) Spire

La distribution de charge est invariante par rotation selon 𝜃 , d’où : 𝐵⃗ = 𝐵(𝑟, 𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧 3) Solénoïde

La distribution de charge est invariante par rotation selon 𝜃 , d’où : 𝐵⃗ = 𝐵(𝑟, 𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧

8.3 Conservation du flux de B

Sur une carte de champ magnétique, ont été délimitées 3 surfaces autour des points P, Q et R.

1) Comparer les intensités du champ en P, Q et R.

2) La distribution de courants à l’origine de cette carte de champ magnétique est invariante par rotation autour de l’axe Qz. L’identifier à partir d’un examen qualitatif des lignes.

3) Justifier alors, a posteriori, la relation d’ordre proposée initialement.

1) Intensité du champ

Les trois surfaces proposées s’appuient sur les mêmes lignes de champ : on peut donc les considérer comme des sections d’un même tube de champ. Le critère de flux conservatif conduit à : 𝐵(𝑅) < 𝐵(𝑃) < 𝐵(𝑄)

2) Identification de la distribution de courants

Les lignes de champ s’enroulent autour des sources, on peut donc considérer que les points figurent des courants dirigés perpendiculairement au plan de la figure. L’invariance par rotation conduit à reconnaitre une spire d’axe Qz et de centre Q parcourue par l’intensité I.

3) Justification

Le champ est donc bien plus intense en Q et il décroit avec la distance du point à l’axe à Q.

8.4 Circulation du champ magnétique

Différentes distributions de courants sont données ci-dessous. Pour chacune d’entre elles, la valeur de la circulation du champ magnétique calculée sur le contour tracé est donnée. Retrouver le sens des contours dessinés. Expliquer la valeur de la circulation trouvée.

(3)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(a) sens direct, 1 courant (b) sens horaire, 1 courant (c) sens direct, 1 courant

(d) sens direct, 2 courants

(e) sens direct, 2 courants + et 1 courant –

(f) sens direct, 2 courants et 2 fils ne traversant pas le contour

(4)

10 Exercices type oral et révisions sur l’induction 10.1 Rappels

Deux cas d’induction : - circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps - circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire Forces de Laplace : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑑𝑙⃗⃗⃗ ∧ 𝐵⃗

Moment résultant : 𝛤 = 𝑀⃗⃗ ∧ 𝐵⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑀⃗⃗ = 𝐼𝑆 : moment magnétique Flux du champ magnétique : 𝛷 = ∬ 𝐵⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗

𝑆

Si 𝐵⃗ uniforme sur la surface S et colinéaire à 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ , alors : 𝛷 = 𝐵𝑆

Loi de Lenz : l’induction par ses effets s’oppose aux causes qui lui ont donné naissance Loi de Faraday : 𝑒 = −^𝑑𝛷_𝑑𝑡 avec e : force électromotrice

Flux propre : flux de 𝐵⃗ créé par le circuit au travers de même circuit, 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} Inductance propre : 𝛷_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} = 𝐿𝐼

Flux de mutuelle inductance : flux de 𝐵⃗ créé par le circuit 1 au travers d’un circuit 2 𝛷₂= ∬ 𝐵⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆₁ ⃗⃗⃗⃗

𝑆₂ Inductance mutuelle : 𝛷₂= 𝑀𝐼₁ si influence totale 𝑀 = √𝐿₁𝐿₂

10.2 Cadre dans un champ uniforme

Déterminer en fonction de X le courant i et la force électromagnétique F résultante qui s’exerce sur le cadre. En déduire le mouvement du cadre.

𝜙 = ∬ 𝐵⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗

𝑐𝑎𝑑𝑟𝑒 = ∬_{𝑐𝑎𝑑𝑟𝑒}𝐵𝑢⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢𝑧 ⃗⃗⃗⃗ 𝑧= 𝐵 ∬_{𝑐𝑎𝑑𝑟𝑒}𝑑𝑥𝑑𝑦= 𝐵𝑎 ∫ 𝑑𝑥_𝑋 ⇒ 𝑒 = −^𝑑𝜙_𝑑𝑡 = −𝐵𝑎_𝑑𝑡^𝑑 (∫ 𝑑𝑥_𝑋 ) Plusieurs cas de figure :

- X < 0 : 𝐵 = 0 ⇒ 𝑒 = 0 - 0 < X < a : 𝑒 = −𝐵𝑎^𝑑

𝑑𝑡(∫ 𝑑𝑥₀^𝑋 ) = −𝐵𝑎^𝑑𝑋

𝑑𝑡

- a < X < d : 𝑒 = −𝐵𝑎^𝑑

𝑑𝑡(∫ 𝑑𝑥₀^𝑎 ) = −𝐵𝑎^𝑑𝑎

𝑑𝑡 = 0 - d < X < d+a : 𝑒 = −𝐵𝑎 ^𝑑

𝑑𝑡(∫_𝑑^𝑎−𝑋𝑑𝑥) = −𝐵𝑎 ^𝑑

𝑑𝑡(𝑎 − 𝑋 − 𝑑) = 𝐵𝑎^𝑑𝑋

𝑑𝑡

- X > d+a : 𝐵 = 0 ⇒ 𝑒 = 0 Calcul du courant induit :

On représente le schéma équivalent du cadre suivant dans les deux cas où la fem est non nulle.

0 < X < a d < X < d+a

𝑒_𝐴𝐵 = 𝑒 = 𝑅𝑖 ⇒ 𝑖 =^𝑒

𝑅= −^𝑎𝐵

𝑅 𝑑𝑋

𝑑𝑡 𝑒_𝐶𝐷 = 𝑒 = 𝑅𝑖 ⇒ 𝑖 =^𝑒

𝑅=^𝑎𝐵

𝑅 𝑑𝑋 𝑑𝑡

Calcul des forces de Laplace :

Pour 0 < X < a : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖𝑑𝑙⃗⃗⃗ ∧ 𝐵⃗ = 𝑖𝑑𝑦𝑢⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝑢_𝑦 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑖𝐵𝑑𝑦𝑢_𝑧 ⃗⃗⃗⃗ _𝑥 ⇒ 𝐹 = −^𝑎²^𝐵²

𝑅 𝑑𝑋

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥

Pour d < X < d+a : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖𝑑𝑙⃗⃗⃗ ∧ 𝐵⃗ = 𝑖(−𝑑𝑦)𝑢⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝑢_𝑦 ⃗⃗⃗⃗ = −𝑖𝐵𝑑𝑦𝑢_𝑧 ⃗⃗⃗⃗ _𝑥 ⇒ 𝐹 = −^𝑎²_𝑅^𝐵²^𝑑𝑋_𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 On suppose que le champ magnétique B est uniforme et

constant entre les plans (x = 0) et (x = d), et nul ailleurs. Un cadre conducteur carré, de côté a (a < d), de résistance totale R et de côtés parallèles aux axes (Ox) et (Oy), circule avec une vitesse constante v. On désigne par X(t) l’abscisse du côté avant du cadre.

(5)

Dans les deux cas, la force est opposée à la vitesse du cadre, elle a donc pour action de le freiner.

Equation du mouvement :

- X < 0 :𝑚𝑎 = 0⃗ ⇒ 𝑋̇ = 𝑣 ⇒ 𝑋(𝑡) = 𝑣𝑡 + 𝑋₀ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋(0) = 0 ⇒ 𝑋(𝑡) = 𝑣𝑡 - 0 < X < a :

𝑚𝑎 = −𝑎²𝐵² 𝑅

𝑑𝑋

𝑑𝑡 𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 ⇒ 𝑋̈ +𝑎²𝐵²

𝑚𝑅 𝑋̇ = 0 ⇒ 𝑋̇(𝑡) = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡

𝜏) 𝑎𝑣𝑒𝑐 {𝜏 = 𝑚𝑅 𝑎²𝐵² 𝑋̇(0) = 𝑣 = 𝐴

⇒ {𝑋̇(𝑡) = 𝑣 𝑒𝑥𝑝 (−^𝑡

𝜏)

𝑋(𝑡) = −𝜏𝑣 𝑒𝑥𝑝 (−^𝑡_𝜏) + 𝐵 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋(0) = −𝜏𝑣 + 𝐵 = 0 ⇒ 𝑋(𝑡) = 𝜏𝑣 (1 − 𝑒𝑥𝑝 (−^𝑡

𝜏)) - a < X < d :

𝑚𝑎 = 0⃗ ⇒ 𝑋̇ = 𝑋̇(𝑡_𝑎) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋(𝑡_𝑎) = 𝜏𝑣 (1 − 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡_𝑑

𝜏)) = 𝑎

⇒ 𝑡_𝑎= −𝜏 𝑙𝑛 (1 − 𝑎

𝜏𝑣) ⇒ 𝑋̇ = 𝑣 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡_𝑎

𝜏) = 𝑣 −𝑎 𝜏

⇒ 𝑋 = (𝑣 −^𝑎_𝜏) 𝑡 + 𝑋1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋(𝑡𝑎) = (𝑣 −^𝑎

𝜏) 𝑡𝑎+ 𝑋1= 𝑎 ⇒ 𝑋 = (𝑣 −^𝑎_𝜏) (𝑡 − 𝑡𝑎) + 𝑎 - d < X < d+a :

𝑚𝑎 = −𝑎²𝐵² 𝑅

𝑑𝑋

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 ⇒ 𝑋̈ +𝑎²𝐵²

𝑚𝑅 𝑋̇ = 0 ⇒

𝑋̇(𝑡) = 𝐴′𝑒𝑥𝑝 (−𝑡

𝜏) 𝑎𝑣𝑒𝑐 {

𝜏 = 𝑚𝑅 𝑎²𝐵² 𝑋̇(𝑡𝑑) = 𝑣 −𝑎

𝜏= 𝐴′𝑒𝑥𝑝 (−𝑡_𝑑 𝜏)

⇒ {

𝑋̇(𝑡) = (𝑣 −𝑎

𝜏) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡 − 𝑡_𝑑 𝜏 ) 𝑋(𝑡) = −𝜏 (𝑣 −𝑎

𝜏) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡 − 𝑡_𝑑 𝜏 ) + 𝐵′

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋(𝑡𝑑) = −𝜏 (𝑣 −𝑎

𝜏) + 𝐵′= 𝑑

⇒ 𝑋(𝑡) = 𝜏 (𝑣 −𝑎

𝜏) (1 − 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡 − 𝑡_𝑑

𝜏 )) + 𝑑 - X > d+a :

𝑚𝑎 = 0⃗ ⇒ 𝑋̇ = 𝑋̇(𝑡_𝑑+𝑎) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋(𝑡_𝑑+𝑎) = 𝜏 (𝑣 −𝑎

𝜏) (1 − 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡_𝑑+𝑎− 𝑡_𝑑

𝜏 )) + 𝑑 = 𝑑 + 𝑎

⇒ 𝑡_𝑑+𝑎= −𝜏 𝑙𝑛 (1 − 𝑎 𝜏 (𝑣 −𝑎

𝜏)

) + 𝑡_𝑑 ⇒ 𝑋̇ = (𝑣 −𝑎

𝜏) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡_𝑑+𝑎− 𝑡_𝑑

𝜏 ) = (𝑣 −2𝑎 𝜏)

⇒ 𝑋 = (𝑣 −2𝑎

𝜏 ) 𝑡 + 𝑋₂ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋(𝑡_𝑑+𝑎) = (𝑣 −2𝑎

𝜏) 𝑡_𝑑+𝑎+ 𝑋₂= 𝑑 + 𝑎 ⇒ 𝑋

= (𝑣 −𝑎

𝜏) (𝑡 − 𝑡_𝑑+𝑎) + 𝑑 + 𝑎

10.3 Bobinage sur un noyau torique

Une bobine est constituée de N spires pratiquement jointives enroulées en une seule couche sur un tore de section carrée. On note a le rayon intérieur du tore et b le rayon extérieur et h la largeur du tore.

1) Lorsqu’un courant d’intensité I parcourt le circuit, déterminer le flux du champ magnétique propre à travers l’une des spires. En déduire une expression de l’inductance propre du bobinage.

(6)

1) Flux du champ magnétique

Le champ magnétique dans le tore est donné par : 𝐵⃗ =^𝜇⁰^𝑁𝐼

2𝜋𝑟 𝑒⃗⃗⃗⃗ _𝜃 Le flux magnétique propre à travers l’une des spires est donc :

𝜙 = ∬ 𝐵⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗

1𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒

= ∬ 𝜇0𝑁𝐼

2𝜋𝑟 𝑒⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑒_𝜃 ⃗⃗⃗⃗ _𝜃

1𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒

=𝜇0𝑁𝐼

2𝜋 ∫ ∫ 1 𝑟𝑑𝑟

𝑏 𝑎

𝑑𝑧

ℎ 0

=𝜇0𝑁𝐼ℎ 2𝜋 𝑙𝑛 (𝑏

𝑎) Coefficient d’auto-induction : 𝜙_𝑃 = 𝐿𝐼 = 𝑁𝜙 ⇒ 𝐿 =^𝜇⁰^𝑁²^ℎ

2𝜋 𝑙𝑛 (^𝑏

𝑎) 3) Coefficient d’induction mutuelle

𝑀 =^𝜙¹²

𝐼 =^𝜇⁰^{𝑁𝑁′ℎ}

2𝜋 𝑙𝑛 (^𝑏

𝑎) 4) Application numérique

𝐿 = 15,1µ𝐻 ; 𝐿′= 0,946µ𝐻 ; 𝑀 = 3,78µ𝐻

si h << a : 𝑙𝑛 (^𝑏_𝑎) ≈^ℎ_𝑎 ⇒ 𝐿 =^𝜇⁰_2𝜋𝑅^𝑁²^ℎ²= 𝜇0𝑁^{2 𝑆}_𝑙 on peut donc négliger la courbure du tore.

10.4 Barres mobiles sur deux rails

Sur deux rails rectilignes parallèles horizontaux XX’ et YY’, de résistance négligeable, sont placées deux barres mobiles horizontales AA1 et A’A’1 perpendiculaires aux rails. La distance entre les rails est l

= 10cm ; la résistance de la partie de chaque barre comprise entre les deux rails est R = 1 Ω ; chaque barre a une masse m = 10 g.

L’ensemble étant soumis à l’action d’un champ magnétique vertical B uniforme d’intensité B = 1 T, on déplace la barre AA1 en l’approchant de A’A’1, avec une vitesse constante v0 = 20 cm. s^-1 normale à AA1. Etudier la loi des vitesses v(t) de la barre A’A’1. Tracer le graphe de v(t).

Calcul de la fem :

- sur AA1 :𝑒₁= −^𝑑𝛷

𝑑𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝛷 = 𝐵⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑙𝑣₀𝑑𝑡 ⇒ 𝑒₁= −^𝑑𝛷

𝑑𝑡 = −𝐵𝑙𝑣₀ - sur A’A’1 :𝑒₂= −^𝑑𝛷

𝑑𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝛷 = 𝐵⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑙𝑣𝑑𝑡 ⇒ 𝑒₂= −^𝑑𝛷

𝑑𝑡 = −𝐵𝑙𝑣(𝑡) Equation électrique : on représente le schéma électrique équivalent

𝑒₁= −𝑅𝑖 + 𝑒₂− 𝑅𝑖 ⇒ −𝑣₀𝐵𝑙

= −2𝑅𝑖 − 𝑣(𝑡)𝐵𝑙

⇒ 𝑖 =(𝑣₀− 𝑣(𝑡))𝐵𝑙 2𝑅 Forces de Laplace :

- sur A’A’1 : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖𝑑𝑙₂ ⃗⃗⃗ ∧ 𝐵⃗ = 𝑖(−𝑑𝑥)𝑒⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝑒_𝑥 ⃗⃗⃗ = 𝑖𝐵𝑑𝑥𝑒_𝑧 ⃗⃗⃗⃗ _𝑦 ⇒ 𝐹⃗⃗⃗⃗ = 𝑖𝐵𝑙𝑒₂ ⃗⃗⃗⃗ _𝑦 Equation mécanique : PFD sur A’A’1

𝑚^𝑑𝑣_𝑑𝑡^⃗= 𝐹⃗⃗⃗⃗ 2 ⇒ 𝑚^𝑑𝑣_𝑑𝑡 = 𝑖𝐵𝑙 =^(𝑣⁰^{−𝑣(𝑡))𝐵}_2𝑅 ²^𝑙² ⇒ ^𝑑𝑣_𝑑𝑡+^𝐵_2𝑅𝑚²^𝑙²𝑣(𝑡) =^𝐵_2𝑅𝑚²^𝑙²𝑣0

⇒ 𝑣(𝑡) = 𝑣₀+ 𝐾 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡

𝜏) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏 =2𝑅𝑚

𝐵²𝑙² 𝑒𝑡 𝑣(0) = 𝑣₀+ 𝐾 = 0 ⇒ 𝑣(𝑡) = 𝑣₀(1 − 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡 𝜏))