Chapitre 8 : Action d un champ magnétique sur un courant

Chapitre 8 : Action d’un champ magnétique sur un courant

I. Force de Lorentz. Effet Hall

Considérons une plaque conductrice plane dont nous modélisons la section par un rectangle de côtés de longueurs aet b. Cette plaque, soumise à un champ électrique E, est le siège d’un courant de~ conduction dirigé selon (Ox). La plaque peut être soumise à un champ magnétique extérieur uniforme et constantB~ =B~e_z(figure 1).

~j

B~

x y z

a

b

Figure 1

1. Conduction sous champ électrique : loi d’Ohm

a) Cadre de l’étude

• On suppose que B~ =~0.

• La plaque contientnporteurs de charge mobiles (de massemet de chargeq) par unité de volume.

• Lors de son mouvement, un porteur de charge de vitesse~v subit de la part du réseau cristallin une force de frottementf~v=−m

τ~v (τ est le temps de relaxation des porteurs de charge).

• Sous l’effet du champ électriqueE, le porteur de charge~ qest soumis à la force électrique :f~e=q ~E.

• On néglige le poids devant les autres forces.

b) Loi d’Ohm

Le PFD appliqué à un porteur de chargeqdonne : md~v

dt =−m

τ~v+q ~E⇒ dv dt +~v

τ = q m

E~

La solution de l’équation différentielle s’écrit :

~v(t) =Ae~ ^−t/τ+τ q m

E~

La vitesse limite atteinte par les porteurs de charge est~vlim= τ q m

E. Cette valeur est très rapidement~ atteinte et on aura~v=~v_lim= τ q

m E~.

Le vecteur densité de courant est :~j=ρ~v=nq~v= nτ q² m

E~. On en déduit la loi d’Ohm :

~j=γ ~E avec γ= nτ q² m γ est la conductivité du matériau (enS.m⁻¹).

Ordre de grandeur deγ :

– Cuivre (bon conducteur) :6.10⁷S.m⁻¹.

– Silicium (semi-conducteur) : 2,52.10⁻⁴S.m⁻¹.

Pour le cuivre n≈10²⁹m⁻³ et donc τ ≈2.10⁻¹⁴s ce qui justifie que la vitesse limite est atteinte rapide- ment.

2. Conduction sous champ magnétique : effet Hall

a) Champ de Hall

En présence d’un champ magnétiqueB~ =B~e_z, un porteur de charge est soumis à la force de Lorentz f~=q ~E+q~v∧B~

La force magnétiquef~m=q~v∧B~ =qv~ex∧B~ez=−qvB~ey dévie les particules suivant~ey.

Les électrons de charge q=−e <0et de vitesse v <0 (sens opposé à I) sont déviés vers l’avant. On aura deux faces : l’une chargée positivement et l’autre négativement (figure 2).

Il apparaît entre les deux faces de la plaque un champ électrique E~H appelée champ de Hall et une tension de HallU_H.

~j

B~

x y z

a

b

−

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+ E~_H

Figure 2 En régime permanent (~v=−→

cte) le PFD donne :

q ~E+q~v∧B~ +q ~EH−m τ~v=~0

La projection sur~ey implique E~H=−~v∧B~ . Puisque~v= 1

nq~jalors

E~H=− 1

nq~j∧B~ =−RH~j∧B~ =RHjB~ey

RH= 1

nq étant la constante de Hall.

b) Tension de Hall

La tension qui apparaît entre les deux faces de la plaque est : UH =V

+−V

−=− Z

+

−

E~H.d~l=− Z b

0

EHdy=−bEH=−bRHjB

Orj= I

ab. Donc :

U_H =−IB nqa

c) Applications de l’effet Hall

• ConnaissantI et en mesurantUH on peut remonter àB : c’est le principe du tesla-mètre.

• ConnaissantB et en mesurantUH on peut remonter àI.

Remarque : choix du matériau

Les sondes de Hall utilisées au laboratoire pour mesurer les champs magnétiques sont constituées d’un matériau semi-conducteur (densité particulairenfaible).

En effet, si le matériau utilisé est un conducteur comme le cuivre oùn≈10²⁹m⁻³ alors pourI= 1A, B= 1T eta= 1mmalorsUH ≈10⁻⁷V (très faible).

Pour un semi-conducteur (n≈10²²m⁻³) on trouveUH≈1V (tension mesurable).

II. Action d’un champ magnétique sur un circuit filiforme

1. Résultante et moment des forces de Laplace

Soit une distribution de courants placée dans un champ magnétique B.~ Une charge élémentaire dq=ρdτ animée d’une vitesse~v subit la force :

d ~F_L=dq~v∧B~ =ρ~v∧Bdτ~

Puisque~j=ρ~v alors :

d ~FL=~j∧Bdτ~

La quantité f~v= d ~FL

dτ =~j∧B~ représente la densité volumique des forces de Laplace.

La force de Laplace qui s’exerce sur le conducteur est : F~L=

Z Z Z

~j∧Bdτ~

La force de Laplace qui s’exerce sur un circuit filiforme C parcouru par courant i et placé dans un champ magnétiqueB~ est :

F~L= Z

C

id~l∧B~

Le moment deF~_Len un pointO est :

−→

MO(F~L) = Z

C

−−→OM∧(id~l∧B)~

Remarque :

La force de Laplace s’applique au centre de masseGdu système. On peut écrire :

−→

MO(F~_L) =−−→ OG∧F~_L

2. Travail des forces de Laplace

a) Notion de flux coupé

Soit un élément d~ld’un circuit filiformeC. Pendantdt, l’élémentd~lse déplace ded~r(figure 3).

C C

i i

d~l

d~r B~

À l’instantt À l’instantt+dt Figure 3

L’élémentd~lsubit la force :d ~F_L=id~l∧B~. Le travail de cette force pendantdtest : δ²W =d ~F .d~r=i(d~l∧B).d~~ r=i ~B.(d~r∧d~l)

d~r∧d~l=δ²S~_best la surface balayée pard~lpendantdt. On a donc :

δ²W =i ~B.δ²S~b=iδ²Φc

δ²Φ_c=B.δ~ ²S~_b est le flux coupé pard~lpendantdt.

Le travail de la force de Laplace subie par Cpendantdtest : δW =iδΦc

oùδΦ_c =

Z Z B.δ~ ²S~_b est le flux coupé pendantdtpar un élémentd~ldu circuit.

b) Théorème de Maxwell

Dans le cas d’un champ magnétique stationnaire on montre que : δΦ_c=dΦ

oùΦest le flux deB~ à travers le circuit.

On a alors :

δW =IdΦ

Enoncé :

En régime stationnaire, le travail des forces de Laplace, exercées sur un circuit indéformable parcouru par un courantI, entre deux instants t₁ ett₂ est égale au produit deI et la variation du flux magnétique entre ces deux instants :

W(F~) =I(Φ₂−Φ₁)

3. Énergie potentielle d’interaction entre un courant et un champ magnétique stationnaire

En régime stationnaire :

δW =IdΦ =−d(−IΦ +cste)

La force de Laplace est donc conservative et dérive de l’énergie potentielle U =−iΦ.

4. Règle du flux maximal

Le circuit tend vers sa position d’équilibre stable en minimisant son énergie potentielle et donc en maximisant le flux qui le traverse.

5. Applications

a) Mouvement de translation : rails de Laplace

Une tigeM N conductrice est posée sur deux rails, eux aussi conducteurs, appelés rails de Laplace.

Le circuit fermé est parcouru par un courant d’intensitéi(figure 4).

Figure 4

L’ensemble du dispositif est plongé dans un champ magnétique B~ =B~e_zuniforme et constant.

• Résultante des forces de Laplace : La force de laplace exercée sur la tigeM N est : F~_L=

Z N

M

id~l∧B~ = Z a

0

idy~e_y∧B~e_z

Donc : F~_L==iBa~e_x .

• Puissance des forces de Laplace :

La tige se déplaçant à la vitesse ~v =v~ex et soumise à la force de Laplace F~L reçoit une puissance mécanique :

P_L=F~_L.~v=iBav

Pour un courant d’intensitéidébité par un générateur, le champ magnétique permet via la force de Laplace une conversion de puissance électrique-mécanique.

b) Mouvement de rotation : spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme

On considère le modèle d’une spire rectangulaire pouvant tourner autour de l’axe Oz à la vitesse angulaireω. La spire est plongée dans un champ magnétique uniforme et constantB~ =B~ex(figure 5).

• Résultante des forces de Laplace :

Les forces de Laplace se compensent deux à deux, la résultante des forces est nulle. En effet : F~L=F~M N+F~N P +F~P Q+F~QM

avec :

F~_{M N} = Z N

M

idz~e_z∧B~e_x=−ibB~e_y ; F~_{N P} = Z P

N

idr~e_r∧B~e_x=−iaBcosθ~e_z

F~P Q= Z Q

P

idz~ez∧B~ex=ibB~ey ; F~QM= Z M

Q

idr~er∧B~ex=iaBcosθ~ez

Donc : F~L=~0 .

• Couple des actions mécaniques de Laplace :

On a : −→

Γ_L=−→

MO(F~_{M N}) +−→

MO(F~_{N P}) +−→

MO(F~_{P Q}) +−→

MO(F~_QM) avec :

−→

MO(F~M N) =−→

OJ∧F~M N =−a

2~er∧(−ibB~ey) = ibaB 2 sinθ~ez

−→

MO(F~_{N P}) =−−→

OG∧F~_{N P} =−b

2~e_z∧(−iaBcosθ~e_z) =~0

−→

MO(F~P Q) =−−→

OK∧F~P Q= a

2~er∧(ibB~ey) = ibaB 2 sinθ~ez

−→

MO(F~QM) =−−→

OH∧F~QM = b

2~ez∧(iaBcosθ~ez) =~0 Donc : −→

ΓL=ibaBsinθ~ez .

Le moment magnétique de la spire est :

−→

M=i ~S =iab~n

Donc −→

M ∧B~ =iabB~n∧~e_x=iabBsinθ~e_z=−→ Γ_L

Ce résultat est général : un circuit ou un aimant de moment magnétiqueM~ plongé dans un champ magnétique uniforme B~ subit un couple magnétique de moment :

−

→ΓL=−→ M ∧B~

Figure 5

• Puissance du couple magnétique :

La spire, en rotation à la vitesse angulaireω autour de l’axeOzet soumise à un couple magnétique

−

→ΓL= ΓL~ez, reçoit une puissance mécanique : PL=−→

ΓL.~ω= ΓLω

• Énergie potentielle d’interaction : On a :

PL=δW

dt =−ΓL

dθ

dt ⇒δW =−ΓLdθ=−MBsinθdθ=−d(−MBcosθ) =−d(−−→ M. ~B)

Ce résultat est général : l’énergie potentielle d’interaction entre un circuit ou un aimant de moment magnétique−→

Met champ magnétiqueB~ est :

U =−−→ M. ~B

III. Action d’un champ magnétique sur un aimant

1. Moment magnétique d’un aimant

Dans un matériau ordinaire non magnétique, les moments magnétiques des atomes sont arrangés

au hasard : −→

M=X

~

µ_atomes=~0

Dans un matériau magnétique (aimant), les moments magnétiques sont organisés, alignés. Le maté- riau possède un moment magnétique total non nul dirigé du pôle sud au pôle nord :

−→ M=X

~

µatomes6=~0

2. Positions d’équilibre et stabilité

Plaçons un aimant de moment −→

M dans un champ magnétique extérieur uniforme B~ (figure 6). On suppose que seul le couple magnétique est présent.

Figure 6 Le couple magnétique est :

−

→ΓL =−MBsinθ~ez

les positions d’équilibre sont associées à la nullité du couple magnétique.−→

ΓL=~0si :

• θ= 0: aimant parallèle et de même sens queB~;

• θ=π: aimant parallèle et de sens opposé àB.~

L’équilibre est stable s’il s’agit d’un couple de rappel, c’est à direΓ_Ldθ <0 :

• θ= 0: Siθaugmente,sinθ >0. DoncΓ_L<0etΓ_Ldθ <0: L’équilibre est stable ;

• θ=π: Siθaugmente,sinθ <0. DoncΓL>0etΓLdθ >0 : L’équilibre est instable.

L’équilibre est stable si le moment magnétique −→

Mest aligné dans la même direction et le même sens du champ magnétiqueB.~

IV. Création d’un mouvement circulaire

1. Principe du moteur synchrone

Le moment magnétique tend à s’aligner sur le champ magnétique. En présence d’un champ magné- tique tournant, l’aimant ou un circuit de moment−→

M, poursuivant le champ, est entraîné par celui-ci.

2. Création d’un champ magnétique tournant

La manière la plus simple de générer un champ magnétique tournant consiste à utiliser deux bobines placées en quadrature spatiale (bobines d’axes Ox et Oy) et de les faire parcourir par des courants de même amplitude en quadrature temporelle (déphasés deπ/2) (figure 7) :

i₁(t) =I_mcos(ω₀t) ; i₂(t) =I_msin(ω₀t)

Figure 7

Chaque bobine crée un champ magnétique dirigé selon son axe et proportionnel à l’intensité du courant : B~₁=Ki₁=B_mcos(ω₀t)~e_x ; B~₂=Ki₂=B_msin(ω₀t)~e_y

Le champ total créé enO est :

B~ =B~1+B~2=Bm(cos(ω0t)~ex+sin(ω0t)~ey)

Il s’agit d’un champ magnétique tournant autour de~ezà la vitesseω0.

Remarque :

Si le courant est triphasé (trois courants déphasés de 2π/3), on utilise un système de trois bobines dont les axes font entre eux des angles de2π/3.

3. Couple exercé sur le rotor

On considère le mouvement d’un moment magnétique en rotation dans un champ magnétique tour- nant (figure 8).

Figure 8

À l’instantt, le champ magnétiqueB~(t)et le moment magnétiqueM~ forment entre eux un angleθ(t) tel que :

θ(t) =θ0+ω0t−ωt=θ0+ (ω0−ω)t

L’action du champ magnétique tournant se traduit par un couple dont le moment est :

−

→ΓL=−→

M ∧B~ =MBsin(θ(t))~ez= Γz(t)~ez

avec

Γ_z(t) =MBsin(θ(t)) =MBsin(θ0+ (ω₀−ω)t)

En moyenne dans le temps, le couple est non nul ssi ω=ω₀ : le rotor tourne à la même vitesse que le champB~ : Il s’agit d’un moteursynchrone.

Le moment moyen du couple est : Γm=MBsin(θ0). Sa valeur maximale est : Γmax=MB .

4. Fonctionnement moteur et stabilité

a) Fonctionnement moteur Traçons la courbe Γ_m(θ₀)(figure 9).

• •

0 θ₀

Γm

Γmax

Γ_r

π/2

−π −π/2

θ₁ θ₂ π Stable Instable

Figure 9

le dispositif est moteur (Γm > 0) pour θ0 ∈[0, π], le moment magnétique est en retard sur le champ magnétique : l’aimant tente de s’aligner sur le champ.

b) Stabilité

le moteur doit vaincre le couple résistant de norme constanteΓr, produit par les machines qu’il doit entraîner et par les frottements.

En régime permanent, on a :Γm= Γr. Deux positions de fonctionnementθ1 etθ2apparaissent (figure 9).

Partons de la position θ1 et supposons que, pour une raison quelconque, l’aimant ralentisse légère- ment, celui-ci tend à prendre du retard sur le champ magnétique,θ0augmente ; commeΓm= Γmaxsinθ0

et0< θ1< π/2, le couple moteur augmente et l’aimant rattrape son retard.

Un raisonnement similaire montre que la positionθ2 est instable.

c) Décrochage

Si on impose un couple résistant supérieur au couple maximal Γmax, il y a décrochage et l’aimant finit par s’immobiliser.