PCSI 2 Action d’un champ magnétique
2021 – 2022 1/2
ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE
I Demi-cercle
Calculer la résultante 𝐹⃗ et le moment résultant 𝑀$$⃗ en Cdes efforts s'exerçant sur le circuit (C).
On donne l’expression du champ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant d’intensité I en coordonnées cylindriques :
𝐵$⃗ =#$%!!"𝑒⃗&. On donne : ∫#)*+'("#
"
= 𝑡𝑎𝑛(#.
Réponse : 𝐹⃗ = 𝜇,𝐼𝑖 /-#−#$1./00000⃗./ ; 𝑀$$⃗ = 0$⃗.
II Cadre
Un cadre rectangulaire AECD est parcouru par un courant d’intensité I = 20 A et peut tourner autour de l’un de ses côtés, AE, horizontal.
Ce cadre est constitué d’un fil rigide de masse linéique l = 10 g.cm-1. Soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme, vertical, dirigé vers le haut et d’intensité B = 3,0.10-2 T, il prend une position d’équilibre définie par un angle de rotation q autour de AE.
Indiquer le sens du courant.
Calculer q.
On donne : AE = 20 cm, EC = 10 cm et g = 9,8 m.s-2. Réponse : q = 66°.
III Spire rectangulaire
Une spire rectangulaire rigide (AC = 10 cm, AE = 8 cm) est mobile autour d’un axe passant par le côté AE.
Elle est parcourue par un courant d’intensité I = 10 A, dans le sens indiqué sur le schéma, et est placée dans un champ magnétique uniforme 𝐵$⃗ = 𝐵𝚤⃗ avec B = 0,3 T.
1) Donner, dans le repère 40, 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘$⃗8 les composantes du moment magnétique 𝑀$$⃗ de la spire.
2) Donner l’expression du moment du couple Γ⃗ des forces d’origine électromagnétique s’exerçant sur la spire.
3) En déduire GAE (moment du couple électromagnétique par rapport à l’axe AE, orienté de A vers E), GED, GDC, GCA, GAD et GEC.
Réponse : 𝑀$$⃗ = −6,9. 102#𝚤⃗ + 4,0. 102#𝚥⃗ (en A.m2) ; Γ⃗ = −1,2. 102#𝑘$⃗ (en N.m) ; GAE = - GDC = -1,2.10-2N.m ; GED = GCA = 0 ; GAD = - GEC = -7,5.10-3N.m.
B
q = 60°
A E
C D O
I x
y z
PCSI 2 Action d’un champ magnétique
2021 – 2022 2/2
IV Petites oscillations d’un aimant
Un aimant homogène, de moment magnétique 𝑀$$⃗, de moment d’inertie J par rapport à son centre de gravité G, est libre de tourner autour de G dans un plan horizontal. Il est soumis à l’action d’un champ magnétique 𝐵$⃗ uniforme.
1) L’aimant est légèrement tourné par rapport à sa position d’équilibre stable, tout en restant dans le plan horizontal, puis lâché.
Quelle est la période T des petites oscillations ultérieures ?
2) Afin d’en déduire la valeur du champ magnétique 𝐵$⃗, sans connaître ni le moment d’inertie, ni le moment magnétique de l’aimant, on ajoute au champ 𝐵$⃗ un champ magnétique 𝐵′$$$⃗ crée par une bobine.
On place d’abord la bobine telle que 𝐵′$$$⃗ et le champ 𝐵$⃗ soient parallèles et de même sens et l’on mesure la période T1 des petites oscillations de l’aimant.
On change ensuite le sens du courant dans la bobine et on mesure la nouvelle valeur T2 de la période des petites oscillations.
En déduire B en fonction de l’intensité B’ du champ créé par la bobine et du rapport T1/T2 sachant que B < B’.
Réponse : 𝑇 = 2𝜋D453 ; 𝐵 = 𝐵′-26
$%$"7"
-86$%$"7".
V Moteur synchrone
On considère un modèle simple pour décrire le moteur synchrone. Le rotor, caractérisé par un moment magnétique 𝑚$$⃗, tourne avec la même vitesse angulaire que le champ magnétique 𝐵$⃗ qui l’entraîne. On s’intéresse à l’angle interne du moteur 𝜃 = 4𝑚$$⃗, 𝐵$⃗8 et au couple 𝑀$$⃗ exercé par le champ sur le moment magnétique. On prendra B = 0,2 T ; m = 8,0 A.m2 et f = 50 tours/s.
1) Donner l’expression de M en fonction de q.
2) Que vaut q si le moteur fonctionne « à vide » (il n’entraîne rien), dans l’hypothèses où on néglige tout frottement.
3) Le moteur doit entrainer un dispositif mécanique (charge) qui exerce un couple résistant MT = 0,65 N.m. Calculer l’angle interne et la puissance P fournie par le moteur.
4) La vitesse de rotation dépend-elle de la charge ? Quel est le couple maximal que peut fournir ce moteur ? Réponse : M = m.B.sinq ; q = 0 à vide ; q = 24° et P = 20.101 W en charge ; Mmax = 1,6 N.m.
B q m
w
