Action d’un champ magnétique

Sup PCSI1 - Exercices de physique Action d’un champ magnétique

1 Action d’un champ magnétique

1. Mesure d’un champ magnétique :

Un cadre portant N spires rectangulaires CDEF, dont les deux côtés CD et EF sont horizontaux est suspendu dans le champ de pesanteur à un support fixe par l’intermédiaire d’un dynamomètre. Le cadre est plongé dans un champ magnétique, de module B et de direction orthogonale au plan des spires. Le champ est supposé uniforme jusqu’à une cote z et nul au-delà Les spires sont alimentées par un générateur délivrant une intensité I. Que se passe-t-il quand on actionne le générateur, selon que seule la partie inférieure du cadre est plongée dans le champ ou l’ensemble du cadre ? Montrer que le dispositif permet la mesure de B. Peut-on mesurer le champ magnétique terrestre (module B ≈ 50 µT) par ce procédé ?

Réponse : force de Laplace verticale de module F = N.I.L.B dont le sens dépend de ceux du champ et du courant électrique. Les côtés verticaux du cadre DE et FC mettent en jeu des actions qui se compensent.

Des ordres de grandeurs raisonnables de I,L et N amènent une force F trop faible pour être mesurable par un dynamomètre.

2. Définition légale de l’Ampère.

L’unité légale d’intensité est définie par la proposition suivante : « l’ampère est l’intensité d’un courant constant qui maintenu dans deux fils rectilignes infinis, parallèles entre eux, et placés à une distance de 1 m l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces deux conducteurs une force égale à 2.10^-7 newton par mètre de longueur ». Expliquer et justifier cette définition.

On donne la perméabilité magnétique du vide µo = 4π.10^-7 H.m^-1 et l’expression du champ créé par un fil rectiligne infini d’axe (Oz) en coordonnées cylindriques :

= μ 2

Réponse : chaque portion ∆L d’un des fils est plongée dans un champ de module µoI/(2πr) produit par l’autre fil. Le champ magnétique ainsi produit étant orthogonal au fil considéré, la portion de fil de longueur ∆L subit une force de module F = I.∆L.B l’attirant vers l’autre fil.

3. Barre conductrice sur deux rails parallèles :

Deux rails parallèles sont disposés dans un plan faisant un angle α avec l’horizontale, à une distance a l’un de l’autre. Dans ce plan, on crée un circuit électrique en posant une tige cylindrique conductrice en contact avec les deux rails, et en fermant le tout sur un générateur. Le circuit est alors parcouru par un courant d’intensité I et se trouve plongé dans un champ magnétique vertical, d’intensité B. On note m la masse de la tige.

1°) Faire un schéma clair du dispositif, et préciser le sens du courant qui doit parcourir la tige pour qu’elle reste en équilibre sous l’action du champ de pesanteur, des forces de Laplace et de la réaction des rails.

2°) Calculer l’intensité I permettant alors à la tige de rester en équilibre.

Réponse : I = mg.tanα_/Ba

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2 4. Pendule magnétostatique :

On envisage un conducteur filiforme rigide et homogène de longueur L, de masse m, mobile autour d'un axe horizontal perpendiculaire au fil à l'une de ses extrémités.

L'autre extrémité affleure dans du mercure contenu par une cuve. Un courant I traverse le fil.

Le fil est placé dans un champ magnétique uniforme, perpendiculaire au plan de la figure. Calculer l'angle d'inclinaison α du fil à l'équilibre.

Réponse : Calculer le moment en O du poids : - mg.L.sinα /2, et celui des forces de Laplace IBL²/2.

α_éq = arcsin(IB.L / mg)

5. Moteur à entrefer plan.

Une roue d’axe (Oz) porte des conducteurs rectilignes organisés selon des rayons convergeant au centre O. Un dispositif permet d’alimenter électriquement le système de conducteur de façon à faire circuler un courant entre le centre et la périphérie de la roue (ou inversement).

L’ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire = .

1. Justifier que le sens effectif du courant délivré par le générateur alimentant ce moteur va déterminer son sens de rotation.

2. On suppose que le générateur impose un courant électrique i circulant dans un des rayons, de longueur utile a, lors de son passage au niveau des balais assurant le contact électrique, les rayons se succédant à ce niveau sans discontinuité. Déterminer le moment des forces de Laplace par rapport à l’axe de la roue ainsi produit.

3. On suppose que les frottements présents dans le système produisent un couple s’opposant au mouvement de rotation, dont le moment a pour expression : C_f = -h.ω(t) – C_o. Déterminer la vitesse de rotation ω_lim atteinte en régime permanent par le moteur en fonction de l’intensité i imposée, et donner un temps caractéristique τ d’évolution de cette vitesse angulaire ω(t). On supposera que la roue est initialement immobile. On note J son moment d’inertie.

Réponse : 1. écrire le moment de la force de Laplace exercée sur un tronçon élémentaire du rayon, puis en intégrant entre O et le contact périphérique pour un rayon donné, soit entre r = 0 et r = a, on tire

= = 2

2. ωlim = (iba² - Co)/h ; τ = J/h.

α

I B O

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3 6. Mesure du champ magnétique terrestre.

On souhaite mesurer la composante horizontale B_h du champ magnétique terrestre. On néglige tout rôle de sa composante verticale pour la suite.

1°) On dispose une aiguille de boussole sur un support l’astreignant à un mouvement de rotation dans un plan horizontal, repéré par l’angle θ de l’aiguille par rapport à l’axe (Ox). On néglige tout frottement. L’ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme = . On note J le moment d’inertie de l’aiguille.

Quelle est la position d’équilibre stable de l’aiguille ? On écarte l’aiguille d’un angle θ_o faible par rapport à la position d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. Que se passe-t-il ? Montrer que le mouvement de l’aiguille est décrit par une équation se ramenant formellement à celle d’un oscillateur harmonique dont on exprimera la période.

2°) Une expérience préalable a donné des oscillations de période T_o = 0,50 s en appliquant un champ uniforme de valeur B_o = 10 mT. On donne J = mL²/12 avec une masse de l’aiguille m = 0,35 g et une longueur L = 3,0 cm. Estimer le moment magnétique de l’aiguille.

3°) On réalise ensuite deux expériences successives en produisant un champ de module B₁ = 1,0 mT au moyen d’un dispositif adéquat (bobines de Helmholtz), en imposant ce champ d’abord dans le sens du champ magnétique terrestre puis dans un sens opposé. Déterminer les valeurs respectives T_a et T_b des périodes des oscillations obtenues et montrer comment on peut procéder pour remonter à la valeur du champ magnétique terrestre à partir des mesures de T_a et T_b. Le champ magnétique terrestre étant de l’ordre de 50 µT, estimer l’écart de valeur ∆T attendu entre les périodes T_a et T_b.

Réponse :

1°) L’aiguille est soumise à un couple Γ = MB.sinθ. Le TMC appliquépar rapport à l’axe de rotation donne : + = 0. Pour θ ≈ 0, sinθ ≈ θ, oscillateur harmonique de période ! = 2 "_$%^# . 2°) M = 4π²J/(T_o²B_o) avec J = mL²/12 donne M= 4,1.10^-6 A.m².

3°) Les modules de deux champ s’additionnent (cas a) ou se soustraient (cas b).

B1 + Bh = (4π²J/M)(1/Ta²) et B1 - Bh = (4π²J/M)(1/Tb²) on tire :

_& = _'!₍² − !²

!² + !₍²

Notons Tb = Ta + ∆T ; en ne conservant que les termes d’ordre 1 en ∆T/Ta on obtient approximativement B_h ≈ 2.B₁.∆T/(2T_a) soit un écart relatif de l’ordre de ∆T/T_a ≈ B_h/B₁ ≈ 0,05 avec T_a ≈ 1,6 s donc ∆T ≈ 80 ms.

7. Principe du moteur synchrone :

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4 Un aimant permanent, de moment magnétique M constant est libre de tourner autour d’un axe (Oz), le centre de l’aimant étant situé en O et le vecteur moment magnétique de l’aimant évoluant dans le plan (Oxy).Un dispositif de bobines permet de produire un champ magnétique localement uniforme aux environs de O, d’expression : +,- = +cos +1,-2 + sin +1,-2 -₅ .

On étudie la possibilité de réaliser un moteur rotatif en reliant l’aimant, servant de rotor, à un arbre d’axe (Oz).

1. Expliquer pourquoi on peut envisager un entraînement en rotation de l’aimant à une vitesse angulaire ω.

Dans la suite, pour les questions 2 à 4, on envisage le régime permanent de rotation de l’aimant à la vitesse angulaire ω imposée par celle du champ magnétique tournant. Cette rotation synchrone peut néanmoins présenter un décalage angulaire θ_o éventuel entre la direction du moment

magnétique de l’aimant et le champ magnétique.

2. Calculer le couple Γ des actions de Laplace s’exerçant sur l’aimant dans ces conditions. Pour quelles valeurs de θ_o ce couple est-il moteur ? Commenter. Quelle sont les valeurs maximales et minimales que peut prendre Γ ? Quelles sont les valeurs correspondantes ?

L’arbre du moteur est relié à un dispositif mécanique offrant un couple résistant supposé constant noté – Γr. On néglige les frottements fluides. On admet que dans ces conditions, un

fonctionnement stable du moteur limite les valeurs de θ_o à l’intervalle [0, π/2].

3. Déterminer la relation existant entre les différents paramètres du moteur (M, B_o, ω, θ_o) et le couple résistant - Γr, lorsque le moteur tourne à vitesse angulaire constante.

4. Quel paramètre du moteur dépend-il de l’effort demandé ? Décrire ce que l’on observe pour différentes valeurs de Γ_r et montrer que le moteur ne fonctionnera que si l’effort demandé est inférieur à une valeur maximale.

5. On examine la possibilité d’une rotation de l’aimant à une vitesse angulaire ω’ différente de celle du champ magnétique tournant. On note (ω’t – θo) l’angle que fait le moment magnétique avec l’axe (Ox) à l’instant t. Que vaut le couple instantané des actions de Laplace ? Quelle est sa moyenne temporelle ? Conclusion ? Le moteur synchrone peut-il démarrer seul ?

Réponse : 1. et 2. +,- est un vecteur-champ tournant à la vitesse angulaire ω, de module B_o. Pour un aimant en rotation à vitesse ω, l’action de ce champ produit un couple de module B_o.M.sinθ_o. qui tendra à maintenir la rotation de l’aimant. Ce couple est moteur pour θ_o > 0 et récepteur pour θ_o < 0.

Son module est maximal à θo = π/2 et vaut alors Bo.M. Il s’annule pour θo = 0.

3. Par le TMC appliqué sur (Oz) : ^6+#7-

68 = − ₉ avec dω/dt = 0 à ω = cste.

4. ω ne peut pas varier selon l’effort demandé (puisqu’imposé par l’alimentation des bobines produisant le champ). C’est donc θ_o qui va s’ajuster.θ_o = arcsin(Γ_r/(MB_o)).

Ce qui impose d’avoir Γ_r < MB_o. Au-delà de cette valeur, le moteur va « décrocher » : le rotor ne suit plus la rotation à vitesse ω du champ.

5 . L’angle entre moment magnétique et champ est alors θ(t) = (ω – ω’)t + θo. Le couple est alors +,- et sa valeur moyenne est nulle. En moyenne le rotor n’est plus entraîné. Si au démarrage l’aimant-rotor est immobile et que le champ tournant est immédiatement mis en rotation à vitesse angulaire ω, le moteur ne peut pas démarrer. Les solutions technologiques de cette difficulté pourront être abordées en seconde année...