HAL Id: jpa-00249026
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Submitted on 1 Jan 1993
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Diffusion en régime permanent d’un champ magnétique glissant dans une plaque ferromagnétique
A. Guettafi, G. Quichaud
To cite this version:
A. Guettafi, G. Quichaud. Diffusion en régime permanent d’un champ magnétique glissant dans une plaque ferromagnétique. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1993, 3 (8), pp.1625-1637.
�10.1051/jp3:1993225�. �jpa-00249026�
J. Phys. III France 3 (1993) 1625-1637 AuGusT 1993, PAGE 1625
Classification Physic-s Absfi.acts
75. 90 41 I OF
Diffusion en rdgime permanent d'un champ magndtique
glissant dans une plaque ferromagndtique
A. Guettafi (*) et G. Quichaud
Laboratoire d'Electrotechnique des Universit6s Paris VI et XI, Bfit. 214, 91405 Orsay, France (Re~,a le 20 ai>ril 1993, acceptd le Jr' pain 1993)
Rdsumd, On d6termine en rdgime permanent le potentiel vecteur magn6tique dans une plaque ferromagn6tique en pr6sence des courants induits par un champ magndtique d'excitation glissant.
La plaque a une caractdristique magndtique B(H) non lindaire. On en d6duit en fonction de l'intensit6 du courant d'excitation et de la fr6quence de glissement l'imp6dance cyclique des bobinages d'excitation ainsi que des visuali~ations de l'induction et de la penn6abilit6 de la plaque.
Abstract, We determine the magnetic vector potential for a ferromagnetic plate in the steady
state conditions with eddy currents which are induced by sliding field currents. Our plate has non
linear magnetic B (HI characteristic. We deduce the cyclic impedance of the field coils and the visualizations of the induction and the permeability of the plate as a function of both the magnitude of field current and the dip frequency.
1, Introduction.
Certains convertisseurs dlectromdcaniques tournants ou glissants utilisent pour leur fonctionne- ment principal des courants induits dans des parties massives en acier ferromagndtique
saturable. Aussi on a envisagd dans notre laboratoire de modifier la gdndratrice asynchrone impulsionnelle dtudide jI en rempla9ant son rotor discoide massif en duralumin par un rotor en
acier [21. Citons dgalement [es rotors massifs en acier de certains moteurs asynchrones [31 ou les induits fixes dgalement en acier des moteurs lindaires [41.
Bien que le problbme de courants induits en prdsence d'un champ magndtique tournant ait dtd l'objet d'dtudes numdriques [51, on le traite encore assez souvent d'une fa90n approchde
avec l'hypothdse du champ tangentiel pulsd [6]. Cette hypothbse se justifie bien dans le cas du champ magndtique pulsd utilisd dans le chauffage par induction [7] oh par ailleurs la condition
aux limites sur cette composante tangentielle h la surface du lingot ferromagndtique chauffd est
assez bien connue. Par contre cela est beaucoup moins vrai en champ magn6tique glissant ou
(*) Actuellement h l'Institut d'Electrotechnique de l'Universitd de BATNA. Rue Chahid Boukhlouf Med El Hadi, 05000 Batna, Alg6rie.
tournant, la condition aux limites dtant mal connue si l'entrefer est important et la composante normale de l'induction magndtique n'dtant pas toujours ndgligeable.
La figure I rappelle [1, 2] le principe de rdalisation d'une machine asynchrone h rotor discoide en acier massif et son fonctionnement en gdn6ratrice impulsionnelle. L'autoamor9age
de la gdndratrice grhce aux condensateurs conduit h travers le pont redresseur h un courant unidirectionnel croissant dans l'inductance de charge, ce qui conduit h un freinage violent de
son rotor.
, flit)
~~~~~~~~
triphw4s I
"J
p = 4 paires de poles t
~
b
=
.012im "W,ill
I,(t)
Rotor d~scdide en acier conductivit6 7a
" 4,55.lE+06 (flm)~~ # 05m I(t)
= .2?m flit()y
~ ~-~
li(t) C I(t)
Bmt*'5~ ,'
12(t) C
_~~
L
13(t) C
Machine ssynchrone k rotor msssif Capacites Pant Inductance
d'autoamorqage redresseur de charge
Fig. I. Schdma d'une g6n6ratrice asynchrone impulsionnelle.
[Schematic diagram of an asynchronous pulsed generator system.]
La mod61isation pr6sent6e dans la suite est une premidre 6tape dans laquelle afin d'dviter des
difficult6s suppldmentaires dues h la gdomdtrie discoide on utilise un moddle lin6aire
6quivalent consistant h d6velopper le rotor ainsi que [es bobinages comme il est indiqu6 sur la
figure 2 oh nous avons 6galement ports les divers systdmes d'axes qui seront utilis6s dans la suite. Cette machine dquivalente [2] utilise principalement les notions de longueur L, largeur I
et conductivitd y dquivalentes et suppose la caractdristique magndtique B(H) de la plaque glissante identique h celle de l'acier du rotor. Les rdsultats numdriques donnds dans la suite ont dtd obtenus avec les dimensions portdes sur (es figures I et 2. Nous nous sommes limitds au
fonctionnement en rdgime permanent de la machine asynchrone h rotor discoide supposde
alimentde par des courants imposds h variation sinusoidale dans le temps. Dans [2] on trouvera une Etude plus compldte qui prend en compte la croissance de ces courants.
Sur la figure 2 le systdme d'axes OXYZ est le repdre fixe lid aux bobinages, alors que o.;yz et O'X'Y'Z' sont les repdres mobiles lids respectivement h la plaque et aux courants
d'excitation glissants de pulsation w ddfinis dans la suite. Les origines de ces trois systdmes
d'axes sont dans le plan mddian de la plaque. Nous utiliserons dgalement dans O'X'Y'Z' les coordonndes rdduites u, v et w ainsi ddfinies oh r
= p/R
ii = rY'
v = 2 Z'/E
w> =
X'li
N° 8 PLAQUE FERROMAGNETIQUE EN CHAMP GLISSANT 1627
' '
~~ /
~'
/ /
/ 'j 2H+h
flwtj~ Z' ' '
'
m ti
, ~
~/ ~°~~~~~ *~~~"? ,j(ii,i~' E
/ ~~~ " ~~ j£l~/
/
'f $)" ' '
,'~~W ,'Oi-S'
' ,
'
' /
'
"
/
' ,
Y Y" o /
/ '
/ /
PlaqUe gfiswnte de colldUcfidi£ 7 " 0.48 70». et de
" # 0.23m
/
/ ,/
L
= 2« R~R
= 0,3425m) Fig. 2. Machine lin6aire 6quivalente.
[Equivalent linear machine.]
Notons les principales relations relatives h ces changements de repdres
Y
=
RDt + y
u =
rY'
= wt rY
= gwt ry
oh: gw=w-pl2,
Les densit6s de conducteurs orient6s selon OX pour chacune des trois phases (m
= I h 3) ont
pour expressions
n~(Y, Z)
= No h cos (2 gr '~ ~ ry g (Z)
oh No = 9 270 conducteurs/m2.
Nous nous placerons dans la suite dans l'hypothdse simplif16e des nappes de courants d'excitation c'est-h-dire que la fonction de r6partition g (Z) sera la somme de deux masses de Dirac
g(Z)= &(Z-H)+ &(Z+H).
D'une fa90n plus pr6cise [es courants d'excitation suppos6s connus pour chacune des trois
phases seront pris sous la forme
i~~(t) = lo cos (wt 2 gr '~ 3 + io)
Dans ces conditions la densit6 de courants d'excitation a une seule composante selon O-r qui s'6crit
ou encore en utilisant les coordonn6es rdduites u, v
Nous ndgligerons dgalement toute ddpendance en X' ou w'. Ainsi l'unique composante
a ~, =, t selon OX' du potentiel vecteur s'dcrira dgalement A (u, v et possddera les propridtds d'antipdriodicitd (pdriode gr) des courants d'excitation
Jo(u + gr, v = Jo(u, v et de symdtrie
Jolu, vi
= Jolu, v j,
Il sera donc suffisant dans la suite de ddterminer A (u, v ) dans le domaine ddfini sur la figure 3.
/
.'
,/
,/ '
~ / (L)
I
(NL) Plaque
~, ~/
~ = 2,225,lE+06 (aml'~
~
0,
/ / /
/ 1' / /
/ / / /
~
/ /
Fig. 3. Domaines d'dtude.
[Domains of study.]
N° 8 PLAQUE FERROMAGNfTIQUE EN CHAMP GLISSANT 1629
2. Plaque ferromagnktique en champ glissant. Mise en Equation.
2,I ~QUATIONS AUX D#RIV#ES PARTIELLES D#FINISSANT LE POTENTIEL VECTEUR. Si on ddfinit les opdrateurs diffdrentiels suivants
3 ~ 3 3 4 3
~°
au ~ au
~
au E2 au
j 3 ~~~ 3 ~ 3
~
4 3
~ 3
au au au E2 au ~° ~~
au
le potentiel vecteur inconnu A(u, v) satisfait :
30A + ~oJo(u, v)
=
o 11)
dans (L) et
2l4
=
o (2)
dans (NL).
La rdluctivitd relative v se ddtermine h partir du module B de l'induction magndtique dans la
plaque
~~J/(P)
~~ (Gl' ~~~
en utilisant une courbe de magndtisme B(H).
Le potentiel doit dgalement Etre continu ainsi que la composante selon OY' du champ magndtique h l'interface plaque-air v = I, soit
I( v ~~
=
~~ (4)
~V
v (NL) ~V
v (L)
et satisfaire les conditions :
A (u, co )
=
0
~ ~~
=o (5)
E au
v o
A(u + «)
= -Aiu, v).
Remarquons le type elliptique de (I) et (2) d0 au fait que la mise en Equation a dtd effectude dans le rdfdrentiel lid aux courants d'excitation.
2.2 D#COUPLAGE DES RECHERCHES DU POTENTIEL VECTEUR DANS LA PLAQUE ET DANS L'AIR.
Tel que le probldme est ainsi posd, les recherches de A (ii, v) satisfaisant respectivement (I )
et (2) sont coupldes par la condition d'interface (4). Grice h l'utilisation de l'opdrateur de rigiditd [8, 9] associd h l'interface plaque-air, il est possible de ddcoupler ces deux recherches.
Le concept de l'opdrateur de rigiditd repose sur le fait que la donnde de ((v 3A/3v ),
j)j~~~
associde h (5) conduit h une solution unique de l'dquation (2). Or la lindaritd du domaine (L) associde h (4) permet d'dcrire
~~~~~'~~~~~~~~~ ~~ ~v=l~(NL)
v=l~(LJ
~~~
k est l'opdrateur lindaire de rigiditd qui calcule le dernier membre de (6) en fonction de
A(u, I), les courants d'excitation dtant nuls.
Ko(u) est la valeur de ce mEme dernier membre si A(u, 1) = 0, donc due aux seuls courants d'excitation. Nous avons ainsi dtabli [2] :
Ko(u
= po
~ No hlo exp (- T (H E/2 )) cos (u + $ro) (7) 2
alors que l'opdrateur K est tel que cos (2 n I) u et sin (2 n I) u sont ses fonctions propres assocides h sa valeur propre double (2 n I ) r soit
On peut ainsi ddterrniner le potentiel vecteur Ala, v) dans (NL), domaine de la plaque
ferromagndtique comme solution du probldme aux limites suivant AA=0
A(w,v)=-A(o,v)
j3Aj ~ ~~~
i
v=o
(v~~) =~K(A(u,I))+~Ko(u).
au v=1 2 2
3. Mise sous forme variationnelle de la recherche du potentiel vecteur dans la plaque.
La mdthode de projection fonctionnelle de Galerkin va mettre (8) sous forme variationnelle ce
qui nous permettra d'utiliser une mdthode d'dl£ments finis pour ddterminer numdriquement sa
solution. Ayant choisi des fonctions 4,(u, v) qui constituent une base pour les potentiels
vecteurs antipdriodiques A(u, v) dans (NL) donc telles que :
l~,(7r, v)
=
qi,(0, v).
On recherche donc A(u, v) sous la forme A(u, v)
= ~jA, ~§,(u, v),
Ainsi on substitue au probldme (8) la recherche des A, conduisant quel que soit l'indice j h satisfaire :
II w AA q§ (U, V dU dV
=
0 (9)
o
o
Aprds intdgration par parties compte tenu de l'antipdriodicitd cette condition (9) met (8) sous la forme variationnelle suivante :
~ l~ j~ ~ ~~2E~ ~§~> b§~j ~§$, b§$~ ~2 a~§
, o o
' 4 au W ~ " WW ~ ~° Y~~° it l~j du dv
~ Iv
r jj jj (2 n I A;(a~, cos (2 n I ) u + b~, sin (2 n I u) 4~(u, I du
~
0
, n
l~~ Epo lo No h exp (- r (H E/2 )) cos (u + $ro). 4~ (u, I) du = 0 ,
(lo)
o 2
N° 8 PLAQUE FERROMAGNfTIQUE EN CHAMP GLISSANT 1631
oh les coefficients de Fourier a,,,, b,,~ de 4, (u, I ont permis d'dcrire :
~ ~
K(A (u, I ))
= r jj jj (2 n I )(a~, cos (2 n I u + b~, sin (2 n I u).
, i n =1
4. D4termination des coefficients de couplage plaque-bobinage.
Pour les rdgimes permanents considdrds prdckdemment l'effet du filtrage du bobinage triphasd
conduit pour chaque phase h une tension sinusoidale
um(i)
=
u cos wt ~~" im 1) + 4io + 4i
qui se calcule h partir de A (u, I donna par la solution du probldme variationnel 110) prdcddent.
Si on note r la rdsistance d'une phase :
2j/o, gw
= I +
~ exp j~
= ; + w (G(lo, gw + jH(/o, gw )) (i i)
o
est l'imp6dance cyclique des bobinages triphas6s en prdsence de la plaque ferromagndtique. La
non-lindaritd magndtique de la plaque conduit h une ddpendance de Z par rapport h
lo.
Les coefficients G(Io, gw) et H(Io, gw) caractdrisent le couplage plaque-bobinage et
permettent de calculer les puissances active P et rdactive Q ainsi que le couple rmis en jeu
soit
P
=
~ rI( + ~ wG(Io, gw )I(
Q
=
~ wH(Io, gw )Ii
r
=
~ pGji~, gw )1(.
5. Mise en wuvre pratique au moyen d'une m4thode d'dlkments finis.
Le domaine (NL est ddcomposd en triangles comme il est indiqud sur la figure 4. Ce maillage
est obtenu h partir d'une ddcomposition en NRU rectangles selon u et NRV rectangles selon v.
Chacun de ces NRU x NRV rectangles est ddcomposd en quatre triangles dont le sommet
commun est le centre de gravitd du rectangle. A chaque nmud I d'abscisse diffdrente de won
associe une fonction de base pyramidale 4~ (u, v h variation lindaire sur chaque triangle et telle que :
l~,(7r, V)
= l~,10, v)
Lors de l'assemblage de la matrice de rigiditd [5] associde h (lo) on effectue une condensation relative aux nmuds centre de gravit6 des rectangles ce qui 61imine de la mise en
Equation finale les potentiels inconnus de ces nwuds. Le stockage de la matrice non symdtrique [S] s'effectue au moyen de la mdthode de la ligne de ciel [10] et lors du processus it6ratif de
rdsolution les systdmes lindaires successifs sont rdsolus au moyen d'une mdthode directe de Gauss sans recherche de pivots maximums.
D'une manibre plus prdcise la mdthode de rdsolution du systdme non lindaire mis sous la
u
(I)
I
'_
'
,, ', I'
~j/ ~,,
u
0
K
NRU: nombre de rectangles selan au
NRV: nombre de rectangles selon ou
Fig. 4. Discrdtisation du domaine (NL).
[Domain (NL discretisation.
forme [S] [A
= [F et donna par (10) consiste h ddmarrer la recherche de la solution par une
mdthode d'approximations successives avec relaxation [I I] sur [es rdluctivitds v suivie d'une mdthode de Newton-Raphson.
Le paramdtre de relaxation p tel que
"n +1 ~ "n + P ("il+1 "n)
a dtd choisi dgal h 0,2. v,,~j et v~ sont [es rdluctivitds utilisdes aux dtapes n + I et n,
v,)~ dtant la rdluctivitd intermddiaire obtenue h l'issue de l'dtape n. Ainsi aprbs environ quinze approximations successives on amdliore la solution avec 6 h 8 itdrations d'une mdthode de
Newton-Raphson qui ne converge pas toujours sans ces approximations prdliminaires.
Quant h la condensation prdcddente si elle diminue bien l'ordre des systdmes lindaires h rdsoudre par contre elle ndcessite le stockage temporaire des coefficients permettant le calcul du potentiel de chaque nmud central dlimind. On peut ainsi dans le cas non lindaire obtenir les
nouvelles rdluctivitds des triangles utiles pour la rdsolution suivante.
Pour les faibles dpaisseurs de peau nous avons prdfdr6 h un maillage irr6gulier en v conserver
le maillage r6gulier pr6cddent et diminuer h une valeur E' inf6rieure h E l'6paisseur de la
plaque.
6, Rdsultats de la mod41isation num4rique,
Le programme informatique que nous avons utilisd nous a permis h partir du moddle glissant Equivalent donna dans l'introduction de ddterminer, au moyen de la formule ill), les coefficients G (lo, gw et H(Io, gw ) caractdrisant de l'extdrieur (bornes dlectriques, arbre mdcanique) le comportement dnergdtique du convertisseur asynchrone.
Les r6sultats que nous donnons dans la suite ont dtd obtenus pour une conductivit6 yo (gale h celle d'un acier mi-dur soit yo
~ 4,55 x10~ (ilm)~' La rdluctivitd relative v(B) a dtd prise sous la forme des fractions rationnelles [2, 12].
N° 8 PLAQUE FERROMAGNfTIQUE EN CHAMP GLISSANT 1633
v(B)=c+(I-c)~ ~8 si B~BO
B +d
v(B)=1-~~
si B~BO
oh nous avons choisi:
c =
10~~ Bo = 2,636246512 T
d
=
16 330 B~ = 2,304408982 T
ce qui conduit, pour la simple prdcision de l'ordinateur utilisd, aux continuitds de v et
dv/dB~, ndcessaires lors des itdrations prdcddentes. Ces lois de rdluctivitd conduisent h la courbe de magndtisme B (H) de la figure 5. La conductivitd dquivalente y a dtd prise dgale h 0,48 yo.
B(T~
o,5 1 2 H.lE+06 (Mm)
°
Ho H(1~
Fig. 5. Courbe de magndtisme B(H).
jB-H curve.]
Nous avons ainsi dtd conduits en prenant NRU x NRV
=
lo x 9 aux abaques des figures 6a et b donnant les coefficients de couplage G et H. Nous donnons sur les figures 7 h 9 et dans le
repbre OX'Y'Z' lid aux courants glissants des visualisations des lignes d'induction dans la
plaque et son voisinage ainsi que des lignes d'dquipermdabilitd relative p dans cette plaque.
Nous portons dgalement sur ces figures quelques valeurs particulibres de permdabilitd ainsi que
des inductions correspondantes. Remarquons (Fig. 9) que si lorsque la pdndtration du champ
est faible celui-ci est bien pratiquement pulsd et paralldle h la plaque cela est beaucoup moins vrai lorsque (Fig. 8) la pdndtration est plus importante. Les zones h fort gradient de
permdabilitd (trait fort des Figs. 7b h 9b) qui correspondent au basculement des domaines
ferromagndtiques de la plaque peuvent s'interprdter comme les frontibres mobiles introduites
en conduction thermique lors des changements de phase (fusion solidification par exemple) [2, 7].
H (mH) (a) Abaques H go, gW)
0.8
0.4
0.3
0.2
ZW (nvs) ~"
2,225106(nm)-I o
~~~~ 2°°° 1500
0
G(mH~
,~ooo«
~b)Abaques G go, gw)
o-1
~= 2,225106 (flm)-I
(rd/s) ~
2500 2000 1000
Fig. 6. a) Abaques H(Io, gw ), b) Abaques G(lo, 9W ).
[al Abacus Hllo, gW ). b) Abacus G(lo, gW).I
N° 8 PLAQUE FERROMAGNfTIQUE EN CHAMP GLISSANT 1635
y,
= o y, nR
2
a) NRU x NRV
=
20 x 18, lo 15 000 A, E'
=
E
=
0.05 m, ~o " 7r/2, gw = 0 rd/s,
AA
= 0.01 Wb/m.
~~.~ 34.4 *'
h
. 34.4
~~ ~
@
i»15A 2.4 T
,'
~% 2A T
q,~
~
4 T
---.- ----.-h
" 6.23 12.7 929.6 12.7 6.23 12.7 929.6 12.7 6.23
2,74 Tesca 1,02 T 2,74 T 1,02T 2,74 T
b) NRU x NRV
=
20 x 18, lo " 15 000 A, E' =
E
=
0.05 m, ~o " "/2, gw
=
0 rd/s, AR
=
15.
Fig. 7. -a) Lignes de champ (&4 = 0,01Wb/m). b) Lignes d'dquipermdabilitds (AR =15).
[a) Distribution of the field lines (AA 0.01Wb/m ). b) Equipermeabilities lines (AR
=
15),1
/
Y'
= 0
y, nR
2
al NRU x NRV
=
20 x 18, lo = 15 000 A, E'
=
E
= 0.05 m, ~o = 7r/2, gw
= 133 rd/s, AA
= 0.01 Wb/m.
Fig. 8. a) Lignes de champ (AA 0,01Wb/m), b) Lignes d'dquipermdabilitds (AR = 15).
[a) Distribution of the field lines (AA
= 0.01Wb/m ). b) Equipermeabilities lines (AR = 15).]
~~j~ -.,,I, 15.2 31.5 26.6 58.2 .-,$',, 55.2 26.6 58.2
==-- ' ==~
1.56 T
~
,;§, ~ 2.2 T '- ,z, ~
3.72 7.25 12.9 2.6 2.37 4.88 5.80 2.45 3.72
3,42 T 3,98 T 3,42 T
b) NRU x NRV
=
20 x 18, lo 15 000 A, E' E
=
0.05 m. ~o
"
"/2, gw
=
133 rd/s, AR 15.
Fig. 8 (continued).
' / / j
j ,~ '~ / / , ,/
Y' = 0
,
nR
~ 2 a) NRU
x NRV 20
x 18, lo = 000 A, E' 0.015 m, #o = w/2, gw 995 rd/s,
AA 0.002 wb/m (Plaque agrandie 6,67 fois en dpaisseur).
~_~
=~-~=~~ ~_ -~~===~=
~
~
__~= l000
~~ ~
' fi_4~Z
f'fi =
-.~~
©fi -~
=~-~ --'
76.0 p = 59.6 19.9 26.2 138.5 29.0 19.8 50.0
199 T 2,23 T
b) NRU x NRV 20
x 18, lo = 000 A, E' 0.015 m, #o " w/2, gw 1995 rd/s, AM
=
100
(Plaque agrandie 6,67 fois en dpaisseur).
Fig. 9. a) Lignes de champ (AA = 0.002 wb/m). b) Lignes d'dquipermdabilitds (AM =100).
la) Distribution of the field lines (AA
=
0.002 wb/m ). b) Equiperrneabilities lines (AM
=
100).]
7. Conclusion.
Dans ce travail nous avons d6veloppd une m6thode d'616ments finis qui permet de tenir compte
des courants induits dans une plaque ferromagndtique pour d6terminer [es coefficients de
couplage d'un bobinage triphas6 avec cette plaque mobile. Cette d6termination ayant 6t6 faite
