Vibration d'une plaque métallique dans un champ sonore

HAL Id: jpa-00233979

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233979

Submitted on 1 Jan 1946

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Vibration d’une plaque métallique dans un champ sonore

Théodore Vogel

To cite this version:

VIBRATION D’UNE

_PLAQUE

_{MÉTALLIQUE DANS}

UN CHAMP SONORE

Par THÉODORE VOGEL.

Centre de Recherches S. I. M., Marseille.

Sommaire.

2014 On

reprend pour commencer, en la corrigeant et en la _complétant sur certains _points, la théorie de la _transparence d’une _plaque vibrant dans un _champ sonore uniforme. On déduit de cette

théorie une _{expression approchée} de la _{transparence,} pour les fréquences excitatrices notablement

différentes de la _fréquence propre fondamentale (la plus grave) de la _plaque; cette _expression est suscep-tible de vérification expérimentale.

Dans une deuxième partie, on décrit une méthode pour la mesure _{expérimentale} des _{transparences,}

et l’on donne les résultats pour quelques plaques de dimensions différentes. Ces résultats sont en accord très satisfaisant avec la théorie précédente, que l’on _peut ainsi considérer comme établie. Par _contre, les _prévisions de la théorie _que Davis avait _proposée du même phénomène s’écartent notablement des valeurs mesurées, surtout pour les plaques de _petites dimensions.

1. - Théorie

approchée

de la

_{transparence acoustique.}

1. Définitions. - Considérons _une

plaque

rectan-gulaire élastique posée

sur son

_pourtour

sur une

fenêtre

_pratiquée

dans un

_plan

_indéfini,

et soit

un train d’ondes sonores

_planes

venant

_frapper

cette

_plaque

normalement à sa surface. Si u

est la vitesse des molécules d’air dans l’onde incidente au

voisinage

immédiat de la

plaque,

l’énergie acoustique

incidente

sera I

R u2,

par unité de

surface,

R étant la résistance

_acoustique

spécifique

de l’air

(densité

X vitesse du

_son).

Sous l’influence de la

_pression

exercée sur

_elle,

la

_plaque

se mettra à

vibrer;

si W est son

_énergie

de

vibration,

nous

_appellerons

_transparence

de la

_plaque

le

rapport

Cette dénomination tire son

_origine

du fait que les

déplacements

de la

_plaque

seront

_également

ceux

de l’air situé derrière

elle,

et

_{qu’une énergie}

acous-tique f

W sera de la sorte

_communiquée

à

_l’espace

ln

situé au delà de la

fenêtre,

alors que si l’on enlevait

la

_plaque,

l’onde transmettrait

_{intégralement}

son

énergie

_20132013

(aux perturbations près

dues aux bords

de la

_fenêtre).

Nous allons étudier les vibrations de la

_plaque

en les caractérisant

principalement

par

l’expression

de ~.

2.

_Équation

aux vibrations de la

plaque.

-Prenons des axes xy coïncidant avec deux des

bords de la

_plaque,

de sorte _{que celle-ci} sera limitée

par les droites x = o; x = _a;

y = o; y = b. Soit

_{z {x,}

_y,

_t)

le

_{déplacement,}

au

_{temps t,}

du

point

de la

_plaque

_qui

_occupe au _{repos la}

_{position x,}

_y.

Nous pourrons

développer z

en série de fonctions

données de x, y, à condition que ces fonctions

forment un

_{système complet,}

et l’on

_prévoit

immédia-tement l’intérêt

_qu’il

_y aura à ce

_qu’elles

_soient,

de

_{plus, orthogonales,}

de manière à faire

dispa-raître les termes

_{rectangulaires}

de toutes les

inté-grations qui

pourront

intervenir dans nos

calculs;

l’idée vient tout naturellement à

_l’esprit

d’utiliser

les fonctions normales de la

_{plaque posée,}

soit

Nous écrirons donc

Suivant une méthode

_classique,

nous _pourrons

prendre

les Ar., pour coordonnées

généralisées

de

notre

_problème;

_{l’équation}

d’onde connue

(E

module de

_Young,

e

_épaisseur

de la

_plaque,

7 coefficient de

Poisson,

m masse de la

_plaque

par unité de

surface)

donne alors

en

_posant

Il nous reste donc à calculer la force

_{généralisée}

_Frs,

194

c’est-à-dire en la dérivée par

_rapport

à la

coordonnée Ar_" du travail virtuel. Or celui-ci est

égal

au

_produit

de la

_pression

sur un élément de la

plaque

par le

déplacement

virtuel de cet élément,

intégré

sur routf1 la surface de la

_{plaque :}

Si u est la vitesse de l’onde sonore

_incidente,

u’ celle

de l’onde

réfléchie,

.R la résistance

_acoustique

spéci-fique

de

_l’air,

on a

eL, par

l’équation

de continuité u

+ u’ = 1,

Le

_déplacement

virtuel en

_(x,

_~)

_{est, lui,}

Donc

qui

se

_réduit,

en vertu de

_{l’orthogônalité}

des

_{f ,}

à

Notre

_équation

d’onde se

_présente

donc sous deux

formes : _pour les modes où l’un des indices r, s est

pair,

on a un

_régime

libre amorti

et _{pour les} modes où les deux indices sont

_impairs,

un

_régime

forcé

Ce dernier est le seul

_qui

nous intéresse du

_point

de vue de la communication à

_l’espace

situé derrière la

_plaque

des vibrations sonores incidentes.

Si la solution

_qui

nous

_importe

est donc

avec

La

_transparence

sera

alors,

_par un calcul sans

difficultés,

3. Discussion. - 1°

On voit que ~~;/" est

symé-trique

en

_{log x,.,;}

_pour x,.,, =

1, il y a un maximum

dont la valeur

‘

- est

indépendante

du

para-irs)’

mètre

3,.,.

De

_même,

la

_largeur

de la

_pointe

de

résonance,

mesurée à un niveau

_{donné ’}

du

maximum,

est

_{indépendante}

de l’ordre de la réso-nance ; en

_effet,

_{l’inégalité}

donne

2° Pour x/,." suffisamment différent de i, i~1,_; se

confond avec

_{o, 64}

_(rs

_{p,,, x,.;)-2}

ou avec

o,64~

(rs ~7~)"~

suivant que x > i ou x I. Pour fixer les idées

sur le

_{degré d’approximation,}

nous avons tracé

_{(fig. i)}

Fig. I. - Variation de

~,.5 (x,,s)

pour = 50, en db de ,

la courbe exacte et les deux branches de courbes

approchées

pour

P’2, =

50, valeur du

_paramètre

qui correspond

à m =

_{0 (0,3)}

et w,,; = 0

(3000);

on

voit

_qu’en

dehors de l’étroite bande « de

_pointe

»

définie

ci-dessus,

la coïncidence est fort bonne.

3° Ceci

_posé,

nous _pouvons évaluer la

trans-parence totale d’un panneau pour > &)11. La

suite des

_fréquences

_propres est

Cette

_{expression représente (fig. 2)}

dans le

_plan

des r, s une

_ellipse

de surface

-r.

Les

_fréquences

propres

correspondant

aux

_points

r, s = _1, 3,

5,

195

il y en aura une dans

_chaque

carré de surface

4

du

premier

quadrant

du

_plan

{r,

s);

le nombre des

fréquences

propres inférieures à une valeur donnée

(c’est-â-dire

représentées

par des

points

intérieurs à

Fig. 2. -

L’ellipse intérieure représente la courbe

2~~~(~-t-&~)-~M~.

Les points lb sont les _fréquences propres w, les

points + correspondent à co _{c~, +} Ao), et les

points 0 à w,., > w + AM.

_Ici

a> ‘-’ ·

10 )

une

_ellipse

_donnée)

est donc, avec une

approxi-mation d’autant meilleure que m est

_{plus grand,}

et entre m et w + àw il _y en aura

Cette

_quantité

est

_{indépendante}

de la

_fréquence.

(Notons

en

_passant

_{que si} l’on avait traité le _panneau

comme une membrane _tendue, la suite des

_fréquences

propres aurait

procédé

suivant les racines carrées

de r2 ₊

_s2,

et _{il y} aurait eu accumulation aux

_{aiguës ;}

il y a là un _{moyen de} reconnaître

laquelle

des deux

schématisations

_possibles

est

_{plus proche}

de la

réalité.)

Soit une tôle d’Al de I _{mm, de}

dimen-sions 100 X 100

cm2,

on aura

_{(module de Young}

7 . Ioll,

coefficient de Poisson

_0,13),

Cette densité est telle

_qu’on

_{pourra considérer} toute

_fréquence

donnée

_(très

_grande

devant la

fondamentale)

comme une

_fréquence

_propre

_multiple

dont les ordres r, s satisfont à

avec _{r, s} entiers

_impairs;

la

_transparence

à

la

_pulsation

considérée se _composera de trois sommes, la

première

correspondant

à tous les termes résonant

dans l’intervalle

_(co,

co _{+ la deuxième} et la

troisième

_{respectivement}

à tous ceux

_qui

résonnent au-dessous et au-dessus de o. Nous écrirons

40

Pour w

_grand,

on a avec une

_{approximation}

suffisant

ou, en

_intégrant

en s,

nous

_prendrons

la moyenne

géométrique,

soit

ce

qui équivaut

à ne

_distinguer

les _{panneaux, du}

point

de vue de la

dimension,

que par leur

superficie

et non _{par leur forme}

_plus

ou moins

_éloignée

du

carré.

5° Pour les deux autres sommes, on _a, en

_adoptant

pour les

expressions approchées

du 2°,

D’ailleurs,

comme > ú) dans la

_première

_somme,

et, par

suite,

où la notation

₁

désigne

une sommation étendue

7--196

à tous les 7’, s

_impairs

(soit

l’ Il. )1

moins les termes

qui

résonnent dans la bande

_(w,

_Aoj).

Donc

Pour calculer

_~,

nous pouvons regrouper les termes,

la série étant absolument

convergente,

et écrire

Or on se

_rappellera

_que

Donc

Finalement

Le deuxième terme correctif sera

_toujours

négli-geable ; l’importance

relative du

_premier

_dépendra

essentiellement de la valeur du

_produit

_{a, b.}

Pour les mailles

_{plus petites,}

il ne sera sensible

_qu’aux

graves.

6° Si nous examinons maintenant le cas des

fréquences

très

basses,

inférieures à la

fondamentale,

il

_n’y

aura dans la

_composition

de i5 _{que la troisième}

somme à faire intervenir

et comme toutes les Wrs sont

_supérieures

ou

égales

D’autre

_{part, 13}

est

_supérieur

à son

_premier

terme

_lequel

vaut

_{approximativement}

_(par

défaut)

finalement,

aux

_fréquences

très _graves,

4.

_Comparaison

avec la théorie de Davis

Le

problème

que nous venons de traiter a été résolu par A.-H. DAVIS

(Phtl. Mag.,

1933, 15,

p.

3og),

qui

a considéré

simplement

le panneau comme un

piston

vibrant

_{parallèlement}

à

_lui-même;

le

système-est alors à un seul

_degré

de

liberté,

et

donne,

_après

des calculs élémentaires,

’

o,à x

est la

_fréquence

_propre du

_piston.

Davis écrit à la vérité une

_expression

de cette

iréquence

propre en fonction de la « contrainte

élastique

du panneau », mais il

_s’agit

d’un

_simple

artifice de

_langage,

car cette contrainte d’un

_piston

fictif n’a aucune

_{signification précise.}

Il

_paraît

raisonnable de

_prendre

_{pour £Z}

la valeur effective de la

_pulsation

_propre fondamentale de la

_plaque

réelle,

soit dans notre notation

b 2

Si la

,

«-

-fréquence

du son incident est suffisamment élevée

(x grand),

on aura

_{l’approximation analogue}

à celles

qui

nous ont servi ci-dessus

la

_transparence

selon Davis est donc

_égale

à notre terme correctif tout seul. Suivant ce

_qui

a été dit de ce _terme? on

_peut

_prévoir

un écart

_important

entre les deux

_formules,

surtout _{pour les mailles}

de

_petite

surface et aux

_{fréquences aiguës;}

il ne

devrait _{donc pas} être difficile de

_départager

les deux _{théories par} un

_appel

à

_{l’expérience.}

5. Conclusions. - 1 ~

Effet

de la dimensions des

mailles. --m On voit

qu’à

l’approximation adoptée

ci-dessus,

la borne inférieure de la

_transparence

varie

en raison inverse de la surface de la

_plaque

_vibrante,

c’est-à-dire en

_pratique

des mailles de l’armature

rigide

à

_quoi

le _panneau est

_fixé,

ces mailles

subdi-visant le panneau en

_{plaques a}

x b que l’on suppose

vibrer

_{séparément.}

La borne

_supérieure

varie

moins

vite avec

ab,

_{puisqu’elle}

contient un terme

indépendant

des

dimensions;

l’importance

de ce

terme correctif se fera surtout sentir aux

w2

basses. En

_augmentant

la surface des

mailles,

on

doit donc améliorer

_{l’absorption}

du _panneau, à

coup sûr aux

_aiguës,

sans doute moins aux

basses;

ce résultat était d’ailleurs intuitif.

Pour fixer les

idées,

faisons une

_application

numérique,

que nous confronterons

_plus

loin avec

l’expérience :

soit une tôle d’Al de i mm

_{d’épaisseur,}

. formant des mailles de dimensions

_{différentes;}

le Tableau 1 ci-contre donne les bornes V’ et "(9" de la

_{transparence,}

suivant notre

formule,

et la

trans-parence "(9D suivant

Davis,

le tout en décibels

au-dessous du niveau de

_l’énergie

incidente.

.

2°

_{E f f et}

de la masse _{par unité de}

_{sur f aee.}

---Soit p.

le

_rapport

des masses m, m’ de deux panneaux

identiques

par ailleurs : la borne inférieure de ’(9

terme

correctif

de la borne

_supérieure

variera

comme

_fi2.

En

_augmentant

la

_cliarge

unitaire d’un

panneau,

c’est-à-dire en faisant p. i, on accroît

l’absorption; -6’

varie relativement

_{peu (de}

1,5

db

lorsque

la

_charge

est

_doublée);

aux _graves, l’influence

de la

_surcharge

est

_importante,

car elle

_peut

diminuer le terme correctif

_jusqu’à

le rendre

_{négligeable.}

L’effet de la

_surcharge

est donc un accroissement

d’absorption,

surtout

_marqué

aux _{graves :} nous

aurons à

_appliquer

ce résultat.

TABLEAU 1

II. -- Vérifications

expérimentales.

6.

_Importance

d’un relevé continu et

auto-matique

des

_{caractéristiques}

_{d’absorption.}

--Les

_{grandeurs ’0}

sont définies comme le

_rapport

de deux intensités

_{acoustiques. Pratiquement,}

ce sont des intensités

_électriques

que l’on mesure,

après

une double transformation « _excitation

électrique

constante ~

_haut-parleur

~-

micro-phone - ,

courant

_électrique

». Cette transformation

a _pour

caractéristique

une certaine fonction

de sorte _{que le}

_rapport

_qu’il

_s’agit

de

_prendre

est

Si les mesures sont faites

_point

_par

_point,

on se trouve

devant un dilemme dont les deux branches

pré-sentent de _{graves inconvénients :} ou

_bien,

en

_effet,

on choisit une

_fréquence

et l’on mesure les deux

réponses

Wg

et

_Wog

avant de passer à la

fréquence

suivante,

ce

qui exige

le descellement du panneau

après

la détermination de

_çhaque

_point,

et

_multiplie

par suite un travail fastidieux

_qui

courra le

_risque

de ne _{pas être} exécuté à la

_longue

avec tout le soin

nécessaire;

ou

bien,

solution que chacun finirait

par

adopter

en

_fait,

on effectue une série de

mesures

_Wg

à différentes

_fréquences,

_puis

une

série

_Wog

aux mêmes

fréquences.

Mais si l’on a

gagné

ainsi

_beaucoup

de

_temps

et de

_peine,

on n’est

plus

certain de _comparer entre elles des ordonnées

correspondant

rigoureusement

aux mêmes

fré-quences ; l’erreur se traduira _par une erreur

relative

+ ôg

W g

sur les coefficients

_{d’absorption.}

Or si l’on

_peut

admettre, moyennant

un choix

convenable de la source et du

_récepteur,

_{que g} varie lentement avec c~, de sorte que le deuxième

terme de l’erreur soit

_{négligeable,}

il n’en sera _pas

de même du

_premier;

W

_présente

de

nombreuses

résonances, très

_aiguës,

et

_séparées

_par

_quelques

périodes

seulement,

surtout aux

_fréquences

élevées.

On

_peut

bien,

au cours des deux séries de mesures, s’astreindre à se

placer toujours

« sur la

_pointe

»

ou « dans le creux o; encore ne sait-on _{pas s’il} ne

s’agit

pas de la

pointe

ou du creux voisins. On

_conçoit

qu’il

soit

_possible,

de la sorte, d’obtenir des

coeffi-cients

_{d’absorption}

entachés d’erreurs tout à fait

imprévisibles.

Ces difficultés

_{disparaissent}

si,

au lieu de

_procéder

à des mesures

_point

_par

_point,

on arrive à décrire

d’un trait continu la courbe de

_réponse,

en faisant varier de

_façon

continue la

_pulsation

des ondes

sonores. Même si l’échelle des

_fréquences

n’était

pas définie avec une stabilité

_parfaite

il serait

aisé,

saisissant l’allure de toute la courbe d’un coup d’oeil : Iode moyenner les

résultats,

et de comparer entre elles deux courbes

expurgées

d’inci-dents sans intérêt

_(car

il est _{évident que peu} nous

importe

l’absorption

pour une

_fréquence

_isolée,

si elle diffère notablement des

_absorptions

_{pour des}

fréquences

immédiatement

_voisines);

et 2° faire

correspondre

les

_{points remarquables}

sans crainte

d’erreur. Enfin un relevé

_automatique

des courbes facilite évidemment la

_technique

des essais.

Nous nous sommes donc

_imposé

la condition

que les relèvés soient à la fois continus et

automa-tiques,

c’est-à-dire que la variations de la

_fréquence

acoustique

commande

_{l’inscription}

directe d’une courbe de

_réponse

Le

_problème

se

_décompose

en deux

parties,

_{correspondant}

aux deux

198

se fera à

_{l’oscillographe cathodique,}

il

_s’agit

en

somme de

_produire

deux tensions fonctions

mono-tones de W et de ù)

_{respectivement,}

dans les

inter-valles de variation utile de ces

_grandeurs;

ces deux

tensions,

appliquées

aux deux

paires

de

_plaques

déviatrices de

_{l’oscillographe,}

détermineront le tracé

désiré. Pour les

_fréquences,

il sera

_{particulièrement}

commode d’avoir une loi

_{logarithmique;}

_{pour les}

intensités,

on

_pourrait

s’arrêter à une échelle

linéaire,

mais ici encore une échelle

_{logarithmique}

sera bien

_{préférable,}

car elle

_permettra

d’avoir

l’absorption

en décibels par

_simple

soustraction des ordonnées de même abscisse des deux

courbes,

au lieu

qu’une

division eût été nécessaire si la loi

des intensités avait été linéaire.

2. Obtention d’une échelle

_{logarithmique}

des

fréquences.

- On sait

(1)

que le carré de la constante

de transfert d’un

_quadripôle

_passif

_s’exprime

toujours,

en fonction de la

_fréquence,

_par une

fraction rationnelle en

W2@

’ soit x2

=

Les

Q(Ct>2)

coefficients des

_polynomes

P et

_{Q dépendent}

de

Fig. 3. --

Étalonnage du transformateur (U, j)..

façon généralement

biunivoque

des

_impédances

constitutives du

_quadripôle;

une fois choisis de

façon

à assurer à x une allure donnée en fonction

de (,), ils

permettront

de calculer les

impédances

en

_{question. (Notons}

en

_passant

_{que le}

problème

n’admettra _pas

_toujours

de solutions

_acceptables,

car les

_impédances

calculées sont soumises à certaines conditions de réalité et de

_signe.)

Si m et n sont

les

_degrés

_respectifs

de P et de

_~,

on

_dispose

de m -~ n --1-? coefficients

arbitraires,

ce

_qui

per-mettra de _{faire passer la courbe}

_x«.»

par m _~-- n _{+ 2}

ponts

fixes à l’avance.

Si nous nous _{proposons, par}

_exemple,

de réaliser

(1) y air, par exemple : ZOBEL, Bell _Syst. Tech. p. 438.

-

...

la loi

on _pourra

_trouver,

_par

exemple,

dans le

_répertoire

des filtres de

Zobel,

des structures

_plus

ou moins

compliquées

qui permettraient

de vérifier cette

relation en

fi,

_5,

_6,

...

points

de l’échelle. Nous

avons

jugé

tout à fait suffisant d’assurer celte

coïncidence aux frontières et au milieu de

l’intervalle,

ce

_qui

_permet

d’utiliser la cellule extrêmement

simple

de la

_figure

3. La loi de transiormation est,

pour cette

cellule,

et _{l’on voit par la courbe}

_{d’étalonnage}

ci-contre que

l’approximation

est encore

_{excellente, moyennant}

un choix

_approprié

des résistances et de la

capacité,

dans tout l’intervalle de variation de la

fréquence.

1

Fig.

Pour transiormer les x en déviations sur

l’oscil-lographe cathodique,

il suffit de fermer le

quadri-pôle,

alimenté par le

_générateur

de

_fréquence

ce,

sur une diode et une

résistance,

cette dernière en

parallèle

avec une résistance et une

_capacité

de

manière à en filtrer le débit : on obtient ainsi aux

bornes de la

_capacité

une tension continue à

appliquer

aux

_plaques

«

_tréquence

» de

l’oscillo-graphe.

La

_figure

₄

donne un

_exemple

d’échelles de

_{fréquences photographiée}

sur l’écran.

3.

_{Amplification logarithmique}

du courant

microphonique. -

On sait

_depuis

Ballantine

₍₂₎

qu’il

est

_possible

de choisir les conditions de

fonc-tionnement d’une

_lampe

à

_pente

variable de manière que son courant

_anodique

soit

_{proportionnel}

au

logarithme

de la tension ’du

_{signal appliqué}

à la

grille.

Il sera aisé de trouver ces conditions de

fonctionnement, pour une

_lampe

donnée, en

_traçant

un réseau de

caractéristiques dynamiques

sur du

papier

à

_graduation

linéaire dans une dimension

et

_{exponentielle}

dans

l’autre;

on

_{s’apercevra}

_qu’elles

correspondent,

pour une

_pentode,

à une tension

de

_grille

écran assez faible et à une résistance de

charge

peu élevée. Nous avons _pu, en utilisant une E F.

9,

obtenir une

_réponse

bien

_{logarithmique}

pour des

signaux

allant de i à o V

environ,

avec

courant sensiblement indifférent à toute variation

de

_signal

au-dessous de i V ou au-dessus

de ioV;

Fig. 5. -

Étalonnage

de _{l’amplificateur logarithmique.}

en faisant débiter le

préamplificateur

du

micro-phone

sur des transtorrnateurs de

_rapport

conve-nable

_attaquant

les

_grilles

de deux E F.

9,

on

peut

faire

_répondre

la

_première

dans une _gamme

d’intensité,

la deuxième

_reprenant

au

point

où la

première

devient

insensible;

il suffit donc

_{d’appliquer}

Fig. 6.

aux

_plaques

déviatrices «

microphone

» _de

l’oscillo-graphe,

après

redressement et

_filtrage

comme dans

le cas des

abscisses,

la somme des chutes de tensions

anodiques

de ces deux

_lampes.

Ce

_montage

un _peu

hétérodoxe nous a

_permis

_(avec

deux

_lampes

E F. 9 et une

_diode)

d’obtenir une

_réponse

très

satisfai-sante entre 1 et ₇₀ V, soit

₃₇

db, intervalle de

variation

_qui

suffit

_largement

dans notre cas. La

figure

5

_représente

_{l’étalonnage}

de

_{l’amplificateur}

logarithmique

directement en millimètres de déviation sur l’écran de

_{l’oscillographe,}

la

_figure

6 une courbe

de

_réponse

relevée avec un

_{amplificateur}

linéaire,

et la

_{figure 7}

- la même courbe de

réponse

avec

l’amplificateur logarithmique.

La transformation

graphique

a bien vérifié la concordance des deux

tracés.

Notons _{que pour avoir} des

_{oscillogrammes}

non

déformés par la courbure de l’écran et les aberrations

Fig. 7.

il convient de _{n’utiliser que la} zone

_centrale,

_qui

dans le cas du tube

_classique

de 11 cm de diamètre

utilisé forme un

_rectangle

_{de 4x6}

cm2 environ.

3. Résultats. - Nous _avons confronté les

théories du

_{Chapitre 1}

avec les mesures faites sur

quatre

panneaux en tôle d’Al de i mm,

ayant

respectivement

les dimensions de mailles du

Tableau,

c’est-â-dire :

Panneau n« ... A. 0. i >, t.

Piailles

_{(cm 2)...}

> 100 X 100 J’) X 100 >

Pour

_préciser,

A et o consistent en une seule maille scellée dans un cadre

_rigide

en acier

_profilé;

A’ est

composé

de six

mailles,

le bord _{extérieur du panneau}

étant scellé comme _{pour A} et des

_profilés

en croix

de Lorraine rivés à la tôle formant les subdivisions

internes;

i est dérivé de o comme A’ de

A,

avec

cinq

nervures intérieures.

_{L’hypothèse}

suivant

laquelle chaque

maille vibre comme une

_plaque

posée

sur des bords fixes n’est sans doute _pas

éloignée

de la

_réalité,

encore

_qu’il

serait intéressant

de

_reprendre

le

_problème

en

_supposant

une certaine élasticité aux nervures.

La

_figure

8

_représente

en traits

_pleins

les

caracté-ristiques

de

_transparence

relevées

200

par notre

formule,

en trait mixte les valeurs calculées

selon Davis. La

_comparaison

de ces différentes

courbes

_permet

de tirer les conclusions sui-vantes :

io L’accord

_numérique

entre

_{l’expérience}

et notre théorie s’est avéré meilleur _que nous ne l’avions

espéré;

l’imprécision

des mesures étant de l’ordre

de 2 db au

mieux,

on

_peut

dire _{que les}

_points

expéri-mentaux ne sortent de la zone

_théorique

qu’excep-tionnellement. Du

_point

de vue

_qualitatif

la variation

affecte

_plutôt

l’allure

en ’

de la borne

_supérieure;

on

_pourrait

donc affecter notre terme correctif

d’un

coefficient 1

ou 1

et écrire le résultat sous

2 ₄

forme

_{d’égalité approchée}

Fig. 8. - Panneaux

élastiques nus _(Al 1 mm ~),

. Mailles: A ... 200 X 100 cm2 0...100 X 100 cm2, A’.. , 33 X 100 i... 33 X ?5 cm2.

ù" La

_transparence

est d autant

_plus

faible que la surface des mailles est

_plus

_grande.

Ce résultat

nous semble établi de

façon

très nette. Si l’on voulait

l’ «

expliquer

_~~, on

_{pourrait peut-être}

dire _{que c’est}

aux environs de son fondamental que la maille

transmet le

mieux,

et

_{qu’en rejetant}

le fondamental

vers les infrasons on diminue la

_transparence

totale;

il ne saurait d’ailleurs être

question

de

rejeter,

au

contraire,

le fondamental vers les

ultrasons;

on aboutirait à des

_épaisseurs

ou à des surfaces

pour

lesquelles

les

phénomènes

seraient totalement

différents de ceux

_qui

se

_passent

dans les

_plaques

de la

_mécanique

rationnelle. D’ailleurs ce mode

de raisonnement est

_trop

_grossier

_pour

_{qu’on puisse}

en user autrement _{que par}

_après

_coup, comme nous

le faisons ici.

3° La théorie de Davis donne une allure de

variation

_qui

s’écarte très sensiblement de la réalité

dans toutes les

conditions;

mais son accord

numé-rique

avec

_{l’expérience}

n’est _pas

_trop

_mauvais

aux _{graves pour} les

_petites

mailles,

aux

_aiguës

pour 1es

grandes.

Dans certains

_{problèmes qu’il}

serait

_impossible

d’aborder sans réduire à i le

nombre de

_degrés

de

liberté,

peut-être

ne serait-il

donc _pas illicite d’utiliser cette théorie en

_première

approximation,

quitte

à chercher un terme

cor-rectif

_qui

ferait intervenir les dimensions de la maille.

!~ 0

Pour ce

_qui

est de l’allure

_{irrégulière}

des courbes

_relevées,

il ne faut pas s’en

_étonner;

la

répartition

dense des

_fréquences

de

résonance,

que

nous avons

_postulée

dans la théorie

_approchée,

en

‘ ,

_qui

_provenait

d"une

intégration

effectuée à la

CI)

place

d’une

sommation,

ne

_pouvait

_qu’aplanir

les

irrégularités

réelles.

-Tels

_quels,

les résultats obtenus nous

_paraissent

suffisamment

_{encourageants}

_pour

_qu’on

_puisse

espérer

rendre

_compte,

_par une extension de la

présente

théorie,

du

_comportement

de

_plaques

hétérogènes,

à revêtements _poreux et

_analogues.

C’est ce _que nous chercherons à faire dans une

prochaine publication.

Manuscrit reçu le 11 i avril _1916.

LE COEFFICIENT DE

COMPRESSIBILITÉ

DES FLUIDES PEUT-IL

ÊTRE DÉDUIT

DU DIAGRAMME DE DIFFUSION DES RAYONS X?

PAR M. J. YVON.

Sommaire. 2014

Lorsque l’angle de diffusion est nul, l’intensité des rayons X diffusés par un fluide est

liée d’une manière _simple au coefficient de _{compressibilité.} La

formule

_théorique est vérifiée

qualitati-vement, mais les seules évaluations numériques possibles (relatives à l’argon)

sont peu

satisfaisantes.

1. Formule fondamentale, - Suivons d’abord les notations de N. S.

_{Gingrich (~).}

Par observation de la diffusion des _rayons X dans un

_liquide

mono-atomique,

l’expérience

donne l’intensité diffusée I

dans une certaine direction en valeur

relative,

corrigée

des effets

_{d’absorption,}

de

_polarisation

et

de la diffusion incohérente. En s’aidant des facteurs de structure

_{l’expérience}

_permet

de calculer de

_plus

quelle

serait l’intensité cohérente diffusée par le

milieu,

soit

_Nf2,

si les atomes diffusaient

indépen-damment les uns des autres.

_{L’expression}

, t ’ inù 6 , . i

est une fonction de s =

- sin

h étant

l’angle

formé par le _{rayon diiïusé} avec le

_prolongement

du

rayon incident et ). la

longueur

d’onde. Les mémoires de

_Gingrich

et des autres

_{spécialistes}

donnent la

représentation graphique

de I et de en fonction

de s. .

Désignons

maintenant par À le nombre d’atomes

par centimètre

cube,

par

la

_probabilité

de trouver simultanément le centre

d’un atome

_quelconque

dans l’élément de volume

d71,

et le centre d’un autre atome

_quelconque

dans

_d72.

r _{est la distance des deux éléments} de volume

envisagés; ’J2a(r)

est ce _que

j’ai

_appelé

ailleurs la

(1) N. S. _GiNGRICH, lReu. of mod. Physies, ~g43, 15, p. go.

der2siïé moléculaire

_simultanée;

_a(r)

est un nombre

sans dimensions

_{(2), égal}

à zéro _{pour les très}

_petites

distances,

dont la valeur

_asymptotique

est i et

qui

caractérise la structure fine du

_liquide;

autrement dit l’ordre à

_petite

distance

_qui

y

règne.

a(r)

étant connu,

_i(s)

se _{calcule par}

_{l’intégrale}

L’inversion de cette

_intégrale

de Fourier

_permet

d’exprimer a(r)

en fonction de

_i(s)

Les mémoires de

_{Gingrich (1),}

de Eisenstein et

Gingrich

(3)

donnent la

_{représentation graphique}

de

Plus

_récemment,

_Campbell

et Hildebrand

₍₄₎

donnent

également

la

_{représentation}

_graphique

de

_a(r).

Ces

_{généralités}

_rappelées,

_je

désire insister sur

une

particularité

de la formule

_(3).

_{Quand s}

tend

vers

_zéro,

c’est-à-dire pour les faibles

_angles

de

diffusion,

i

_prend

la valeur

(2) a(r) est _désigné par la notation w dans le mémoire

original de Menke.

(3) A. EISENSTEIV et 1~. S. GINGRICH, Phys. Rev., 1942,

62, p. 2 6 1.

(4) J. ~,. CAMPBEI,L et J. A _HILDEBRAND, J. of Chemical

Physics, ~g~3, 11, p. 33o et 334.