I- Propriétés du champ magnétostatique

Magnétostatique

Les points du cours à connaître

I- Propriétés du champ magnétostatique

1. Courants

Densité volumique de courant

La charge dq qui traverse la surface S (non fermée) orientée pendant dt donne l'intensité I (ou courant électrique), en ampère ( A ) :

I = dq

dt = y

M∈S

~j(M ) · − − → d

²

S

où ~j est la densité volumique de courant. Si on dispose d'une assemblée de particules numérotées

i

, de charge q

_i

, de vitesse ~ v

_i

et de densité volumique n

_i

,

~j = X

i

n

_i

q

_i

~ v

_i

2. Flux du champ magnétique Équation de Maxwell ux

div ~ B = 0 Zones de fort champ magnétostatique

Les zones de fort champ magnétostatique (en norme) sont les zones où les lignes de champ magnétostatique sont les plus resserrées.

3. Circulation du champ magnétique Équation de Maxwell Ampère

− → rot

B ~

= µ

₀

~j + µ

₀

ε

₀

∂ ~ E

∂t avec la perméabilité du vide : µ

₀

= 4π × 10

⁻⁷

H · m

⁻¹

.

Théorème d'Ampère

soient un contour fermé orienté C , et S , une surface qui s'appuie sur C et qui est orientée par

C . Alors : I

M∈C

B(M ~ ) · − →

d` = µ

₀

I

_int

où I

_int

= s

M∈S

~j(M ) · − − →

d

²

S en régime permanent.

II- Détermination de champs magnétiques III- Dipôles magnétostatiques

1. Moment dipolaire magnétique

Moment dipolaire magnétique d'une boucle de courant

dipolaire magnétique

~

m = I ~ S

où S est une surface qui s'appuie sur C et qui est orientée par C . 2. Dipôle magnétostatique actif

Champ magnétique créé par un dipôle

Un dipôle magnétostatique positionné au centre O du repère sphérique, de moment dipolaire m ~ orienté suivant l'axe polaire,

crée en M loin de O (dans le cadre de l'approximation dipolaire) un champ magnétostatique de composantes







B

_r

(M) =

^µ_4π^02m_r^cos3 ^θ

B

θ

(M ) =

^µ_4π⁰

.

^m_r^sin3 ^θ

B

ϕ

(M) = 0 3. Dipôle magnétique passif

Energie potentielle d'interaction d'un dipôle magnétique

L'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle magnétostatique de moment dipolaire m ~ avec un champ magnétique extérieur B ~

_ext

est

E

_p

= − m ~ · B ~

_ext

Moment des forces appliquées sur un dipôle magnétostatique

Le moment en un point O de l'action exercée par un champ magnétique extérieur B ~

_ext

sur un dipôle magnétostatique de moment dipolaire m ~ est

M ~

_O

= m ~ ∧ B ~

_ext

Exercice traité en n de cours

exo 17.1) Modélisation du champ magnétique terrestre

1) Fonctionnement d'une boussole.

Le champ magnétique terrestre B ~

t

se décompose en une composante horizontale B ~

h

et une composante verticale B ~

v

: B ~

t

= B ~

h

+ B ~

v

. A Paris (de latitude λ = 49

^◦

), le champ magnétique terrestre B ~

t

est orienté vers le bas et fait un angle I = −65

^◦

avec l'horizontale.

Une aiguille aimantée de moment dipolaire m ~ (repérée par l'aiguille, vers la zone rouge) est posée sur une liaison pivot verticale : elle s'oriente librement dans un plan horizontal.

1.a) Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction de m ~ avec B ~

_t

. On fera apparaître des angles idoines.

1.b) En déduire la direction donnée par la boussole.

2) Inclinaison I du champ magnétique terrestre.

2.a) Proposer un dispositif pour mesurer expérimentalement l'inclinaison I .

Le pôle Nord magnétique de la Terre est un point errant unique sur la surface où le champ magnétique terrestre pointe vers le bas. En 2015, les coordonnées de ce point (86

^◦

27' N, 136

^◦

59' O) étaient très proches des coordonnées du pôle nord géographique.

2.b) Dans les coordonnées sphériques de centre, le centre de la Terre, d'axe polaire (orienté du pôle géographique sud vers le pôle géographique nord), quelle est l'expression du champ magnétique terrestre au pôle nord magnétique ?

3) Norme du champ magnétique terrestre.

On place, à Paris, une boussole au centre d'un solénoïde quasi inni formé de n = 716 spires par mètres, parcourues par le courant I , d'axe parallèle à la direction Est-Ouest (Oy) .

3.a) Calculer le champ magnétique B ~

H

créé par le solénoïde.

3.b) Pour I = 22 mA , l'angle que fait la boussole avec (Ox) est α = 45

^◦

. En déduire B

h

. 3.c) En déduire B

t

.

4) Lignes de champ magnétique terrestre.

On assimile le champ magnétique terrestre à celui créé par un dipôle permanent de moment m ~

t

positionné au centre de la Terre.

4.a) Tracer l'allure des lignes de champ d'un dipôle de moment m ~

_t

.

4.b) En utilisant les résultats précédents, positionner la Terre, Paris et le pôle nord géographique sur

ces lignes de champ. Conclure.

Techniques à maîtriser

I- Propriétés du champ magnétostatique

Justier qu'une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d'un champ magnétostatique ; repérer d'éventuelles sources du champ et leur signe/sens.

Associer l'évolution de la norme de B ~ à l'évasement des tubes de champ.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Les lignes de champ magnétique sont fermées.

Elles tournent autour des courants.

Quelles sont les propriétés des lignes de champ magnétostatique ? méthode

Les plans d'antisymétrie pour ~j sont des plans de symétrie pour B ~ . Les plans de symétrie pour ~j sont des plans d'antisymétrie pour B ~ .

Le champ B ~ est orthogonal aux plans de symétrie et appartient aux plans d'antisymétrie de ~j.

Quelles sont les propriétés de symétrie du champ magnétostatique ? méthode

17.1.1) Un champ magnétique radial

1) Un champ radial ( C

_r

~ e

_r

) peut-il être un champ magnétique B ~ : 1.a) en cylindrique ?

1.b) en sphérique ?

17.1.2) Propriétés des lignes de champ magnétostatique Les lignes de champ magnétiques sont-elles ouvertes ou fermées ?

17.1.3) Symétries d'une spire circulaire

Soit une spire circulaire de centre O , d'axe (Oz) , parcourue par un courant d'intensité I . 1) Déterminer les symétries de cette répartition de courants :

1.a) invariances ; 1.b) plans de symétrie ; 1.c) plans d'antisymétrie.

17.1.4) Symétries d'un ensemble de deux ls parallèles

Soit deux ls innis, sans épaisseur, parallèles à l'axe (Oz) , passant respectivement par les points O

1

= (0, −a, 0) (dans un repère cartésien de centre O ) et O

2

= (0, +a, 0) dans lesquels circulent respectivement des courants I

1

et I

2

, orientés conventionnellement vers les z croissants.

Dénir les symétries et invariances de cette distribution dans les trois cas suivants : 1) I

1

et I

2

quelconques ;

2) I

1

= I

2

= I ;

3) I

₁

= +I et I

₂

= −I .

17.1.5) Plan de symétrie d'une distribution de courant

Le plan Π est un plan de symétrie d'une distribution de courant. Le point M

⁰

est le symétrique du point M par rapport à Π .

1) Compléter le schéma en dessinant le champ magnétique au point M

⁰

.

17.1.6) Plan d'antisymétrie d'une distribution de courant

Le plan Π est un plan d'antisymétrie d'une distribution de courant. Le point M

⁰

est le symétrique du point M par rapport à Π .

1) Compléter le schéma en dessinant le champ magnétique au point M

⁰

.

17.1.7) Symétries d'une spire de courant

On considère une spire circulaire d'axe Oz parcourue par un courant d'intensité I . On donne le champ magnétique en M et en P .

1) Représenter le champ magnétique

• en M

⁰

symétrique de M par rapport au plan de la spire,

• en P

⁰

symétrique de P par rapport à l'axe,

• en Q symétrique de P par rapport au plan de la spire

• et en Q

⁰

symétrique de Q par rapport à l'axe.

17.1.8) Sont-ce des lignes de champ magnétostatique ?

On considère les lignes de champ magnétique des dif- férentes congurations à gauche. On supposera la - gure invariante par trans- lation perpendiculaire au plan du dessin.

1) Préciser dans chaque cas s'il peut s'agir d'un champ magnétostatique, et si oui, si des courants sont présents dans la région représentée.

17.1.9) Détermination d'un champ magnétostatique en symétrie cylindrique

On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe (Oz) de courants ( ~j//~u

z

, uniforme dans le cylindre de rayon R ).

1) En déduire les symétries (en statique) de B ~ .

II- Calculs de champs magnétostatiques

Exploiter les propriétés de symétrie des sources (rotation, symétrie plane, conjugaison de charges) pour prévoir des propriétés du champ créé.

Choisir un contour, une surface et les orienter pour appliquer le théorème d'Ampère.

Utiliser une méthode de superposition.

Déterminer le champ créé par un câble rectiligne inni. Calculer et connaître le champ créé par un l rectiligne inni. Utiliser ces modèles près d'un circuit liforme réel.

Calculer et connaître le champ à l'intérieur d'un solénoïde long sans eets de bords, la nullité du champ extérieur étant admise.

Établir les expressions de l'inductance propre et de l'énergie d'une bobine modélisée par un solénoïde.

Associer cette énergie à une densité d'énergie volumique.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il faut utiliser les symétries (s'il y en a assez) puis le théorème d'Ampère en choisissant un contour fermé orienté.

Détermination de champs magnétostatiques méthode

17.2.1) Champ magnétique créé par un solénoïde de dimension nie

Soit un solénoïde circulaire, de rayon R , de longueur L suivant son axe Oz , parcouru par un courant I . Le nombre de spire le constituant par unité de longueur est n .

On admet que le champ magnétique qui règne en un point M de l'axe peut se mettre sous la forme : B (M ) =

^µ0.n.I₂

. (cos α

1

− cos α

2

) où α

1

et α

2

sont les angles sous lesquels le point M voit les extrémités du solénoïde.

1) On considère maintenant que ce solénoïde est inni. Déterminer le champ magnétique en un point

quelconque de l'espace.

17.2.2) Champ magnétique créé par un tore

On considère enn un tore à section circulaire (de rayon a ), d'axe Oz , de rayon R , sur lequel sont enroulées N spires jointives parcourues par un courant I .

1) Déterminer le champ magnétique qui règne en un point M quelconque de l'espace.

17.2.3) Champ magnétique créé dans un cylindre creux conducteur On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz) .

On considère d'abord un cylindre conducteur de rayon R

0

, d'axe Oz et supposé inni, parcouru par un courant volumique uniforme : ~j = J.~ e

_z

.

1) Déterminer le champ magnétique B ~

0

à l'intérieur de ce cylindre.

On considère maintenant un cylindre conducteur de rayon R

1

, d'axe Oz et supposé inni, dans lequel on a creusé une cavité cylindrique d'axe parallèle à (Oz) , de rayon R

2

< R

1

. Le cylindre creux est parcouru par un courant volumique uniforme : ~j = J.~ e

_z

.

2) Calculer le champ magnétique B ~ dans la cavité.

17.2.4) Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre On se place dans un repère cartésien (Oxyz) , (Oz) étant vertical.

Une boussole (assimilée à une aiguille aimantée mobile sans frottements autour de (Oz) ) est placée en O et s'oriente parallèlement à la composante horizontale du champ magnétique terrestre B ~

t

= B

t

.~ u

x

(on cherche à déterminer B

_t

).

On place cette boussole au centre de bobines de Helmoltz assimilées à deux spires circulaires parcourues par le même courant I , d'axe parallèle à la direction Est-Ouest (Oy) , de rayon R = 10cm , disposées dans les plans y = +

^R₂

et y = −

^R₂

. Le champ magnétique B

H

créé par les bobines de Helmoltz en O est B ~

H

=

^8.µ0.I

5.R√ 5

~ u

y

. 1) Déterminer l'angle α que fait la boussole avec (Ox) , en fonction de I .

Pour I = 2, 2A , α = 45

^◦

. On donne µ

0

= 4.π.10

⁻⁷

H.m

⁻¹

. 2) En déduire B

_t

.

III- Dipôles magnétostatiques

Utiliser un modèle planétaire pour relier le moment magnétique d'un atome d'hydrogène à son moment cinétique.

Construire en ordre de grandeur le magnéton de Bohr par analyse dimensionnelle. Interpréter sans calculs les sources microscopiques du champ magnétique.

Évaluer l'ordre de grandeur maximal du moment magnétique volumique d'un aimant permanent.

Obtenir l'expression de la force surfacique d'adhérence par analyse dimensionnelle.

Utiliser des expressions fournies des actions subies par un dipôle magnétique placé dans un champ magnétostatique d'origine extérieure.

Approche documentaire de l'expérience de Stern et Gerlach : expliquer sans calculs les résultats attendus dans le cadre de la mécanique classique ; expliquer les enjeux de l'expérience.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Moment dipolaire magnétique m ~ = I. ~ S .

Un tel dipôle ressent le moment M ~

O

= m ~ ∧ B ~

ext

et a l'énergie potentielle E

p

= − m. ~ ~ B

ext

.

La résultante tend à déplacer le dipôle magnétostatique vers les régions de champ magnétostatique intense et le moment tend à aligner parallèlement le dipôle magnétostatique au champ magnétostatique.

Utiliser les dipôles magnétostatiques méthode

17.3.1) Dénition du moment dipolaire pour une distribution quelconque de courant D , une distribution de courants ~j, présente un moment dipolaire magnétique

~ m = 1

2 Z Z Z

P∈D

− − →

OP ∧ ~j (P ) .d

³

τ où O est un point xe quelconque

1) Montrer que la dénition du moment dipolaire magnétique d'une distribution de courants quelconque ne dépend pas du choix du point O .

2) Montrer que cette dénition est cohérence avec celle donnée pour une boucle de courant.

17.3.2) Dénition du moment dipolaire pour une distribution quelconque de courant D , une distribution de courants ~j, présente un moment dipolaire magnétique

~ m = 1

2 Z Z Z

P∈D

− − →

OP ∧ ~j (P ) .d

³

τ où O est un point xe quelconque

1) Montrer que la dénition du moment dipolaire magnétique d'une distribution de courants quelconque ne dépend pas du choix du point O .

2) Montrer que cette dénition est cohérence avec celle donnée pour une boucle de courant.

17.3.3) Moment des forces de Laplace et moment des forces appliquées sur un dipôle magnéto- statique

On s'intéresse à une spire de section S parcourue par un courant I plongée dans un champ magnétique extérieur uniforme B ~

ext

.

1) Montrer que le moment des forces de Laplace que subit la spire est M ~

_O

= I

I

P∈C

− − → OP . ~ B

_ext

. − → d`(P )

2) En utilisant la formule de Kelvin, en déduire que le moment en un point O de l'action exercée par un champ magnétique extérieur B ~

ext

sur un dipôle magnétostatique de moment dipolaire m ~ est

M ~

O

= m ~ ∧ B ~

ext

17.3.4) Interaction de deux dipôles magnétiques à distance constante

On étudie deux dipôles magnétiques de moments dipolaires respectifs m ~

1

et m ~

2

. Le premier est xe en O , centre d'un repère sphérique d'axe polaire (O, ~ u

z

) , parallèle à son moment dipolaire : m ~

1

= m

1

.~ u

z

.

Le second dipole est placé en r = cste , θ xé, et ϕ = 0 . On repère son moment dipolaire par l'angle α = (~ u

z

, ~ m

2

) , qui peut varier.

1) Exprimer l'énergie potentielle E

p

(α) d'intéraction du second dipole avec le champ magnétique créé par le premier dipole.

2) Que doit vérier tan(θ − α) à l'équilibre stable ? 3) Application : que vaut α si

3.a) θ = 0 ;

3.b) θ =

^π₂

;

3.c) θ = π .

17.3.5) Moment dipolaire magnétique terrestre

La Terre de centre O et de rayon R

_T

, d'axe polaire (O, ~ u

_z

) orienté du pôle Nord vers le pôle Sud, est supposée contenir en son centre un dipole magnétique de moment dipolaire : m ~ = m.~ u

z

.

On repère un point M du globe terrestre par r = R

T

= 6371km , θ xé, et ϕ quelconque. On donne, dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ magnétique B(M ~ ) créé en M par le dipôle :







B

_r

(M ) =

_4.π^µ0

.

^2.m.cos_r3 ^θ

B

θ

(M ) =

_4.π^µ0

.

^m._r^sin3 ^θ

B

ϕ

(M ) = 0

1) Exprimer la latitude λ comptée depuis l'équateur (positivement dans l'hémisphère nord, et négativement dans l'hémisphère sud), en fonction de θ .

A Paris ( λ = 49

^◦

), le champ magnétique terrestre B ~

t

est vers le sol : il fait un angle I = −65

^◦

avec l'horizontale et sa composante horizontale est B

h

= 20µT .

2) Exprimer :

2.a) la composante verticale B

v

du champ magnétique terrestre ; 2.b) la norme B

t

du champ magnétique terrestre.

3) Déduire la valeur du moment dipolaire magnétique terrestre m .

Les techniques mathématiques à connaître

Position du problème :

Il s'agit de déterminer le champ A ~ connaissant son rotationnel −→

rot ~ A . Autrement dit, il faut intégrer des équations diérentielles portant sur les trois composantes A

1

, A

2

, A

3

) de A ~ , elles-même fonction a priori de trois variables s

1

, s

2

, s

3

.

Symétries :

Pour simplier le problème, il faut avant tout utiliser les symétries :

• invariances : si −→

rot ~ A ne dépend pas d'une des trois variables s

1

, s

2

, s

3

, alors A ~ n'en dépendra pas non plus.

• les plans d'antisymétrie pour −→

rot ~ A sont des plans de symétrie pour A ~ . Le champ A ~ appartient aux plans d'antisymétrie de −→

rot ~ A .

• les plans de symétrie pour −→

rot ~ A sont des plans d'antisymétrie pour A ~ . Aussi, le champ A ~ est ortho- gonal aux plans de symétrie de −→

rot ~ A . Exemple :

Si −→

rot ~ A//~ u

z

en cylindrique et fonction de r uniquement, alors :

• A ~ ne dépend que de r ;

• les plans de symétrie pour −→

rot ~ A sont les plans orthogonaux à Oz : ce sont les plans (M, ~ u

r

, ~ u

θ

) . Donc A ~ = A

_r

~ u

_r

+ A

_θ

~ u

_θ

;

• les plans d'antisymétrie pour −→

rot ~ A sont les plans contenant Oz : ce sont les plans (M, ~ u

r

, ~ u

z

) . Donc A ~ = A

_θ

~ u

_θ

.

Conclusion : A ~ = A

_θ

(r) ~ u

_θ

.

Utilisation de la formule de Stokes : On peut utiliser la formule de Stokes : H

C

−

→ A · − → d` = s

S

−→ rot − → A

· −−→

d

²

S .

Pour ce faire, il faut dénir un contour fermé C orienté qui vérie les symétries. La surface S est délimitée par C (autant choisir la plus simple !).

Exemple : Si A ~ = A

θ

(r) ~ u

θ

, alors :

• C est un cercle de rayon r , d'axe Oz ;

• S peut être (c'est le plus simple) le disque de rayon r , d'axe Oz .

Utilisation de l'expression du rotationnel dans le repère adapté : dans n'importe quel repère, on peut écrire en utilisant

Coordonnées − → u

₁

− → u

₂

− → u

₃

s

₁

s

₂

s

₃

µ

₁

µ

₂

µ

₃

cartésiennes − → u

_x

− → u

_y

− → u

_z

x y z 1 1 1 cylindriques − → u

r

− → u

θ

− → u

z

r θ z 1 r 1

sphériques − → u

_r

− → u

_θ

− → u

_ϕ

r θ ϕ 1 r r sin θ

−→ rot − → A

=











1 µ₂µ₃

h

_∂(µ

3A3)

∂s₂

−

^∂(µ_∂s^2A2)

3

i

1 µ3µ1

h

_∂(µ

1A₁)

∂s3

−

^∂(µ_∂s^3A3)

1

i

1 µ1µ2

h

_∂(µ

2A₂)

∂s1

−

^∂(µ_∂s^1A1)

2

i











Exemple :

Si A ~ = A

_θ

(r) ~ u

_θ

en cylindrique, alors : −→

rot − → A

=









1 r

h

_∂(A

z)

∂θ

−

^{∂(r A}_∂z^θ)

i

∂(A_r)

∂z

−

^∂(A_∂r^z)

1 r

h

_{∂(r A}

θ)

∂r

−

^∂(A_∂θ^r)

i









=



 0 0

1 r

∂(r A_θ)

∂r



 .

Intégrer un rotationnel méthode

17.4.1) Calcul d'un champ de rotationnel donné (1)

1) Déterminer le champ B ~ tel que, dans le repère cylindrique (r, θ, z) ,

−→ rot ~ B = a r ~ u

z

où a est une constante.

17.4.2) Calcul d'un champ de rotationnel donné (2)

1) Déterminer le champ B ~ tel que, dans le repère cylindrique (r, θ, z) ,

−→ rot ~ B = a ~ u

z

où a est une constante.

17.4.3) Calcul d'un champ de rotationnel donné (3)

1) Déterminer le champ B ~ tel que, dans le repère cylindrique (r, θ, z) ,

−→ rot ~ B = a r ~ u

z

où a est une constante.

17.4.4) Calcul d'un champ de rotationnel donné (4)

1) Déterminer le champ B ~ tel que, dans le repère cylindrique (r, θ, z) ,

−→ rot ~ B = a r

²

~ u

_z

où a est une constante.

17.4.5) Calcul d'un champ de rotationnel donné (5)

1) Déterminer le champ B ~ tel que, dans le repère cylindrique (r, θ, z) ,

−→ rot ~ B = a r

²

~ u

z

où a est une constante.

Résolution de problème

Les électroaimants

Extraits d'une notice technique d'un vendeur spécialisé (accessoires levage manutention - ALM) disponible à l'adresse http: // www. almfrance. com/ shop/ Generatrice-integree_ p10. html

soulever et déposer des métaux ferromagnétiques

Les électro-aimants circulaires sont particulièrement adaptés, selon leur type, aux applications suivantes :

Travaux très lourds dans :

• Aciéries.

• Fonderies.

• Démolitions par moyen de sphères.

• Chargements - déchargements de wagons de chemin-de-fer.

• Ports.

Activités de nettoyage dans :

• Déchèteries.

• Récupération de déchets de démolitions civiles / industrielles.

Les électro-aimants circulaires peuvent être montés sur ponts roulants, ou sur pelles hydrauliques et peuvent être réalisés sur demande en version hautes températures (jusqu'à 600

^◦

C) et en version sous-marine.

exo 17.2) Enoncé

1) Estimer le champ magnétique que l'électroaimant génère pour soulever la carcasse de voiture.

Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 17.3) Modèle classique de l'électron 1) Magnéton de Bohr

Déterminer un ordre de grandeur du magnéton de Bohr par analyse dimensionnelle. On cherchera cette grandeur sous la forme

µ

B

≈ e

^α

× m

^β

× ~

^γ

où e est la charge et m la masse de l'électron.

2) Modèle planétaire :

Calculer le rapport gyromagnétique d'un électron tournant avec une vitesse angulaire ω à la distance r du noyau de son atome.

3) Modélisation du spin de l'électron :

Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre O et de rayon R , portant une charge volumique ρ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire uniforme ω .

3.a) Exprimer le courant dI créé par la spire circulaire virtuelle repérée par la distance r (à dr près) à O et par l'angle θ (à dθ près) par rapport à (Oz) .

3.b) Quel est le moment dipolaire magnétique élémentaire d m ~ associé à cette spire, en fonction de ρ , ω , r et θ ?

3.c) En déduire le moment dipolaire magnétique total m ~ de l'électron en fonction de e (la charge de l'électron), R et ω .

4) Discussion de la modélisation :

On admet que la valeur du moment dipolaire magnétique est celui du magnéton de Bohr m = µ

_B

= 9, 27 × 10

⁻²⁴

A · m

²

et que le rayon de la sphère doit être R = 2, 8 fm . 4.a) Que vaut la vitesse angulaire ω ?

4.b) En déduire la vitesse maximale v

max

d'un point de la sphère.

4.c) Que faut-il conclure d'un tel résultat ?

exo 17.4) Champ magnétique terrestre et boussole 1) Forme du champ magnétique terrestre

Le champ magnétique de la Terre peut être considérée approximativement comme celui d'un dipôle magné- tostatique situé au centre de la Terre. Ici, on considérera que l'axe du dipôle est confondu avec l'axe des pôles géographiques. On se place dans le repère sphérique de centre O , le centre de la Terre. Si on se place à la surface de la Terre au point M , c'est à dire à la distance r = R

T

= 6300 km de O et pour les angles θ et ϕ , on suppose que l'approximation dipolaire est justiée.

1.a) Rappeler le cadre de l'approximation dipolaire.

Dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ magnétique B(M ~ ) créé en M par le dipôle sont







B

r

(M ) =

₄^µ_π^02m_r^cos3 ^θ

B

θ

(M ) =

₄^µ_π^0m_r^sin3 ^θ

B

ϕ

(M ) = 0

1.b) La démonstration des précédentes relations utilise la formule de Biot et Savart. Rappeler la formule de Biot et Savart pour un circuit C fermé orienté parcouru par un courant I .

1.c) Faire de même pour une distribution volumique D nie de courant ~j .

1.d) Tracer l'allure des lignes de champ magnétique du dipôle dans l'approximation dipolaire.

Le vecteur champ magnétique terrestre B ~ possède une composante verticale B ~

v

(dirigée vers le centre de la

Terre) et une composante horizontale B ~

h

, dirigée vers le pôle nord.

1.e) Dans quel sens est orienté le dipôle magnétique terrestre ? Justier.

Les pôles magnétiques sont les endroits sur Terre où la composante horizontale B ~

h

a une valeur nulle.

1.f) Où se trouvent les pôles magnétiques ? Où est le pôle nord du point de vue magnétique ? Justier.

L'angle formé par B ~ et B ~

h

est appelé inclinaison.

1.g) Donner une valeur approximative de l'inclinaison i

F

en France (on prendra comme latitude λ = 47

^◦

).

La valeur du champ magnétique en France est de l'ordre de B = 47 µT .

1.h) En déduire les valeurs des composantes horizontale et verticale du champ magnétique en France.

1.i) En déduire la valeur du moment dipolaire magnétique de la Terre.

2) Utilisation de la boussole

On s'intéresse à un dipôle magnétique m ~

⁰

("passif") placé un champ magnétique extérieur B ~

ext

.

2.a) Quelle est l'énergie potentielle d'interaction de ce dipôle magnétostatique avec le champ magnétique extérieur ?

2.b) Quel est le moment en un point M de l'action exercée par le champ magnétique extérieur sur ce dipôle magnétostatique ?

2.c) Quel est l'eet de l'interaction entre ce dipôle et le champ magnétique extérieur ? Quelles sont les positions d'équilibre ? Sont-elles stables ou instables ?

Bien que les aimants aient été connus depuis l'Antiquité, ce sont les Chinois qui, vers l'an 1000 découvrirent l'existence du champ magnétique terrestre et l'utilisèrent pour s'orienter à l'aide de la boussole.

2.d) Expliquer le fonctionnement d'une boussole.

En fait, l'axe du dipôle magnétique terrestre n'est pas exactement confondu avec l'axe géographique de rotation de la Terre : les pôles magnétiques se trouvent actuellement à environ 1000 km des pôles géographiques (respectivement au Canada, en Terre Adélie). La diérence angulaire entre la direction du nord géographique et celle indiquée par la boussole est appelée déclinaison magnétique, c'est un angle qui dépend du lieu où l'on se trouve. Pour connaître la déclinaison magnétique d'un lieu il sut de se procurer une carte détaillée. Comme les positions des pôles magnétiques dérivent de 40 km par an, il importe de choisir une carte récente.

2.e) Faire un schéma de la Terre avec le dipôle magnétique (ses pôles nord et sud), les pôles géogra- phiques et géomagnétiques, quelques lignes de champ magnétique ainsi qu'une boussole avec ses deux pôles.

exo 17.5) Principe du moteur synchrone

Dans un moteur synchrone triphasé, le stator est constitué de trois électroaimants alimentés par une source triphasée.

Le rotor se compose soit d'aimants permanents soit d'électroaimants (bobinage) alimentés par une source continue.

Sur ce type de moteur, le rotor tournera à la même vitesse que le champ tournant créé par les électroaimants.

1) Etude du champ magnétique créé par le stator.

On suppose que chacune des bobines n

^◦

k est un solénoïde inni d'axe ~ u

_k

, de rayon R , de nombre de spires par unité de longueur n , alimentée par une intensité I

k

à l'instant t .

1.a) Déterminer le champ magnétique B ~

k

créé par une bobine.

L'alimentation des bobines, assimilées chacune à une résistance R , est eectué en triphasé : la tension d'alimentation de chacune d'entre elles est sinusoïdale, de pulsation ω , de même amplitude

0

, déphasées entre elles de 2π/3 radians.

1.b) Déterminer les intensités I

k

(t) .

Le stator est constitué de trois bobines placées de telle sorte que les axes font entre eux un angle de 2π/3 radians.

1.c) Montrer que le champ magnétique B ~ créé par le stator est uniforme et tourne autour de l'axe Oz

à la vitesse angulaire constante ~ Ω = ω

₀

~ u

_z

.

On suppose que le rotor est un aimant cylindrique allongé qui peut tourner autour d'un axe (O, ~ u

_z

) passant par son centre et perpendiculaire à son moment magnétique M ~ .

2) Etude préalable du couple :

2.a) Calculer le couple ~ Γ s'exerçant sur l'aimant en fonction de M , B et θ = M , ~ ~ B

. 2.b) L'aimant étant immobile, quelle est la valeur moyenne D

~ Γ E

du couple qui s'exerce sur lui ? 3) Etude du régime permanent :

L'aimant étant maintenant lancé à la vitesse angulaire ω

0

, il s'établit un régime permanent où les vecteurs M ~ et B ~ font entre eux un angle α =

M , ~ ~ B

(positif si M ~ est en retard sur B) ~ . 3.a) Exprimer le couple s'exerçant sur l'aimant en fonction de M , B et α . 3.b) Dans quel cas est-il moteur ?

4) Etude du régime permanent moteur :

Dans le fonctionnement comme moteur, le régime est stable si une petite augmentation du retard entraîne une augmentation du couple moteur.

4.a) Dans quelles conditions le régime moteur est-il stable ?

4.b) Calculer la valeur maximale du couple, Γ

_max

, en fonction de M et B .

4.c) Calculer la valeur maximale de la puissance P

_max

, en fonction de M , B et ω

₀

.

exo 17.6) Champ magnétique axial de diérentes bobines

1) Spire circulaire :

On s'intéresse à une spire circulaire de rayon R , d'axe (Oz) , dans le plan (xOy) , parcourue par un courant d'intensité I (le courant est orienté dans le sens trigonométrique).

On donne la formule de Biot et Savart : le champ magnétique en M créé par une spire C parcourue par un courant I est

B(M ~ ) = µ

₀

I 4π .

I

P∈C

−

→ d`(P) ∧

−−→ P M P M

³

1.a) En déduire l'expression du champ magnétique B ~

₀

(M ) , créé par une spire circulaire de centre O de rayon R , d'axe Oz , en un point M de l'axe Oz de la spire.

1.b) Application : que vaut le champ magnétique B ~

0

(O) en O ?

2) Bobine plate :

On considère maintenant une bobine plate réalisées avec un l conducteur parcouru par un courant d'intensité I (le courant est orienté dans le sens trigonométrique), constituée de N spires circulaires de même centre O , d'axe (Oz) , dans le plan (xOy) , de rayon variant entre R

₁

et R

₂

> R

₁

.

2.a) Exprimer le champ magnétique d ~ B

1

(O) créé en O par la spire de rayon r ∈ [R

1

; R

2

] , à dr près.

2.b) En intégrant, calculer le champ magnétique B ~

1

(O) produit au centre de la bobine.

3) Bobine plate assimilée à une spire circulaire : On pose a = R

2

− R

1

R =

^R1+R₂ ²

.

3.a) Calculer le champ magnétique B ~

1

(O) produit au centre de la bobine, en fonction de R et a , grâce à une développement limité au troisième ordre en

_R^a

.

On donne

ln(1 + x) = x − x

²

2 + x

³

3 − · · · + (−1)

ⁿ⁻¹

x

ⁿ

n + 0(x

ⁿ

)

3.b) Exprimer l'écart relatif

^∆B_B

entre les champs magnétiques créés par N spires de rayon R sans épaisseur et une bobine plate de rayon R de largeur a , en fonction de a et de R .

4) Bobines de Helmoltz

On considère les bobines de Helmoltz : deux spires circulaires de même rayon R , parcourues dans le même sens par le même courant I , éloignées de R .

4.a) Donner l'expression de B (z) (où z est pris à partir du centre entre les deux bobines) sur l'axe.

Exprimer en particulier B

₀

, le champ en O .

4.b) Grâce à un développement limité de

^B_B^z(z)₀

en

_R^z

(au quatrième ordre !), montrer que le champ y est très stable.

On donne : (1 + x)

^α

= 1 +

∞

P

k=1

α(α−1)....(α−k+1)

k!

x

^k

Approche documentaire (DNS)

L'expérience de Stern et Gerlach

Louis Marchildon.

Mécanique quantique - De Boeck Université - 2000 Bruxelles.

L'expérience d'Otto Stern et Walther Gerlach en février 1922 a mis en évidence l'existence du spin et sa quantication.

Le spin est associé à des particules, des atomes et des molécules. Il est apparenté au moment cinétique et au moment magnétique. Historiquement, le moment magnétique atomique a été révélé par l'expérience de Stern-Gerlach, que nous allons décrire schématiquement [...] En 1922, O. Stem et W. Gerlach ont mis au point une expérience visant à mesurer le moment magnétique d'atomes d'argent Le dispositif expérimental est illustré, dans ses grandes lignes, aux gures 4.1 et 4.2, qui représentent deux coupes diérentes de l'appareil.

Les atomes d'argent émergent du four dans un vide poussé et le collimateur les ltre en un faisceau essen- tiellement liforme. Ils passent ensuite entre les pôles de l'aimant. La conguration du champ magnétique est illustrée à la gure 4.2. Le vecteur d'induction a une composante B

z

intense, une composante B

x

moins forte (et nulle au centre) et une composante B

y

à toutes ns pratiques nulle. Les dérivées ∂B

z

/∂z et ∂B

x

/∂x sont toutes deux importantes, de sorte que ~ O · B ~ s'annule partout.

Essayons de suivre, entre les pôles de l'aimant, la trajectoire d'un atome d'argent porteur d'un moment magnétique ~ µ . Classiquement, l'énergie magnétique de l'atome est donnée par −~ µ · B ~ . C'est dire que la force magnétique exercée sur l'atome est égale à

F ~ = − O ~

−~ µ · B ~

= O ~ (µ

x

B

x

+ µ

z

B

z

) Nous verrons que la valeur de la composante du moment magnétique perpendiculaire à la direction du champ oscille très rapidement autour de zéro.

Ici, le champ est essentiellement dirigé suivant l'axe z . C'est dire qu'en moyenne, B

x

s'annule, de sorte qu'à toutes ns pratiques, cette composante ne contribue pas à la force exercée sur l'atome. La valeur de la composante µ

_z

par ailleurs, est essen- tiellement constante. On a donc

F ~ = µ

_z

~ O (B

_z

) = µ

_z

∂B

_z

∂z ~ z

où nous avons négligé les variations de B

_z

suivant x et y . Selon l'illustration de la gure 4.2, la dérivée suivant z

de B

z

est positive. L'atome d'argent sera donc dévié vers le haut si la composante µ

z

de son moment magnétique

est positive, et vers le bas si est négative.

D'un point de vue classique, on s'attend que les atomes d'argent émergent du four avec des mo- ments magnétiques ~ µ orientés dans toutes les di- rections. La composante µ

_z

devrait donc prendre toutes les valeurs positives et négatives, dans un intervalle approprié. Par conséquent, les atomes d'argent du faisceau liforme incident devraient, à la sortie de l'aimant, s'éparpiller le long d'une mince ligne sur le détecteur. Or, ce n'est pas ce que Stem et Gerlach ont observé. Le faisceau in- cident s'est plutôt séparé en deux faisceaux li- formes dirigés, respectivement, vers le haut et vers le bas du détecteur. Tout s'est donc passé comme si la composante µ

z

ne pouvait prendre que deux valeurs. La déviation relativement symétrique des deux faisceaux par rapport à l'axe y laissait croire

que les deux valeurs possibles de la composante µ

_z

étaient de même grandeur et de signe contraire.

Évidemment, l'axe z n'a, ici, rien d'absolu. Il est déni par la direction du champ magnétique. L'expérience de Stern-Gerlach laisse croire que la projection du moment magnétique d'un atome d'argent sur la direction du champ magnétique est quantiée. L'expérience a, par la suite, été reprise avec d'autres atomes. Dans tous les cas, on a observe que la projection de ~ µ sur B ~ est quantiée. Cependant, le nombre de valeurs possibles de µ

z

n'est pas toujours égal à deux. Parfois, il n'y a qu'une seule valeur (c'est-à-dire, un seul faisceau à la sortie de l'aimant), parfois il y en a trois, parfois davantage. [...] La grandeur physique µ

z

c'est-à-dire la composante du moment magnétique d'un atome suivant la direction du champ magnétique, ne peut prendre qu'un nombre ni de valeurs. [...]

Les propriétés du moment magnétique se révèlent de manière plus complète si l'on dirige le faisceau d'atomes vers deux appareils de Stern-Gerlach successifs. Supposons que le champ magnétique du premier appareil soit oriente suivant l'axe z , et que le champ du second soit orienté suivant un axe u . Dirigeons, vers le second appareil, l'un des faisceaux émergeant de l'aimant du premier. Qu'observe-t-on alors ? Dans le cas particulier où

~

u = ±~ z (c'est-à-dire, lorsque le champ des deux appareils est orienté, à un signe près, vers la même direction), le faisceau qui arrive sur le second appareil en ressort intact, Qui plus est, il est (si ~ u = +~ z ) dévié de la même manière que dans le premier appareil. Dans le cas où ~ u 6= ±~ z , par contre, le faisceau tombant sur le second appareil est lui-même séparé en plusieurs faisceaux, en général le même nombre (appelons-le N ) que le nombre de valeurs de la grandeur µ

_z

pour l'atome utilisé. Pour des atomes auxquels correspond un N donné, on observe que la probabilité qu'un atome émergeant du premier appareil avec une valeur µ

z

émerge ensuite du second avec une valeur µ

u

ne dépend que de l'orientation relative des vecteurs unitaires ~ z et ~ u .

Toutes ces observations, au moins d'un point de vue qualitatif, s'harmonisent bien avec les concepts de la mécanique quantique.

exo 17.7) Enoncé

1) Etude du champ magnétique

1.a) Que doivent vérier les dérivées ∂B

z

/∂z et ∂B

x

/∂x pour que le champ magnétique dans l'entrefer dont parle le texte suive bien les équations de Maxwell ?

1.b) Pourquoi les lignes de champ présentées sur la gure 4.2 sont-elles cohérentes avec le texte, en particulier :

- "le champ est essentiellement dirigé suivant l'axe z " ; - il a "une composante B

x

moins forte (et nulle au centre)" ; - et"une composante B

y

nulle" ;

- enn, " la dérivée suivant z de B

z

est positive".

2) Etude mécanique

On s'intéresse à un atome d'argent de masse m et de moment magnétique ~ µ qui passe en t = 0 par le collimateur de coordonnées (0, 0, 0) avec une vitesse ~ v = v

0

~ u

y

.

A t = t

0

, l'atome d'argent pénètre dans l'entrefer de longueur ` , qu'il quitte à la date t

1

. On supposera que t

₁

− t

₀

est susamment court pour que |v

z

| v

₀

.

L'atome d'argent atteint ensuite le détecteur, situé à une distance d de l'entrefer, à la date t

₂

2.a) Déterminer, grâce au texte, les équations paramétriques du mouvement dans l'entrefer.

2.b) Faire de même entre l'entrefer et le détecteur.

2.c) En déduire que la coordonnée z de l'atome sur le détecteur est proportionnelle à µ

_z

. On donnera le facteur de proportionnalité en fonction de m ,

^∂B_∂z^z

, ` , d et v

₀

.

3) Conclusion de l'expérience

On admet que le moment magnétique ~ µ des particules est proportionnel à leur moment cinétique ~ σ : ~ µ = γ~ σ , où γ est le "rapport gyromagnétique". En particulier pour des atomes d'argent, de "spin" 1/2 , σ

_z

= ±

¹₂

~.

3.a) Vérier que la constante de Planck a la même dimension qu'un moment cinétique.

3.b) En quoi l'expérience de Stern et Gerlach montre que la projection de "spin" est quantiée ?

Problème (DNS)

Etude d'un dipôle magnétostatique

1) Dénition du dipôle magnétostatique

Soit une distribution de courant ~j d'extension nie, de volume V .

1.a) En partant des équations de Maxwell, démontrer la loi locale de conservation de la charge qui relie

~j à ρ .

1.b) En déduire la valeur de div x~j

en magnétostatique.

Par analogie avec la charge d'une distribution, on pose C ~ = t

Ω∈V

~j(Ω) d

³

τ . 1.c) Montrer que C ~ = ~ 0 .

On dénit alors le moment dipolaire magnétique par : m ~ =

¹₂

t

Ω∈V

OΩ ~ ∧ ~j(Ω) · d

³

τ . 1.d) Montrer que m ~ ne dépend pas du choix du point O .

1.e) Montrer que le moment dipolaire magnétique d'un contour fermé orienté C , parcouru par un courant I est

~

m = I x

S

d

²

S ~ = I ~ S où S est une surface qui s'appuie sur C et qui est orientée par C .

2) Exemple de dipôle microscopique

On considère un système isolé formé d'un proton (de charge e ) et d'un électron (de charge −e , où la charge élémentaire est e = 1, 6.10

⁻¹⁹

C et de masse m

_e

= 9, 11.10

⁻³¹

kg ). L'électron en mouvement circulaire uniforme de rayon a = 0, 10 nm autour du proton xe en O dans un référentiel galiléen.

2.a) Calculer la pulsation ω du mouvement de l'électron, en fonction de a , m

e

et ε

0

.

2.b) En déduire la norme du moment cinétique |~ σ

O

| de l'électron, en fonction de a , m

e

et ε

0

.

2.c) Quelle est la norme du moment magnétique m = | m| ~ présenté par un tel système, en fonction de a , m

e

, e et ε

0

. ? Application numérique : que vaut m ?

On pose

~

m = γ ~ σ

O

où γ est le rapport gyromagnétique.

2.d) Déterminer le rapport gyromagnétique γ du système.

3) Dipôle magnétostatique actif

On se place dans l'approximation dipolaire, c'est à dire que l'on se place en M , loin de la distribution de courant : OM OΩ , ∀Ω ∈ V .

3.a) Quelles sont donc les composantes B

r

, B

θ

et B

ϕ

(en coordonnées sphériques) du champ magnétique créé dans l'approximation dipolaire par le dipôle, en fonction des coordonnées r , θ et ϕ , de m et de la constante µ

₀

?

4) Dipôle magnétostatique passif

On plonge le dipôle dans un champ magnétostatique extérieur B ~

_ext

supposé homogène. Pour simplier les calculs, on pourra ici s'intéresser à un contour fermé orienté C , parcouru par un courant I , comme modélisation d'un dipôle magnétostatique.

4.a) Exprimer l'énergie potentielle E

p

magnétique du dipôle en fonction de m ~ et de B ~

ext

.

4.b) Quel est le moment M ~

_O

en O des actions magnétiques exercées sur ce dipôle en fonction de m ~ et

de B ~

ext

?