Annexe Suites 2 : Deux ROC

TS Annexe Suites 2 : Deux ROC _2012-2013

Si une suite ( u _n ) est croissante et non majorée alors lim

n→+∞

u _n = + ∞

Démonstration (ROC) :

( u _n ) est majorée ⇔ Il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ N , u n 6 M.

Ainsi ( u _n ) non majorée se traduit par : ∀ , il tel que ou encore u _n

∈ (intervalle)

De plus ( u _n ) est croissante donc , en particulier .

On peut donc dire que l’intervalle qui contient déjà , contient les termes

c’est à dire tous les à partir du .

On retouve la d’une suite qui tend vers donc lim

n→+∞

u _n = + ∞

Si, pour n assez « grand » , on a l’inégalité u n > v n et si lim

n →+∞ v n = + ∞ , alors lim

n →+∞ u n = + ∞ Démonstration (ROC) :

lim

n →+∞ v _n = + ∞ donc pour A ∈ R , l’intervalle de la forme contient de la suite à

partir du . ( ∈ N )

Pour n assez « grand » , on a l’inégalité u _n > v _n donc il un nombre entier à partir duquel . On a donc :

• Pour n > , v _n ∈ [ A ; + ∞ [ ;

• Pour n > , u _n > v _n ;

On pose N = max( ; ) et donc pour tout n supérieur ou égal à , on a la fois et

ce qui prouve que tous les termes appartiennent à à partir du .

On retouve la d’une suite qui tend vers donc lim

n→+∞

u _n = + ∞

Remarque 1 En mathématiques, la notation max( A ; B ) où A et B sont des réels signifie le plus grand des deux nombres réels A et B .

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