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Les ROC « au programme »
I- Les suites
1) Limites et comparaison
Théorème : Soit et deux suites définies pour tout ∈ ℕ. Si, à partir d’un certain rang, ≤ ,
et si lim = +∞ , alors lim = +∞
2) Limites des suites géométriques
Propriété : Soit ∈ ℝ. Si > 1, alors lim = +∞
3) Limites des suites monotones
Propriété : Soit une suite croissante définie sur ℕ.
Si la suite converge vers un réel
l
, alors est majorée parl
.Théorème :
Si une suite est croissante et non majorée, alors elle a pour limite +∞. II- Les fonctions
Théorème-définition :
Il existe une unique fonction , dérivable sur ℝ, de dérivée ’ égale à , et telle que 0 = 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle.
Propriété :
1 lim→ = +∞
2 lim→ = 0
Théorème : Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [ ; "].
La fonction $ définie sur [ ; "] par $% = & '(') est dérivable sur [ ; "] et a pour dérivée . (Dans le cas où est positive et croissante)
Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
(On admet que admet un minimum sur un intervalle fermé borné de type [ ; "])
2 III- Probabilités
Propriété :
Si * et + sont deux événements indépendants alors *̅ et + le sont aussi.
Il en est d’ailleurs de même pour * et +- ainsi que pour *̅ et +-. Propriété : Soit . un réel strictement positif.
L’espérance d’une variable aléatoire / suivant une loi exponentielle de paramètre . est donnée par : 0/ =1
. Propriété : Durée de vie sans vieillissement
Soit . un réel strictement positif.
Si / ↪ ℰ., alors pour tous réels ' et ℎ positifs, 4567/ ≥ ' + ℎ = 4/ ≥ ℎ. Propriété : Soit / une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
Pour tout réel 9 ∈ ]0; 1[, il existe un unique réel positif : tel que : 4−:≤ / ≤ : = 1 − 9 Propriété :
Si la variable aléatoire / suit la loi binomiale de paramètres et <, alors pour tout 9 ∈ ]0; 1[, on a :
→lim 4 =/
∈ >? = 1 − 9, où > = C < − :D<1 − <
√ ; < + :D<1 − <
√ F
Propriété : Soit $ la variable aléatoire fréquence qui, à tout échantillon de taille extrait d’une population dans laquelle la proportion d’un caractère est <, associe la fréquence obtenue (observée).
Alors l’intervalle G$−√H ; $+√HI contient, pour assez grand, la proportion < avec une probabilité au moins supérieure à 0,95.
IV- Géométrie dans l’espace
Théorème « du toit » : Soient deux droites (H et (J parallèles, avec (H incluse dans un plan KHet (J incluse dans un plan KJ.
Si les plans KHet KJ sont sécants en une droite L alors les droites (H et (J sont parallèles à L.
Propriété : Si une droite ( est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan K alors elle est orthogonale au plan K.
Propriété : L’espace est muni d’un repère orthonormé MN; OP, QP, RSPT.
Pour tous les réels , ", U non nuls et tout réel (, l’ensemble des points V% ; W ; X du plan vérifiant l’équation % + "W + UX + ( = 0 est un plan dont un vecteur normal est SP Y"
UZ.
