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Annexe Suites 2 : Deux ROC
2012-2013Si une suite (u
n) est croissante et non majorée alors lim
n→+∞
u
n= + ∞ Démonstration (ROC) :
(u
n) est majorée ⇔ Il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ N , u
n6 M.
Ainsi (u
n) non majorée se traduit par : ∀ M ∈ R , il existe n
0∈ N tel que u
n0> M ou encore u
n0∈ ]M ; + ∞ [ (intervalle)
De plus (u
n) est croissante donc u
n+1> u
n, en particulier u
n0+1> u
n0.
On peut donc dire que l’intervalle ]M ; + ∞ [ qui contient déjà u
n0, contient les termes u
n0, u
n0+1, u
n0+2, ....
c’est à dire tous les termes de la suite à partir du rang n
0. On retouve la définition d’une suite qui tend vers + ∞ donc lim
n→+∞
u
n= + ∞
Si, pour n assez « grand » , on a l’inégalité u
n> v
net si lim
n→+∞
v
n= + ∞ , alors lim
n→+∞
u
n= + ∞ Démonstration (ROC) :
lim
n→+∞
v
n= + ∞ donc pour A ∈ R , l’intervalle de la forme [A; + ∞ [ contient tous les termes de la suite (v
n) à partir du rang n
0. ( n
0∈ N )
Pour n assez « grand » , on a l’inégalité u
n> v
ndonc il existe un nombre entier n
1à partir duquel u
n> v
n. On a donc :
• Pour n > n
0, v
n∈ [A; + ∞ [ ;
• Pour n > n
1, u
n> v
n;
On pose N = max( n
0; n
1) et donc pour tout n supérieur ou égal à N , on a la fois u
n> v
net v
n∈ [A; + ∞ [ ce qui prouve que tous les termes u
nappartiennent à l’intervalle [A; + ∞ [ à partir du rang N .
On retouve la définition d’une suite qui tend vers + ∞ donc lim
n→+∞
u
n= + ∞
Remarque 1 En mathématiques, la notation max(A; B) où A et B sont des réels signifie le plus grand des deux nombres réels A et B.
My Maths Space 1 sur??
