A550. Les puissances de 2 à la fête

A550. Les puissances de 2 à la fête

Q1 : Trouver toutes les puissances de 2 qui sont encore des puissances de 2 lorsqu’on supprime

a) le premier chiffre de gauche. Nota : 4096 devient 96.

b) le dernier chiffre de droite.

Q2 : Existe-t-il une puissance de 2 telle qu’en réarrangeant ses chiffres on obtienne une autre puissance de 2 ?

Nota : les entiers commençant par un zéro sont exclus dans les réarrangements de la puissance de 2.

Solution proposée par Antoine Vanney

Q1 a)

2ⁿ-a.10^k = 2^p soit 2^p.(2^n-p-1) = a.10^k = 2^k.a.5^k Si a=2ⁱ.b, b impair, p=k+i et 2^n-p=b.5^k+1

Ainsi, si a=2, p=k+1 et 2^n-p=5^p-1+1 dont la seule solution est p=1 et n=2, solution impossible

Si a=4, p=k+2 et 2^n-p=5^p-2+1 ; même chose

Si a=6, p=k+1 et 2^n-p=3.5^p-1+1 qui admet comme solutions (n,p)=(1 ;3) et (2 ;6). Seule la 2^ème convient : 64=2⁶ devient 4=2².

Si a=8, p=k+3 et 2^n-p=5^p-3+1. pas de solution qui convienne.

Si a= 3 on a la solution 2⁵=32 devient 2¹

Si a=1 ou 5 on est ramené aux cas précédents et on n’a pas de solution Si a=7 ou 9. pas de solution qui convienne

Donc les seules solutions sont 64 et 32

b)

2ⁿ-a = 10.2^p soit 2^p+1.(2^n-p-1-5) = a

Par construction, a est pair (2, 4, 6 ou 8) et donc p=0, 1 ou 2

Si p=0, a=2 ou 6 et 2^n-1-5 = 1 ou 3, soit une seule solution n=4 : 16=2⁴ devient 1=2⁰ Si p=1, a=4 et 2^n-2-5 = 1 impossible. Idem pour p=2.

Donc la seule solution est 16

Q2

Compte-tenu du « nota », la puissance de 2 et son réarrangement ont le même nombre de chiffres. Le ratio entre le plus grand et le plus petit est une puissance de 2, soit 2, 4 ou 8.

Autrement dit, la solution est de la forme (2ⁿ⁺ⁱ ;2ⁿ) avec i=1, 2 ou 3.

On doit avoir pour 2ⁿ⁺ⁱ et 2ⁿ la même somme des chiffres, c'est-à-dire la même congruence modulo 9.

2ⁿ2ⁿ⁺ⁱ [9] donc 2ⁱ=1[9] (2ⁿ n’est pas un multiple de 9) ce qui est impossible pour les 3 valeurs possibles de i

Il n’y a donc pas de solution.