A550 : Les puissances de 2 à la fête

A550 : Les puissances de 2 à la fête

Q1 : Trouver toutes les puissances de 2 qui sont encore des puissances de 2 lorsqu’on supprime a) le premier chiffre de gauche. Nota : 4096 devient 96.

b) le dernier chiffre de droite.

Q2 : Existe-t-il une puissance de 2 telle qu’en réarrangeant ses chiffres on obtienne une autre puissance de 2 ?

Nota : les entiers commençant par un zéro sont exclus dans les réarrangements de la puissance de 2 Q1 : a) Si 2^a=2^b+10^k c, avec 1≤b<a, et c≤9 ; 2^b(2^a-b-1)=10^k*c ; 2^a-b-1 est divisible par 5 si a-b est divisible par 4, par 25 si a-b est divisible par 20, ... par 5^k si a-b divisible par 4*5^k-1 , etc...

Si a-b=4, 15*2^b=10c, c=3*2^b-1, donc b=1, c=3 ou b=2, c=6 . Si a-b=4*5^k-1,

(2^(4*5^k-1)-1)2^b=10^kc ; or, pour k≥2, 5^k-1≥k+3, 2^(4*5^k-1 )=16^5^k-1 >10^k+3 et c ne peut être un chiffre. Les seules solutions sont donc 32 et 64.

b)Si 10*2^b+c=2^a, avec a>b, 2^b(2^a-b-10)=c ; or, 0<2^a-b-10<10 seulement pour 2^a-b=16, soit a-b=4, et de plus b=0 pour c=6. La seule solution est donc 16.

Q2 : les deux puissances de 2 auraient le même nombre de chiffres, et puisque l’une divise l’autre, leur rapport serait égal à 2, 4 ou 8, donc leur différence serait une puissance de 2 multipliée par un facteur égal à 1, 3 ou 7. Mais la différence entre deux nombres qui sont des réarrangements des mêmes chiffres doit être divisible par 9 : chaque chiffre est facteur de 10ⁱ dans l’un, 10^j dans l’autre, donc de 10ⁱ -10^j , qui est divisible par 9, dans la différence : il y a donc contradiction, donc il est impossible d’obtenir une puissance de 2 en réarrangeant les chiffres d’une autre puissance de 2.