UNIVERSITE MOHAMMED V - RABAT Année universitaire 2019 - 2020 FACULTE DES SCIENCES
Travaux dirigés de Mécanique SVT2.
Série 2 - Dynamique Exercice 1
Décrire les référentiels convenables aux affirmations suivantes : - La Terre est immobile.
- Le Soleil tourne autour de la Terre.
- Le châssis d'une voiture roulant à vitesse constante est immobile. Dans ce cas le référentiel choisi est-il galiléen ?
Exercice 2
Relativement à un repère orthonormé direct fixe galiléen ( dont l’axe est la verticale ascendante, une particule M, de masse m, se déplace, sans frottement, sur la circonférence d’un quart de cercle (C) de rayon b. On suppose qu’à l’instant initial, la particule M se trouve en A(b,0,0) et se déplace vers B(0,b,0).
On notera le vecteur accélération de pesanteur et on exprimera les résultats vectoriels dans la base orthonormée directe associée aux coordonnées cylindriques.
1. Déterminer les expressions : du vecteur position , du vecteur vitesse instantanée et du vecteur accélération
instantanée de la particule M par rapport à R0. 2. Si est la réaction de (C) sur la particule M et le poids de
cette dernière, écrire la relation fondamentale de la dynamique du point matériel appliquée à M dans R0 .
3. En déduire deux équations différentielles dont l’une est l’équation différentielle du mouvement de la particule M.
Exercice 3
Par rapport à un repère géocentrique, un satellite S, de masse m, décrit une trajectoire circulaire autour de la Terre, de masse M et de rayon R, à une très haute altitude h.
1. Donner l’expression de la résultante des forces qui agissent sur le satellite S et écrire le principe fondamental de la dynamique.
2. Donner l’expression de l’accélération de la pesanteur gh à laquelle est soumis le satellite S en fonction de R, h et de l’accélération de la pesanteur au niveau de la mer g0.
3. En déduire le module de la vitesse du satellite S.
4. Donner l’expression de la norme de la vitesse pour h = 0 et h . Exercice 4
Un corps S lancé verticalement à partir du sol avec une vitesse V0. En absence de frottements, le système constitué par le corps S est un système conservatif, son énergie mécanique est constante.
1. Etablir la relation liant les modules V1 et V2 de la vitesse du corps S correspondants aux altitudes z1 et z2.
2. Déduire l’altitude maximale zmax atteinte par le corps S en fonction de V0 et g.
A B
M
O b
3. Sachant que la force d’attraction universelle exercée par la terre sur le corps S, placé à une altitude r, est une force conservative, établir l’expression de l’énergie potentielle V(r). On prendra V(r) = 0 à l’infini.
Exercice 5
Une particule P de masse m se déplace sur une ellipse contenue dans le plan ( . Cette particule est repérée à l’aide de ses coordonnées :xacostetybsintoù a, b et
sont des constantes positives.1. Donner les expressions des vecteurs vitesse et accélération .
2. La force agissant sur P étant - , exprimer le travail effectué par cette force quand son point d’application se déplace du point A(a,0) au point B(0,b).
3. Donner l’expression de l’énergie cinétique aux points A et B.
4. Sachant que est une force conservative, déterminer l'énergie potentielle dont elle dérive.
5. Déterminer l’énergie mécanique de la particule et montrer qu’elle est constante.
Exercice 6
Soit une particule P de masse m dont le vecteur position par rapport à un repère orthonormé direct fixe ( , est .
1. Déterminer le vecteur accélération instantanée .
2. En déduire la résultante des forces appliquées à la particule P.
3. Déterminer la puissance instantanée développée par cette résultante ainsi que le travail
fourni par durant l’intervalle de temps (0,t).
4. En déduire l’énergie potentielle V(P) dont dérive cette résultante. On prendre V(P)=0 à l’instant initial.
5. Déterminer l’énergie cinétique de la particule P et en déduire son énergie mécanique.
UNIVERSITE MOHAMMED V - RABAT Année universitaire 2019 - 2020 FACULTE DES SCIENCES
Dr. EL IDRISSI Ahmed
Corrigé - Série 2-Dynamique
Exercice 1 :
1- La terre est immobile :
Pour considérer la terre immobile, il faut se placer dans un référentiel centré sur le centre de la terre, et on choisit l’axe de rotation de la terre comme un des 3 axes du repère spatial.
2- Le soleil tourne autour de la terre :
Dans le référentiel géocentrique, le soleil tourne autour de la terre. Ce cas, on le voit quotidiennement dans le jour où le soleil se lève de l’est et se couche à l’ouest (trajectoire apparente du soleil.
3- Le châssis d’une voiture roulant à une vitesse constante parait immobile :
Dans le référentiel lié à la voiture, le châssis est immobile (Sa position ne change pas par rapport à la voiture en fonction du temps ( Vvoiture = Vchâssis).
Le mouvement de la voiture sur la surface de la terre est un mouvement en translation uniforme par rapport au référentiel géocentrique que l’on peut considérer comme galiléen, on peut donc considérer le référentiel lié à la voiture comme galiléen.
Exercice 2 :
1-Détermination des expressions de vecteurs position, vitesse et accélération instantanées : Pour la détermination du vecteur position dans la base des coordonnées cylindriques ( , ), un rappel du repérage cylindrique s’avère nécessaire vu qu’on a un mouvement circulaire qui se fait dans le plan ( ) sur une circonférence d’un quart de cercle et la particule M est repérée par les trois paramètres cylindriques ( , , ). Et puisque, le paramètre n’intervient pas, on va utiliser les coordonnées polaires ( , ).
Dans le cas général, le vecteur position s'exprime en coordonnées cylindriques par:
, et puisque z = 0, le vecteur position s’écrit : , d'après le schéma: , donc .
Alors le vecteur position s’écrit dans la base ( , ), : .
Pour le vecteur vitesse instantanée, on utilise la définition :
Donc, on dérive le vecteur position dans le repère R0 fixe par rapport au temps et en appliquant la dérivation du produit de deux fonctions, (f×g)’ = (f’)g + f(g’), à l’équation ci-dessus, on obtiendra :
Puisque, le vecteur n’est pas un vecteur fixe dans R0 donc sa dérivée par rapport au temps s’écrit :
Et b est une constante donc sa dérivée par rapport au temps est nulle. Ceci, nous donne sue le vecteur vitesse instantanée a l’expression suivante :
.
Un petit Rappel pour les dérivées des vecteurs , par rapport au repère R0 fixe
Pour le vecteur accélération instantanée, on utilise la définition :
Donc, on dérive le vecteur vitesse dans le repère R0 fixe par rapport au temps et en appliquant la dérivation du produit de deux fonctions, (f×g)’ = (f’)g + f(g’), à l’équation ci-dessus, on obtiendra :
En revenant sur le rappel de la dérivation des vecteurs , , l’expression du vecteur accélération instantanée :
2-l’expression de la relation fondamentale de la dynamique :
La particule M est soumise à son poids, , et la résultante de la réaction de la circonférence, . La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
-M se déplace sans frottement, donc sera perpendiculaire à la circonférence et parallèle à la direction de :
- Pour le poids , la projection donne que :
En remplaçant les forces par leurs expressions dans l’équation de la relation fondamentale de la dynamique :
= )
3- L’expression de l’équation différentielle du mouvement :
La relation fondamentale de la dynamique indique que les vecteurs peuvent être projetés dans le plan ( , ), ce qui donne naissance au système suivant :
Suivant la projection sur on obtient l’équation différentielle suivante :
Suivant la projection sur on obtient l’équation différentielle suivante :
Cette dernière équation est l’équation différentielle du mouvement de la particule M.
Exercice 3 :
1- L’expression de la résultante des forces qui agissent sur le satellite S et le P.F.D :
La figure ci-dessus illustre la trajectoire circulaire du satellite autour de la terre. A une altitude h, le satellite n’est soumis qu’à la force d’attraction universelle . Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
Avec , alors le P.F.D s’écrit D’où
= 2- L’expression de l’accélération de la pesanteur gh :
Au voisinage de la terre, la force d’attraction universelle exercée par la terre correspond au poids du satellite : .
Donc à une altitude h au voisinage de la terre, la force d’attraction universelle est égale au poids du satellite . Ce poids est dirigé du satellite vers le centre de la terre ce qui signifie qu’il est dans le sens inverse du vecteur unitaire :
= →
= (+)
A la surface de la terre ou au niveau de la mer où h = 0, la relation ci-dessus devient :
= →
= (++)
Si en divisant le résultat final de l’équation (+) sur le résultat final (++), le rapport donne :
Alors gh dépend de h puisque R et g0 sont des constantes. Donc l’expression de gh est :
3-Détermination de la vitesse de satellite
Puisque La trajectoire du satellite est circulaire, le vecteur d’accélération a deux composantes. La première est dite accélération tangentielle alors que l’autre est dite accélération normale. Ceci se traduit par l’expression suivante : = .
En plus, pour la trajectoire circulaire, on a : - =
où le vecteur unitaire tangentiel.
- =
où Rc est rayon de courbure, module de la vitesse et vecteur unitaire normal.
Dans notre exercice, Rc = et
L’application du principe fondamental de la dynamique donne :
En projetant la dernière relation, nous obtenons :
D’où
Donc, la vitesse a l’expression suivante :
4-Détermination de la vitesse de satellite pour h = 0 et h tend vers l’infini : A partir de l’expression de la vitesse,
, on peut distinguer deux cas :
*Premier cas h = 0, la vitesse devient
*Deuxième cas h → , la vitesse devient nulle car
Donc
Exercice 4 :
1-Détermination de la relation liant les modules V1 et V2 aux altitudes z1 et z2 :
La figure ci-dessus montre à l’instant t=0, le lancement vertical du corps S à partir du sol avec une vitesse V0. Ce lancement provoque la variation de l’altitude z de S avec le temps. Dans l’énoncé de cet exercice, le corps S est considéré comme étant un système conservatif donc son énergie mécanique est constante. Donc, à chaque altitude, l’énergie mécanique aura la même valeur. Ceci est exprimé par :
Em(z = 0) = Em(z = z1) = Em(z = z2)= Cte
Et on sait que l’énergie mécanique est la somme de l’énergie potentielle et l’énergie cinétique C à d : Em = Ec(S) + où et Ec(S) = .
La conservation de l’énergie mécanique entre z1 et z2 sera traduite par : Em(z = z1) = Em(z = z2)
+ = +
A partir de cette dernière équation, on peut rassembler les vitesses dans le premier membre et les altitudes dans le second membre, ce qui donne :
= D’où =
2- Déduction de l’altitude zmax atteinte par S en fonction de V0 et g :
Lorsque le corps S atteint son altitude maximal zmax , sa vitesse s'annule: vzmax = 0 On a : + = +
Au niveau du sol et au niveau zmax, vzmax = 0, donc on obtiendra : =
D’où
3- Détermination de l’énergie potentielle de la force d’attraction universelle exercée par la terre sur le corps S :
La considération de la force d’attraction universelle comme étant une force conservative, nous ramène à dire qu’elle dérive d’une énergie potentielle V(P) : .
Le schéma ci-dessous illustre le cas étudié
Pour le calcul de l’énergie potentielle, on suppose que la terre est sphérique. Pour cela le gradient va être exprimé dans la base sphérique et n’a qu’une composante suivant le vecteur unitaire donc :
Par intégration, l’énergie potentielle est :
Lorsque r tend vers l’infini = 0, ceci implique que la constante C doit être nulle. D’où l’expression finale de l’énergie potentielle est
Exercice 5 :
Après une lecture attentive de l’énoncé, on peut déduire que le vecteur position s’écrit : acos( t) sin( t)
La projection du vecteur position dans la figure suivante :
1- Détermination de vecteur vitesse instantanée :
D’après la définition de vecteur vitesse instantanée, on a :
Donc, on dérive le vecteur position dans le repère R0 fixe par rapport au temps :
acos( t) sin( t)
acos( t)
sin( t) acos( t)
acos( t)
sin( t)
sin( t)
Puisque, les vecteurs sont des vecteurs fixes dans R0 donc leur dérivée par rapport au temps est nulle :
acos( t)
sin( t)
d'où on obtient: a s ( t) cos( t)
Pour le calcul du module de la vitesse , on utilise la formule suivante :
= v v v avec vx,vy et vz sont les composantes de la vitesse dans la base ( , ) respectivement. Pour notre cas vx = a s ( t), vy = cos( t) et vz = 0 alors le module est : = cos( t)
= cos( t)
et puisque est une constante positive, le module de la vitesse instantanée peut être écrit comme suit :
= cos( t)
De ce fait, l’expression de vecteur accélération instantanée est donnée par :
En suivant les mêmes étapes données pour le calcul de la vitesse instantanée, on obtiendra : a s ( t)
a s ( t)
cos( t)
cos( t)
avec:
Alors, le vecteur accélération instantanée est :
a cos( t) s ( t) cos( t) s ( t) 2- Le travailW effectué par la force est défini par la relation : D’a ord, on définit le travail élémentaire dW( ) = =
Alors le travail W( ) effectué par la force le long de l’arc AB est : W( ) = W( ) =
Avec où dx est le déplacement élémentaire sur le segment AO et dy est le déplacement élémentaire sur le segment OB.
W( ) (*) Sur le segment AO, on a une seule composante dx suivant l’axe x donc :
acos( t) sin( t)
acos( t) sin( t) =
De même sur le segment OB, on a une seule composante dy suivant l’axe y donc :
acos( t) sin( t)
acos( t) sin( t) =
Alors et d’après l’équation (*), le travail effectué sera :
3- l’énergie cinétique aux points A et B :
On peut déterminer l’énergie cinétique en point A à partir des vecteurs position et vitesse instantanée, C à d :
acos( t) sin( t) et a s ( t) cos( t) ,
alors en point A(a,0) on a : x = a et y = 0 donc cos t donc t
En remplaçant dans la vitesse on obtient que a les composantes suivantes dans A : = cos( t) . Ceci nous permet de calculer l’énergie cinétique qui est :
Ec(A) = avec = donc Ec(A) = =
Ec(A) =
*Pour le point B(0,b) on a : x = 0 et y = b donc cos t donc t
En procédant de la même manière la vitesse en B sera : = a sin( t) a Donc Ec(B) =
4- l’énergie potentielle V(P) :
Nous savons que lorsqu’une force est conservative, cette force dérive d’une énergie potentielle V(P) et son travail correspond à la diminution de son énergie potentielle. Puisque, on sait calculer le travail fourni W( ), on peut écrire la relation suivante :
W( ) = donc alors
acos( t) sin( t) Pour simplifier le calcul on écrit :
x y
x y = x y = x y + C
= acos( t) sin( t) + C où C est une constante.
5- Détermination de l’énergie mécanique :
L’énergie mécanique d’une particule en mouvement est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
Em = Ec(P) + L’énergie cinétique du système étudié a l’expression suivante : Ec(P) = = cos( t) L’énergie potentielle du système étudié a l’expression suivante : = acos( t) sin( t) + C
La somme des deux expressions peut être écrite comme suit :
Em = cos( t) + cos( t) + C Em = cos( t) + C (**)
On sait que cos( t) , alors l’équation (**) devient :
Em = + C
Em = + C
Puisque m, a, b, c et sont toutes constantes ce qui implique que l’énergie mécanique est constante.
Ceci nous amène à dire qu’on a un système conservatif.
Exercice 6 :
1- Dans cet exercice, pour donner le résultat concernant vecteur accélération instantanée, on doit faire appel à la définition de vecteur vitesse instantanée. L’énoncé de l’exercice indique que la particule P est repérée, dans le repère orthonormé direct R0(O, ), par son vecteur position .
A partir de cette dernière relation et en appliquant la définition de vecteur vitesse instantanée,
Donc, on dérive le vecteur position dans le repère R0 fixe par rapport au temps :
En appliquant la dérivation du produit de deux fonctions, (f×g)’ = (f’)g + f(g’), à l’équation , on obtiendra :
Puisque, les vecteurs sont des vecteurs fixes dans R0 donc leur dérivée par rapport au temps est nulle :
Donc l’équation (1a) devient :
L’équation (1b) donne l’expression de vecteur vitesse instantanée . De ce fait, on donne l’expression de vecteur accélération instantanée :
En suivant les mêmes étapes données pour le calcul de la vitesse instantanée, on obtiendra :
avec
Alors, le vecteur accélération instantanée est :
2- Pour la déduction de la résultante des forces appliquées à la particule P de masse m, on a le vecteur accélération instantanée qui est le second mem re de l’équation de Principe Fondamental de la Dynamique (2ème loi de Newton) : = m
d’où
Alors, en remplaçant le vecteur accélération par son expression la résultante des forces est :
3- La détermination de la puissance instantanée P :
On définit la puissance instantanée P d’une force par : P = . avec la vitesse instantanée.
Dans notre cas, la vitesse instantanée est et comme la puissance instantanée est un produit scalaire de et , le résultat s’écrit comme suit :
P = . P = .( ) P = . . P = . .
et on sait bien que les vecteurs et forment une base orthonormée donc est perpendiculaire à et leur norme est = =1.
Puisque : donc = = . .cos ( ) = . .cos (90°) = 0
et = = . .cos ( ) = . .cos (0°) = . .cos ( ) = . .cos (0°) = 1 Donc l’équation (3) devient : P = . Cette puissance dépend du temps
- Pour le travail W( ) fourni par la résultante durant l’intervalle [0, t] est exprimé par : D’a ord on définit le travail élémentaire dW( ) = = .
Alors le travail dW( ) = P . W( ) = = W( ) =
W( ) = = - W( ) =
On peut voir facilement que ce travail est un travail moteur car > 0 W( ) > 0 4- Détermination de l’énergie potentielle V(P) :
Le travail d’une force conservative correspond à la diminution de son énergie potentielle : W( ) =
W( ) =
W( ) = [ ] W( ) = = W( ) = W( )
= 5- Détermination de l’énergie cinétique Ec(P) :
L’énergie cinétique de la particule P est définie par : Ec(P) =
Nous avons trouvé que la vitesse s’écrit : Ceci nous amène à calculer le module de la vitesse instantanée , noté .
Pour calculer , on utilise la formule suivante :
= v v v avec vx,vy et vz sont les composantes de la vitesse dans la base ( , ) respectivement.
Pour notre cas vx = 2, vy = et vz = 0 alors le module = Donc = , d’où l’énergie cinétique est : Ec(P) = Ec(P) = Ec(P) = = 2 +2
- Pour son énergie mécanique Em :
L’énergie mécanique d’une particule en mouvement est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
Em = Ec(P) + Em = 2 +2 Em = 2
Puisque m est une constante, on en déduit que l’énergie mécanique est constante, Em = constante. Donc, on est dans le cas d’un système conservatif.
