UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat
Année 2019–2020
Calcul intégrales et formes di¤érentielles.
SMA4/M21 SERIE-3
Exercice 1.
a) Inverser l’ordre de l’intégrale triple : R4
0
Rpz pz
Rp
z2 y2
pz2 y2f(x; y; z)dxdydz de dxdydz a dzdydx
b):Inverser l’ordre de l’intégrale triple;
R2 2
Rp4 x2 0
Rp
4 x2 y2
p4 x2 y2f(x; y; z)dzdydx de dzdydx a dydzdx:
Exercice 2 .
a) Evaluer l’intégrale triple suivantes en utilisant les coordonnées sphériques:
R2 2
Rp4 x2 p4 x2
Rp
4 x2 y2
p4 x2 y2(x2+y2)dzdydx b) Calculer l’intégrale triple :
RRR
Dcos( y)p
x2+z2dV;
où D est la région bornée par:
x2+z2= 1; x2+z2= 4; y= 1 ety= 2:
Exercice 3 .
Déterminer si les champs de vecteurs suivants dérivent d’un potentielf (Exactes). Si oui, trouverf:
a) F(x; y) = (x3 ysin(x))i+ (y3 cos(x)j:
b) F(x; y) = (2xArctan(y))i+ ( x2 1 +y2)j:
c) F(x; y; z) =ztan(y)i+ xz
cos2(y)j+xtan(y)k:
d)F(x; y; z) =ex(ez ln(y))i+ (eyln(z) exy 1)j+ (ex+z+eyz 1)k:
Exercice 4 .
Calculer l’intégrale curviligne le long de la courbe C indiquée:
a) R
Cyx2dx+ (x+y)dy;
C:y= x3 de l’origine au point(1; 1).
1
b)R
C3xydx+ (4x2 3y)dy;
C:le segment reliant les points(0;3)à (3;9)et la paraboley=x2 de(3;9)à (5;25):
c) R
Czdx+xdy+ydz;
C:r(t) =acos(t)i+asin(t)j+tk;0 t 2 : d) R
C(x+y)dx+ (y+z)dy+ (x+z)dz;
C:le segment reliant les points(0;0;0)à (1;2;4):
Exercice 5.
a) Démontrer que le champ de vecteurs
F(x; y; z) = (6xy3+ 2z2)i+ 9x2y2j+ (4xz+ 1)k dérive d’un potentiel (Exacte) f(x; y; z). Déterminerf:
b) Calculer l’intégrale curviligne deF le long d’une courbe C lisse reliant les points(0;0;0)et (1;1;1):
c) Véri…er ce résultat en calculant l’intégrale curviligne deF le long de la courbe C: le segment reliant les points(0;0;0)à (1;0;0);
le segment reliant les points(1;0;0)à (1;1;0) le segment reliant les points(1;1;0)à (1;1;1):
Exercice 6.
En utilisant le théorème de Green-Riemann dans le plan , calculer l’intégrale curviligne:
( La courbeC est orientée vers le sens positif).
a)R
C(sin4(x) +e2x)dx+ (cos3(y) ey)dy;
C:x4+y4= 16:
Expliquer le résultat obtenu.
b)R
C( x2y
x2+ 1)dx (Arctan(x))dy;
C: 4x2+ 25y2= 100:
c)R
C(ex x2y)dx+ 3x2ydy;
C est la courbe fermée : y=x2 etx=y2: d)R
C(2xy)dx+ (y2)dy;
C est la courbe fermée formée par:y= x
2; y=pxentre(0;0);(4;2):
2
