UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat
Année 2019–2020
Calcul intégrales et formes différentielles.
SMA/M21 Série # 2
Exercice I.
Calculer les intégrales doubles suivantes:(a) ∫ 3
−1
∫ 3y 0
(x2+y2)dxdy.
(b) ∫ π9
0
∫ 3r
π 4
dθdr cos2(θ).
(c) ∫∫
S
(x2+ 2y)dA, S est la région bornée pary=x2 ety=√
x.
(d) Représenter graphiquement le domaine d’intégration de l’intégrale:
∫ 1 0
∫ 1 x
y
x2+y2dydx.
Puis calculer directement cette intégrale.
Exercice II
. Evaluer les intégrales doubles suivantes en utilisant les coor- données polaires:(a) ∫ 1
0
∫ √2−x2 x
(x2+y2)dydx
(c) ∫∫
D
ex2+y2dA où D est la région bornée par les cercles
x2+y2= 1etx2+y2= 9.
1
(c) ∫ ∞
0
∫ ∞
0
1
(1 +x2+y2)2dydx.
(d) Évaluer ∫∫
R
y2 x2dxdy
oùR est la portion de l’anneau définie par1≤x2+y2≤4 située dans le premier quadrant sous la droitey=x.
Exercice III.
(a) Transformer l’intégrale double
∫ 4π3
3π 4
∫ −5
cos(θ)
0
r3sin2(θ)drdθ
en coordonnéescartésiennes, puis évaluer l’intégrale double.
(b) Inverser l’ordre de l’intégrale double
∫ π
2
0
∫ sin(θ) 0
sin(θ)drdθ,
puis évaluer.
(c) Inverser l’ordre de l’intégrale double
∫ 1 0
∫ y
−y
f(x, y)dxdy.
Exercice IV
(a) Calculer le volume du solide borné au dessus par le graphe z= 9−x2−y2
et au dessous par le graphe
z= 1 +x2+y2.
(b) Calculer le volume de la régionDsituée àl’intérieur de la sphère d’équation x2+y2+z2= 4
et le cylindre d’équation
x2+ (y−1)2= 1.
2
(c) Calculer l’aire de la surface de la sphère x2+y2+z2=a2 à l’intérieur du cylindre circulaire
x2+y2=b2,0< a≤b.
Exercice V
Calculer les intégrales triples suivantes :(a) ∫ 7
−3
∫ 2x 0
∫ x−1 y
dzdydx.
(b) ∫ 2
0
∫ z 1
∫ √x
z
0
2xyzdydxdz.
(c) ∫ 1
−1
∫ y 0
∫ x 0
yex2+y2dzdxdy.
Exercice VI
1) Que représente le solide dont le volume est donné par:(a) ∫ 1
−1
∫ √1−x2
−√ 1−x2
∫ 2−√
x2+y2
√x2+y2
dzdydx.
Puis évaluer l’intégrale.
(b) ∫ √3
−√ 3
∫ √3−z2
−√ 3−z2
∫ 3 y2+z2
dxdydz.
Puis évaluer l’intégrale.
2) Calculer le volume de la régionD bornée par le plan d’équationz= 3 + 2y et la paraboloidez=x2+y2.
3
