UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

Année 2019–2020

SMA4/M21: Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

SERIE-4

Exercice I.

Calculer l’intégrale de surface ZZ

S

F:nds;

oùF = 2xi+yj+zk; Sest la surface du paraboloïdez=x²+y²; bornée par les plansz= 0; z= 4;à travers l’extérieur de S:

Exercice II

^. Si F véri…e les hypothèses du théorème de Stokes.

Calculer l’intégrale de surface:

ZZ

S

RotF:nds;

à travers le côté extérieur deS, oùS=S1[S2: S1 est la demi-sphèrez=p

2 x² y², S1 est le graphe du cônez=p

x²+y².

Exercice III

^.

SoitF est le champ de vecteursF(x; y; z) =x²i+y²j+z²k:

Véri…er le théorème de Stokes: S est la surfacez= 9 x² y²; z 0.

Exercice IV

^.

Soit F est le champ de vecteursF(x; y; z) =xzi+ 2zj xyk:

Calculer :

R

C F:dr,

C est l’intersection du plan d’équation y=z+ 2;et du cylindrex²+y²= 4:

L’orientation de C est déterminée par le vecteur normale sortant du côté supérieur du graphe (diriger vers le haut).

ExerciceV

^. Calculer l’intégrale de surfaceRR

SF:nds;

oùF =x²yi+xy²j+xyzk; S est la sphèrex²+y²+z²= 1;

ndirigé vers l’extérieur.

Exercice VI

^.

Véri…er le théorème d’ostrogradsky oùF =xi+yj+zk;

S est la surface du cylindre f(x; y; z)= x²+y² 1,0 z 2g:

Exercice VII

^. Démontrer la proposition suivante:

Soit S une surface dé…nie par le graphez=f(x; y), (x; y)2Det n le vecteur normal unitaire à S dirigé du côté inférieure de S.

Sif est de classeC¹etF(x; y; z) =F₁(x; y; z)i+F₂(x; x; y; z)j+F₃(x; y; z)k un champ continu alors :ZZ

S

F:nds= ZZ

D

(F₁@f

@x+F₂@f

@y F₃)dxdy:

1

:

2