Exo de Bac

(1)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale STG Optimisation DS – 1h

1

TEST 04 – Optimisation (1h)

Un artisan fabrique des objets décoratifs selon deux modèles A ou B. Il cherche à optimiser sa production. Pour cela, il fait une étude en fonction de contraintes

qu’il a identifiées. Il en donne une représentation graphique avec le schéma ci-contre à rendre avec la copie (les solutions correspondent aux points de coordonnées entières de la zone non hachurée, frontières comprises).

Le nombre d’objets du modèle A est noté x ; le nombre d’objets du modèle B est noté y.

1. La réalisation d’un objet du modèle A nécessite 150 de matière première, celle d’un objet B en nécessite 350 . Pour une bonne gestion de son entreprise, la dépense journalière en matière première doit rester inférieure à 2800 .

Traduire cette contrainte par une inéquation.

Quelle droite du schéma est la frontière du demi-plan correspondant ? Justifier.

2. La fabrication d’un objet du modèle A prend 48 minutes tandis que celle d’un objet B nécessite 30 minutes. L’artisan dispose de 8 heures de travail maximum par journée.

Traduire cette contrainte par une inéquation.

Quelle droite du schéma est la frontière du demi-plan correspondant ? Justifier.

3. Sur chaque objet du modèle A vendu, il réalise un bénéfice de 108 , alors qu’il réalise un bénéfice de 90 sur chaque vente d’un objet du modèle B.

a. Exprimer en fonction de x et y, le bénéfice journalier b qu’il peut réaliser.

b. Tracer, dans le repère ci-contre, la droite D₅₇₆ qui correspond à un bénéfice de 576 . (on suppose que l’artisan vend toute sa production).

Déterminer graphiquement toutes les solutions qui conduisent à réaliser ce bénéfice de 576 .

c. L’artisan souhaite réaliser un bénéfice maximum.

Pour cela, déterminer graphiquement le nombre d’objet de chaque modèle qu’il doit réaliser (et vendre) chaque jour.

Expliquer la méthode utilisée et déterminer le bénéfice maximum associé.

D₁ D₃

D₂

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

1

x y

(2)

2 Correction

1. La réalisation d’un objet du modèle A nécessite 150 de matière première, donc pour en produire x, il faudra débourser 150x . De même, celle de y objets B en nécessitent 350y .

La dépense journalière en matière première devant rester inférieure à 2800 , on a 150x+350y≤2800. Ce demi plan a pour frontière, la droite d’équation ³

7

150x+350y=2800⇔ y=− x+8 : son ordonnée à l’origine est donc 8 et comme seule D₁ a la même ordonnée à l’origine, la frontière est D₁.

2. La fabrication d’un objet du modèle A prend 48 minutes donc pour en produire x, il faudra 48x minutes. De même, celle de y objets B en nécessitent 30y minutes.

L’artisan dispose de 8 heures = 480 minutes de travail maximum par journée d’où la contrainte : 48x+30y≤480. Ce demi plan a pour frontière, la droite d’équation 48 30 480 8 16

x+ y= ⇔ = −y 5x+ : son ordonnée à l’origine est donc 16 et comme seule D₃ a une ordonnée à l’origine plus grande que 10, la frontière est D₃.

•••• Sur chaque objet du modèle A vendu, il réalise un bénéfice de 108 , alors qu’il réalise un bénéfice de 90 sur chaque vente d’un objet du modèle B.

a. La vente d’un objet A rapporte 108 donc celle de x objets A rapporte 108x . De même, celle de y objets B rapporte 90y .

Le bénéfice journalier b qu’il peut réaliser est donc b=108x+90y.

b. Pour tracer la droite D₅₇₆ qui correspond à un bénéfice de 576 , il faut tracer la droite d’équation

6 42

576 108 90

5 5

x y y x

= + ⇔ = − + . Cette droite passe par les points

( )

^{2;6 et}

( )

^{7;0 .}

Pour déterminer graphiquement toutes les solutions qui conduisent à réaliser ce bénéfice de

576 , il faut choisir les points de la droite à la fois dans le domaine des contraintes et à coordonnées entières.

On trouve deux productions possibles : x = 2, y = 6 ou x = 7, y = 0.

c. L’artisan souhaite réaliser un bénéfice maximum.

Pour déterminer le bénéfice maximum, la méthode est la suivante : d’après le 3a, les productions associées à un bénéfice b sont des points de la droite d’équation 108 90 1,2

90 b= x+ y⇔ = −y x+ b .

•••• Toutes ces droites ont le même coefficient directeur -1,2 donc elles sont toutes parallèles entre elles, en particulier, elles sont toutes parallèles à la droite D₅₇₆ tracée en 3b.

•••• Leur ordonnée à l’origine est 90

b .

•••• Donc pour maximiser le bénéfice, il faut trouver la droite qui ait l’ordonnée à l’origine maximum, tout en étant parallèle à D₅₇₆, et évidemment qui passe par un point à coordonnées entières du domaine des contraintes.

Plusieurs points sont potentiellement possibles : (6 ;5), qui correspond à la production de 6 objets de type A et de 5 objets de type b, soit un bénéfice de b=1098 ; (7 ;4), qui correspond à la production de 7 objets de type A et de 4 objets de type b, soit un bénéfice de b=1116 ; (8 ;3), qui correspond à la production de 8 objets de type A et de 3 objets de type b, soit un bénéfice de b=1134 .

C’est donc ce dernier couple qui convient.

(3)

3

D

₁

D

₃

D

₂

D(576)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

1

x y