Première NSI Mme Pierrot
Approche de la récursivité avec les suites.
Thème : Les suites récurrentes Compétences à acquérir :
Comprendre ce qui se joue quand on utilise des fonctions récursives, les avantages et les inconvénients.
Notions : Application du principe « diviser pour mieux régner » avec La récursivité
Eléments d’information et exemples.
Sitographie :
• h ttps://www.jesuisundev.com/comprendre-la-recursivite-en-7-min/
• https://openclassrooms.com/fr/courses/4366701-decouvrez-le-fonctionnement-des-algorithmes/4385343-voyez-le-monde-autrement-avec-la-recursivite
• En apprendre plus sur les suites : http://gconnan.free.fr/les%20pdf/LimSuit.pdf
Doc 1. Exemples de suites récurrentes :
(0)
{
UU0n+=1=√
2√
2+Un}
(1){
UU0n+=1=0cos(Un)}
(2){
UU0n+=1=0√
U3n+5}
Pour Fibonacci :
{
UU0n+=21=; UUn+11=+U1n}
Étudier la suite extraite : Vn=Un+1 Un(3)
Doc 2. Définition d’une suite convergente.
Une suite convergente est une suite dont la limite est réelle : tous les termes de la suite sont compris dans un intervalle ouvert à partir d'un certain rang.
Doc 3. Temps de réponse
Le temps de réponse à 5 % c’est le nombre de termes de la suite qui précèdent le moment à partir duquel tous les termes sont compris entre ± 5 % de la limite de la suite
Doc. 4 La suite de Fibonacci
Célèbre problème de prolifération des lapins dû au mathématicien italien Léonard de Pise dit Fibonacci (1175 - 1240) :
"Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si commençant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence ?"
Au premier mois, il y aura 1 couple. Au deuxième, il y aura 1 couple. Au troisième mois, il y aura 2 couples. Et ainsi de suite pour obtenir la suite de Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;.... dont chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.
En prenant les rapports de deux nombres successifs de la suite, on constate que ces rapports se rapprochent du nombre d’or plus les nombres sont élevés dans la suite.
Travail à réaliser
1) Choisir une suite et écrire un programme qui calcul et affiche les n premiers termes de la suite en utilisant les fonctions.
2) Écrire une fonction récursive donnant le n-ième terme de la série.
3) Améliorer le programme afin qu'il affiche leurs temps de réponse à m% dans le cas ou elles sont convergentes.
4) Calculer une approximation du nombre d'Or au millième près.
