E649. Distribution égalitaire
Louis ROGLIANO
Problème proposé par Jean Drabbe.
On attribue un nombre réel à chacun des points du plan de manière telle que pour tout triangle, le réèl associé au centre du cercle inscrit soit la moyenne arithmétique des valeurs attribuées aux trois sommets. Montrer que tous les points du plan se voient attribuer le même nombre réel.
Prenons deux points quelconquesAetBaffectés respectivement des coefficientsaetb. SoitM un point quelconque de l’intervalle ouvert]AB[. Il est toujours possible de trouver un pointM0 extérieur au segment[AB]tel que la droite(M0M)soit bissectrice de l’angleAM\0B (On trace un cercle passant parAetB et on prend le milieu d’un des arcs AB).
SoitM1 le centre du cercle inscrit au triangleAM0B. M1 est affecté du coefficient (a+b+c) 3 . En réitérant l’opération, on obtient une suite de points Mn situés sur l’intervalle ]M0M[ possédant les deux propriétés suivantes:
1) La distance M Mn est strictement décroissante. Elle tend donc vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
2) Le point Mn est affecté du coefficient 1
3n(3n−1
2 (a+b) +c) dont la limite est a+b
2 lorsque n tend vers l’infini.
En conclusion, tous les points de l’intervalle ouvert]AB[ont le même coefficient a+b 2 .
Etant donné un point quelconqueC n’appartenant pas au segmentAB, il est toujours possible de faire en sorte queCetM soient intérieurs à un segment quelconque, donc de faire en sorte queCet M aient le même coeficient.
1
