Diophante G2966 Une jolie maquette en bois de buis
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.
Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la
pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).
Réponse :
Soient S1 la somme des nombres de 1 à N et S2 celle de leurs carrés (N vaut 6 sur le dessin).
Sur les étages, il y a 2 x N x (N - 1) + 2 x (N - 1) x (N - 2) + ... + 2 x 2 x 1 = 2(S2 - S1) points de colle.
Entre deux étages, il y a 4 x {(N -1)2 + (N - 2)2 + ... + 12} = 4(S2 - N2) points de colle.
Au total, il y a 2(S2 - S1) + 4(S2 - N2) = - 2S1 + 6S2 - 4N2 = 2N2(N - 1) points de colle.
On obtient 30000 lorsque N vaut 25 (S1 = 325 et S2 = 5525).
Le poids total (boules et points de colle) est 0,013S2 + 1,175 = 73 kg.
Soit D le diamètre d'une boule (30 mm selon l'énoncé).
La hauteur de la pyramide est D/2 + √{(24D)2 - 2x(12D)2} + D/2 = (1 + 12√2)D ≈ 539 mm.
