G2966 – Une jolie maquette en bois de buis [** à la main]
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30mm et de poids 13 grammes.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Soit n , la taille de la pyramide ; sa base comporte alors n² boules
Toutes les boules , sauf le socle de n² boules , sont au contact de 4 boules du niveau inférieur . Donc autant de points de colle .
Ces points de contact sont au nombre de : P = 4 / 6 x n.(n - 1).(2n - 1) = 1/3 x (4n³ - 6n² + 2n) . Les contacts latéraux sont au nombre de : Q = 2 / 3 x n . (n - 1).(n + 1) = 2/3 x (n³ - n) .
P + Q = 2 x (n³ - n²) = 30 000 => n³ - n² - 15 000 = 0 => n = 25 La quantité de boules est donc : B = 1/6 x 25 x 26 x 51 = 5525
La masse totale de l'ensemble collé : M = 1175 g + 5525 x 13 g = 73 000 g ; soit 73 kg .
La hauteur de la pyramide : H = 24 x 15V2 + 30 = 539.117 mm
La hauteur de la maquette est alors égale à 360 2+ 30 = 539 mm.
Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).