G2966 - Une jolie maquette en bois de buis

(1)

Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces

triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes. Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.

Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).

En partant du haut, nous aurons donc des niveaux successifs de 1, 4, 9, ..., k

²

, ..., n

²

boules. Au k

^ième

niveau, il y a 2k(k-1) points de colle pour tenir les k

²

boules entre elles, et 4(k-1)

²

pour la liaison avec la couche au dessus, soit 2(k-1)(3k-2)=6k

²

-10k+4 par niveau, et donc n(n+1)(2n+1)-5n(n+1)+4n=2n

²

(n-1), qui vaut 30000 pour n=25. on a donc employé 1+4+...+n

²

=n(n+1)(2n+1)/6=5525 boules de 13 g soit 71,825 kg plus 1,175 kg de colle, soit 73 kg au total.

La pyramide élémentaire dont les sommets sont les centres de 5 boules de diamètre d=30 mm a pour hauteur d√2/2 : la hauteur de la maquette est donc ((n-1)√2/2+1)d soit (12√2+1)*30, légèrement supérieur à 539 mm.