mathsbdp.fr Révisions suites fiche 0 Tspé
Ex1. Vrai/Faux
Les suites sont définies pour tout entier naturel 𝑛.
a) La suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢𝑛 = 5 + 7𝑛 est arithmétique. VRAI b) La suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢𝑛 = 1 + 𝑛2 est arithmétique. FAUX c) La suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢𝑛 = 2𝑛 est géométrique. FAUX
d) Si 𝑢𝑛, 𝑢𝑛+1 𝑒𝑡 𝑢𝑛+2 sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors 𝑢𝑛 + 𝑢𝑛+2 = 2𝑢𝑛+1 VRAI
Ex2. QCM Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre choix.
1. La suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 non nul par 𝑢𝑛 = 2𝑛+1
𝑛 est :
a) arithmétique b) géométrique c) ni arithmétique, ni géométrique
2. La suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +2
3𝑢𝑛 est :
a) arithmétique b) géométrique c) ni arithmétique, ni géométrique
Ex3. Vrai/Faux
𝑢
𝑛+1− 𝑢
𝑛≥ 0 ⇔ la suite (𝑢
𝑛) est croissante.
𝑢
𝑛+1− 𝑢
𝑛≤ 0 ⇔ la suite (𝑢
𝑛) est décroissante.
a) La suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 2𝑛 − 3 est croissante.
1
èrefaçon : C’est une suite arithmétique de raison 𝑟 = 2 > 0 donc (𝑢
𝑛) est strictement croissante.
2
ièmefaçon :
𝑢
𝑛+1− 𝑢
𝑛= 2(𝑛 + 1) − 3 − (2𝑛 − 3)
= 2𝑛 + 2 − 3 − 2𝑛 + 3 = 2 > 0
donc (𝑢
𝑛) est strictement croissante.
b) La suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 non nul par 𝑢𝑛 = 1 −1
𝑛 est strictement croissante.
1
ièrefaçon : 𝑢
𝑛+1− 𝑢
𝑛= 1 −
1𝑛+1
− (1 −
1𝑛
) =
1𝑛
−
1𝑛+1
=
𝑛+1−𝑛
𝑛(𝑛+1)
=
1𝑛(𝑛+1)
> 0
donc la suite (𝑢
𝑛) est strictement croissante 2
ièmefaçon :
𝑢
𝑛= 𝑓(𝑛) avec 𝑓(𝑥) = 1 −
1𝑥
𝑓
′(𝑥) = 0 − (−
1𝑥2
) =
1𝑥2
> 0 sur ] 0 ; +∞ [ donc la suite (𝑢
𝑛) est strictement croissante
c) La suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 3𝑛−5
7 est non monotone.
(𝑢
𝑛) suite monotone ⇔ (𝑢𝑛) ne change pas de variation.
𝑢
𝑛=
3𝑛7
−
57
du type 𝑢
𝑛= 𝑢
0+ 𝑛𝑟 donc (𝑢
𝑛) arithmétique de raison 𝑟 =
37
> 0 donc la suite (𝑢
𝑛) est strictement croissante
donc la suite (𝑢
𝑛) est strictement monotone.
d) La suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 𝑛3 − 𝑛2 + 𝑛 est décroissante.
𝑢
𝑛= 𝑓(𝑛) avec 𝑓(𝑥) = 𝑥
3− 𝑥
2+ 𝑥 𝑓
′(𝑥) = 3𝑥
2− 2𝑥 + 1
signe de 𝑓′(𝑥)
∆= 𝑏
2− 4𝑎𝑐 = (−2)
2− 4 × 3 × 1 = −8 < 0 donc 3𝑥
2− 2𝑥 + 1 est du signe
de 𝑎 = 3 > 0 sur ℝ donc la fonction 𝑓 est strictement croissante sur [ 0 ; +∞ [
donc la suite (𝑢
𝑛) est strictement croissante
e) La suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 non nul par 𝑢0 = 1 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 = −2𝑢𝑛+ 5 est non monotone.
𝑢0 = 1 ; 𝑢1 = 3 ; 𝑢2 = −1
croissante de 𝑢0 à 𝑢1 et décroissante de 𝑢1 à 𝑢2 donc changement de variations donc la suite (𝑢𝑛) n’est pas monotone.
Ex4. Déterminer l’entier naturel 𝑛 tel que : 11 + 12 + ⋯ + 𝑛 = 12 665.
1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)
2 et 1 + 2 + ⋯ + 10 = 10×11
2 = 55 donc 11 + 12 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)
2 − 55 = 12665 donc 𝑛(𝑛+1)
2 = 12720 𝑛2+ 𝑛 − 25 440 = 0 on obtient 𝑛 = 159
