1 D´ efinition de la d´ erivabilit´ e.

Introduction.

Soit f :D_f ⊂R−→R. Soit x₀ ∈ D_f. On veut connaˆıtre la pente de la tangente au graphe de f en x₀ si elle existe.

Prenons a ”pr´es” de x₀. L’´equation de la droite D_a passant par a et x₀ est

y= f(a)−f(x₀)

a−x₀ (x−a) +f(a).

”En passant `a la limite” lorsque a tend vers x₀, on obtiendra l’´equation de la tangente enx₀. DESSIN

1 D´ efinition de la d´ erivabilit´ e.

D´efinition 1.1 Soit f :D_f ⊂R−→R. Soit x₀ ∈ D_f.

(i) On dit que f est d´erivable en x0 si ^f(a)−f(x_a−x0 ⁰⁾ admet une limite finie lorsque a tend vers x₀.

Si elle existe, cette limite est appel´ee d´eriv´ee de f en x₀ et not´ee f⁰(x₀) ou ^δf_δx(x₀).

(ii) On dit que f est d´erivable sur D_f si f est d´erivable en tout point de D_f.

Remarque 1.2 On peut aussi voir la d´eriv´ee, si elle existe comme la limite lorsque h tend vers 0 de

f(x₀+h)−f(x₀)

h .

Remarque 1.3 (interpr´etation g´eom´etrique)

Sif est d´erivable enx₀ de d´eriv´eef⁰(x₀)alors la courbe def a une tangenteT_x0 enx₀ d’´equation y=f⁰(x₀)(x−x₀) +f(x₀).

Si limx→x0

f(x)−f(x0)

x−x0 = +∞ alors la courbe de f admet une tangente verticale.

Fig. 1 – f⁰(x₀) = tan(a)

Exemples 1.4 1) Soit f :R−→R d´efinie par f(x) =x.

2) Soit f :R−→R d´efinie par f(x) =x². 3) Soit f :R−→R d´efinie par f(x) = ¹_x. 4) Soit f :R−→R d´efinie par f(x) =√

x.

5) Soit f :R−→R d´efinie par f(x) = sinx.

Proposition 1.5 Si f est d´erivable en x0 alors f est continue en x0. Preuve.

D’apr`es la d´efinition de la d´eriv´ee, on a, dans un intervalle-voisinage de x₀, f(x)−f(x₀) = f⁰(x₀).(x−x₀) + (x−x₀).²(x) avec lim_x→x0²(x) = 0.

Donc 0≤ |f(x)−f(x0)| ≤ |f⁰(x0)|.|x−x0|+|x−x0|.|²(x)|.

Donc, grˆace au th´eor`eme des gendarmes, la limite existe en x₀, donc f est continue en x₀. CQFD

Remarque 1.6 (exo.)

La r´eciproque est fausse. Par exemple la fonction d´efinie par f(x) = |x| est continue sur R mais pas d´erivable en 0.

Remarque 1.7 (voir d´emonstration ci-dessus)

Si f est d´erivable en x₀ alors sur un intervalle-voisinage de x₀, on a f(x) =f(x₀) +f⁰(x₀).(x−x₀) + (x−x₀).²(x) avec limx→x0²(x) = 0.

Si f⁰(x₀)6= 0 alors f⁰(x₀).(x−x₀) est un ´equivalent en x₀ de f(x)−f(x₀).

f(x) = f(x₀) +f⁰(x₀).(x−x₀) + (x−x₀).²(x) s’appelle le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 de f en x0.

f⁽ⁿ⁾(x) = n.(n−1)...(n−k+ 1).x^n−k sur R.

Donc f ∈ Cⁿ(R,R), ∀n∈N^∗. On dit que f ∈ C^∞(R,R)

2 D´ erivabilit´ e ` a gauche et d´ erivabilit´ e ` a droite.

D´efinition 2.1 Soient f :Df ⊂R−→R et x0 ∈ Df.

(i) On dit que la fonction f est d´erivable `a gauche en x₀ si : - f est d´efinie sur ]x₀−α, x₀] (α >0),

- lim_x→x⁻

0

f(x)−f(x0)

x−x0 existe.

Cette limite est alors not´ee f⁰(x⁻₀) ou f_g⁰(x₀) et appel´ee d´eriv´ee `a gauche de f en x<sub>0</sub>. (ii) On dit que la fonction f est d´erivable `a droite en x0 si :

- f est d´efinie sur ]x₀, x₀+α] (α >0), - lim_x→x⁺

0

f(x)−f(x0)

x−x0 existe.

Cette limite est alors not´ee f⁰(x⁺₀) ou f_d⁰(x0) et appel´ee d´eriv´ee `a droite de f en x0. Th´eor`eme 2.2 f est d´erivable enx₀ ssif est d´erivable `a gauche et `a droite en x₀ etf⁰(x⁻₀) = f⁰(x⁺₀).

Preuve.

Evident.

CQFD

Exemples 2.3

f : R −→ R x 7→

½ cosx si x≤0 x⁴+ 1 si x > 0 Cette fonction est-elle continue et d´erivable en 0?

Mˆeme question pour

f : R −→ R x 7→

½ cosx si x≤0 x+ 1 si x >0

3 Formules de d´ erivations.

Proposition 3.1 Soient f, g:D ⊂R−→R d´erivable en x₀ ∈ D alors : i) f+g est d´erivable en x₀ et (f +g)⁰(x₀) = f⁰(x₀) +g⁰(x₀),

ii) pour tout α∈R, α.f est d´erivable en x0 et (α.f)⁰(x0) =α.f⁰(x0), iii) f.g est d´erivable en x₀ et (f.g)⁰(x₀) = f⁰(x₀).g(x₀) +f(x₀).g⁰(x₀), iv) si g(x₀)6= 0, ^f_g est d´erivable et

(f

g)⁰(x₀) = f⁰(x₀).g(x₀)−f(x₀).g⁰(x₀) g(x0)² . Preuve.

Montrons par exemple iv) : On cherche la limite ´eventuelle de

f

g(x)−^f_g(x0)

x−x0 = ^f(x).g(x_g(x0).g(x).(x−x^{0)−f(x0).g(x)}0)

= ^{(f(x).g(x0)−f(x0}_g(x^{).g(x0))−(f(x0).g(x)−f(x0).g(x0))}

0).g(x).(x−x0)

= _g(x^g(x0)

0).g(x).^(f(x)−f_x−x^(x0))

0 −_g(x^f(x0)

0).g(x).^(g(x)−g(x_x−x ⁰⁾⁾

0 .

Or la limite lorsque x tend vers x₀ de cette derni`ere expression est clairement f⁰(x₀).g(x₀)−f(x₀).g⁰(x₀)

g(x₀)² .

CQFD

Proposition 3.2 Soient f : D_f ⊂ R −→ R d´erivable en x₀ ∈ D_f et g : D_g ⊂ R −→ R d´erivable en f(x₀)∈ D_g.

Alors (g◦f)⁰(x0) = f⁰(x0).g⁰◦f(x0).

Preuve.

g◦f(x)−g◦f(x0)

x−x0 = ^g◦f_f^{(x)−g◦f(x}_(x)−f(x0)⁰⁾.^f(x)−f_x−x0^(x0). D’o`u le r´esultat en passant `a la limite.

CQFD

Application 3.3 1) Montrer que (xⁿ)⁰ =n.xⁿ⁻¹. 2) En d´eduire que (f(x)ⁿ)⁰ =n.f(x)ⁿ⁻¹.f⁰(x).

Remarque 3.4 De fa¸con g´en´erale, pour α ∈R :

(f(x)^α)⁰ =α.f(x)^α−1.f⁰(x).

Proposition 4.1 Si f comme ci-dessus d´erivable sur I et si sa d´eriv´ee ne s’annule pas sur I alors f⁻¹ est d´erivable sur J et

(f⁻¹)⁰(x) = 1 f⁰(f⁻¹(x)). Preuve.

un peu trop rapide

Soient y=f(x)⇐⇒x=f⁻¹(y).

df(x) = f⁰(x)dx donc dy =f⁰(f⁻¹(y))df⁻¹(y) donc(f⁻¹)⁰(y)dy=df⁻¹(y) = dy f⁰(f⁻¹(y)). On en d´eduit (f⁻¹)⁰(y) = _f0(f⁻¹¹ (y))

CQFD

Exercice 4.2 Retrouver la d´eriv´ee de exp(.) en utilisant celle de ln(.) ou vice-versa.

5 Monotonie et extremum.

5.1 Fonctions monotones.

Soit I = [a, b],]a, b[,[a, b[ ou ]a, b].

Proposition 5.1 Soit f :I −→R continue sur I, d´erivable sur ]a, b[ alors i) f croissante sur I ⇐⇒ ∀x∈]a, b[, f⁰(x)≥0.

ii) f d´ecroissante sur I ⇐⇒ ∀x∈]a, b[, f⁰(x)≤0.

iii) f constante sur I ⇐⇒ ∀x∈]a, b[, f⁰(x) = 0.

iv)fstrictement croissante sur I ⇔ ∀x∈]a, b[,f⁰(x)>0.

v)fstrictement d´ecroissante surI⇔ ∀x∈]a, b[, f⁰(x)<0.

Preuve.

rapide

On a vu que si f est d´erivable enx₀ alors sur un intervalle-voisinage dex₀, on a f(x) =f(x₀) +f⁰(x₀).(x−x₀) + (x−x₀).²(x)

avec lim_x→x0²(x) = 0.

Donc, quitte `a r´eduire l’intervalle-voisinage, il est facile de montrer que si f⁰(x₀) > 0 alors f est croissante sur cet intervalle.

CQFD

5.2 Extremum d’une fonction d´ erivable.

D´efinition 5.2 Soit f :D ⊂ R−→R.

1) On dit que f admet un maximum local en x₀ ssi

∃α >0/∀x∈]x₀−α, x₀+α[∩D, f(x)≤f(x₀).

2) On dit que f admet un minimum local en x0 ssi

∃α >0/∀x∈]x₀−α, x₀+α[∩D, f(x)≥f(x₀).

3) On dit que f admet un maximum local strict en x0 ssi

∃α >0/∀x∈]x₀−α, x₀+α[∩D et x6=x₀, f(x)< f(x₀).

4) On dit que f admet un minimum local strict en x₀ ssi

∃α >0/∀x∈]x0−α, x0+α[∩D et x6=x0, f(x)> f(x0).

5) On dit que f admet un extremum local en x₀ si elle admet un minimum local ou un maximum local.

Exemples 5.3 i) sin admet un maximum local strict en ^π₂ + 2kπ,∀k ∈Z.

ii) f(x) = ^|x|_x d´efinie sur R^∗ admet un minimum local en x, ∀x <0 et un maximum local en x,

∀x >0.

Th´eor`eme 5.4 Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert de R, x₀ ∈ R. Soit f : I −→ R d´erivable alors

f admet un extremum en x₀ =⇒f⁰(x₀) = 0.

Remarque 5.5 LA R ´ECIPROQUE EST FAUSSE.

ex. f(x) = x³ a une d´eriv´ee nulle en 0 mais n’admet pas d’extremum.

Soit f d´efinie sur [-3, 25] par f(x) =x −18x + 33x.

1) D´eterminer les extremas locaux de f. 2)En d´eduire les extremas globaux.