ANALYSE 6 (

ANALYSE 6

(Calcul intégral et formes diérentielles) SMA4, 2014-2017, 2018-2019

A. Lesfari

Département de Mathématiques Faculté des Sciences

Université Chouaïb Doukkali B.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr

Site Web : http://lesfari.com

grale dépendant d'un paramètre (continuité et dérivabilité), inté- grales multiples, intégrale d'une fonction sur un pavé, théorème de Fubini et applications, intégrales doubles et triples et changement de variables, applications aux calculs des surfaces et des volumes, formes diérentielles de degré 1, 2 dans R² et R³, formes exactes et fermées, théorème de Poincaré, intégrales curvilignes, longueur d'un arc, intégrale sur un chemin, formule de Green-Riemann, fonction holomorphe, formule de Cauchy, théorème de résidus, calcul d'in- tégrale par la méthode des résidus. Si le temps le permet, d'autres notions complémentaires seront données.

Table des matières

1 Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre 3

1.1 Intégrales dénies . . . 3

1.2 Intégrales généralisées . . . 4

1.3 Exercices . . . 11

2 Intégrales multiples 14 2.1 Réduction des intégrales multiples (FUBINI) . . . 14

2.1.1 D est un pavé de Rⁿ . . . 14

2.1.2 D est un borné (fermé) quelconque de Rⁿ . . . 17

2.2 Changements de variables dans les intégrales multiples . . . 20

2.3 Exercices . . . 24

3 Formes diérentielles, intégrales curvilignes 27 3.1 Généralités . . . 27

3.2 Produit extérieur . . . 30

3.3 Diérentielle extérieure . . . 32

3.4 Formes fermées et formes exactes . . . 35

3.5 Transformée ou transposée des formes diérentielles . . . 40

3.6 Formules de Green-Riemann, Stokes-Ampère et Gauss-Ostrogradski 41 3.7 Exercices . . . 42

4 Calcul d'intégrales par la méthode des résidus 45 4.1 Généralités . . . 45

4.2 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques . . . 50

4.3 Intégration des fonctions holomorphes, théorèmes de Cauchy . . 52

4.4 Séries de Laurent, points singuliers . . . 58

4.5 Fonctions méromorphes, théorème des résidus . . . 61

4.6 Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales . . . 62

4.7 Exercices . . . 70

2

Chapitre 1

Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre

Ce chapitre concerne l'étude des intégrales généralisées dépendant d'un paramètre.

1.1 Intégrales dénies

Soit f :I×[u, v]−→R, une fonction intégrable par rapport à t∈[u, v]où I ⊂R est un intervalle etu, v sont des fonctions de x ou des constantes. Soit F :I −→R, dénie par

F(x) = Z v

u

f(x, t)dt.

Proposition 1 Si f est continue sur I ×[u, v] et si u, v sont continues sur [α, β], alors la fonction F est continue sur I.

Proposition 2 (Formule de Leibniz). Siu, v sont dérivables surI et si f, ^∂f_∂x sont continues sur I×[u, v], alors la fonction F est de classe C¹ sur I et on a

F⁰(x) = f(x, v)v⁰(x)−f(x, u)u⁰(x) + Z v

u

∂f

∂x(x, t)dt.

Proposition 3 (Formule de Fubini). Sif est continue surI×[u, v],I = [α, β], alors

Z β α

F(x)dx= Z β

α

Z v u

f(x, t)dt

dx= Z v

u

Z β α

f(x, t)dx

dt.

(voir chapitre 2).

3

1.2 Intégrales généralisées

Soit (x, t)7−→f(x, t) une fonction dénie surI×[a, b[, b ni ou inni. On considère le cas b= +∞, c'est-à-dire, les intégrales généralisées de la forme

Z +∞

a

f(x, t)dt, dépendant d'un paramètrex∈I.

Les résultas suivants sont valables aussi pour les autres intégrales générali- sées de la forme

Z b a

f(x, t)dt, dépendant d'un paramètre x∈I.

Dénition 4 On dit que l'intégrale généralisée Z +∞

a

f(x, t)dt converge pour x∈I si et seulement si la limite

u→+∞lim Z u

a

f(x, t)dt,

existe. Autrement dit,

∀x∈I,∀ε >0,∃A(ε, x) :∀u≥A(ε, x) =⇒

Z u a

f(x, t)dt−F(x)

≤ε

(A(ε, x) dépend en général de ε et x).

Dénition 5 On dit que l'intégrale généralisée Z +∞

a

f(x, t)dt converge abso- lument sur I si et seulement si Z +∞

a

|f(x, t)|dt converge sur I.

Les questions que l'on rencontre lors de l'étude des suites et séries de fonc- tions concernant la continuité, la dérivabilité et l'intégration, se posent aussi aux intégrales généralisées dépendant d'un paramètre. En l'absence d'hypo- thèses supplémentaires, les trois propositions précédentes ne sont plus valables pour le cas de ces intégrales. Par exemple, la fonction dénie par

F(x) = Z +∞

0

xe^−xtdt, x∈[0,1], t≥0 n'est pas continue sur[0,1]car

F(x) =

1 si x >0 0 si x= 0

et pourtant la fonctionf(x, t) =xe^−xt est continue pour x∈[0,1]. Nous allons introduire la notion de convergence uniforme.

Dénition 6 On dit que l'intégrale généralisée Z +∞

a

f(x, t)dt converge uni- formément surI si et seulement si

∀ε >0,∃A(ε) :∀u≥A(ε),∀x∈I =⇒

Z u a

f(x, t)dt−F(x)

≤ε

(A(ε) ne dépend pas de x).

Notons que

Z u a

f(x, t)dt−F(x)

=

Z +∞

u

f(x, t)dt .

Théorème 7 (Critère de Cauchy). L'intégrale généraliséeZ +∞

a

f(x, t)dtconverge uniformément sur I si et seulement si

∀ε >0,∃A(ε) :∀u > v ≥A(ε),∀x∈I =⇒

Z u v

f(x, t)dt

≤ε

Théorème 8 Si f est continue sur I ×[a,+∞[ et si l'intégrale généralisée Z +∞

a

f(x, t)dt converge uniformément sur I vers F(x), alors F est continue sur I.

Théorème 9 Supposons quef et ^∂f_∂x sont continues surI×[a,+∞[. S'il existe x₀ ∈ I tel que

Z +∞

a

f(x₀, t)dt converge et si Z +∞

a

∂f

∂x(x, t)dt converge unifor- mément sur I, alors F(x) =

Z +∞

a

f(x, t)dt converge uniformément sur I et elle est de classe C¹ sur I. En outre, on a

F⁰(x) = Z +∞

a

∂f

∂x(x, t)dt.

Théorème 10 Si f est continue sur I×[a,+∞[ et si l'intégrale généralisée Z +∞

a

f(x, t)dt converge uniformément sur I = [α, β] vers F(x), alors Z β

α

F(x)dx= Z β

α

Z +∞

a

f(x, t)dt

dx= Z +∞

a

Z β α

f(x, t)dx

dt.

Théorème 11 S'il existe une fonction positive ϕ(t), intégrable sur [a, u], u≥ a, telle que :

|f(x, t)| ≤ϕ(t), ∀x∈I et siZ +∞

a

ϕ(t)dt converge, alors l'intégraleZ +∞

a

f(x, t)dtconverge absolument et uniformément sur I.

Exemple 12 L'intégrale généraliséeZ +∞

1

costx

t² dtconverge absolument et uni- formément car

costx t²

≤ 1 t²,

et Z +∞

1

dt

t² converge

Le critère d'Abel-Dirichlet s'énonce comme suit,

Théorème 13 Soientf, g:I×[a,+∞[−→R, deux fonctions satisfaisant aux conditions suivantes :

(i) pour tout x ∈ I, la fonction t 7−→ f(x, t) est positive, décroissante et limt→+∞f(x, t) = 0 uniformément sur I.

(ii) pour tout x∈I, la fonctiont 7−→g(x, t)est intégrable sur [a, u], u≥a et il existe une constante C (indépendante de u et de x) telle que,

Z u a

g(x, t)

≤C, ∀u≥a

Alors l'intégrale Z +∞

a

f(x, t)g(x, t)dt converge absolument et uniformément sur I.

Théorème 14 (de convergence dominée). Soit(f_k) une suite de fonctions de I dans R, continues par morceaux sur I et convergeant simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux. S'il existe une fonction g : I −→ R+

continue par morceaux sur I telle que :

∀k ∈N, |f_k(x)| ≤g(x), (hypothèse de domination) alors f est intégrable sur I et

k→∞lim Z

f_k(x)dx= Z

k→∞limf_k(x)dx= Z

f(x)dx.

Théorème 15 Soit (f_k) une suite de fonctions de I dans R, continues par morceaux, intégrables surI et telle que la série P

f_k converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux. Si la série P R

I|f_k| converge, alors f est intégrable sur I et

Z

I

Xf_k =XZ

I

f_k = Z

I

f_k.

Théorème 16 (de convergence dominée de Lebesgue). Soit (fk) une suite de fonctions sommables. Si (f_k) converge simplement presque partout vers une fonction f et s'il existe une fonction sommable g telle que :

|f_k(x)| ≤g(x), presque partout, alorsf(x) est sommable et

k→∞lim Z

f_k(x)dx= Z

k→∞limf_k(x)dx= Z

f(x)dx.

Pour des notions sur les fonctions sommables, voir le complément (facultatif) ci-dessous :

Compléments : on a rassemblé ici quelques notions sommaires sur la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue.

Dénition 17 SoitΩun ensemble. Une classeA de parties deΩ est dite une tribu (ouσ-algèbre de Boole) surΩ si les conditions suivantes sont satisfaites :i) Ω∈ A, ii) ∀A∈ A, A^c∈ A, iii)siA₁, A₂, . . . est une innité dénombrable de parties de A, alors S∞

i=1A_i∈ A.

Exemple 18 L'ensemble{∅,Ω}est une tribu (dite triviale) de Ω. L'ensembleP(Ω) des parties deΩ, est une tribu (dite grossière) deΩ. L'ensemble{∅,N,{1,2},{3,4, . . .}}

est une tribu surN. Par contre, l'ensembleA={A:A⊆N etA ni} n'est pas une tribu sur Ncar N∈ A/ .

Dénition 19 SoientΩun ensemble etB ⊆ P(Ω)un ensemble de parties deΩ. On appelle tribuτ(B)engendrée parB, la plus petite tribu contenantB, c'est-à-direτ(B) est une tribu telle que :B ⊆τ(B)et pour toute autre tribuAcontenantB,τ(B)⊆ A. Exemple 20 Soient A et B deux sous-ensembles de Ω. On a

τ({A}) = {∅, Ω, A, A^c},

τ({A, B}) = {∅,Ω, A, B, A^c, B^c, A∪B, A^c∪B, A∪B^c, A^c∪B^c, A∩B, A^c∩B, A∩B^c, A^c∩B^c, (A∪B)∩(A^c∪B^c),(A∩B)∪(A^c∩B^c)}.

Dénition 21 SoitΩ =RetBla tribu de parties deRengendrée par les intervalles de la forme]− ∞, a], a∈R. On dit que Best la tribu borélienne (ou tribu de Borel) deR et ses éléments sont appelés les boréliens de R.

Remarque 22 La tribu borélienne deRcontient tous les intervalles et tous les points de R. La tribu borélienne de Rⁿ est la tribu engendrée par les parties de Rⁿ de la forme]− ∞, a₁]× · · · ×]− ∞, a_n], où a₁, . . . , a_n∈R.

Dénition 23 a) Soit Ω un ensemble muni d'une tribu B. On dit qu'une fonction µ:B →Rest une mesure dénie surBsi∃B ∈ Btel que :µ(B)<∞et siB1, B2, . . . est une innité dénombrable de parties disjointes de B, alors

µ

∞

[

i=1

B_i

!

=

∞

X

i=1

µ(B_i),

c'est-à-direµ est dénombrablement ou complètement additive.

b) Un ensemble E⊂Ω est dit mesurable lorsque E∈ B.

c) Une mesure dénie sur B est dite positive si, ∀B ∈ B, µ(B)≥0.

Exemple 24 µ(∅) = 0. Mesure de Lebesgue : µ(]a, b]) = b−a=longueur de ]a, b]. µ(]a, b]×]c, d]) = (b−a) (d−c)=aire de]a, b]×]c, d]. Mesure de Dirac au point a: µ(A) = 1 si a∈A et = 0 si a /∈A

Dénition 25 Soient Ω1 et Ω2 deux ensembles munis respectivement des tribus B₁ etB₂. On dit qu'une fonctionf : Ω₁ →Ω₂ est mesurable si,∀B₂∈ B₂,f⁻¹(B₂)∈ B₁.

On trouvera dans la littérature d'autres dénitions,

a) Une partie E ⊆R est dite de mesure nulle si pour tout ε > 0, il existe une suite(I_k) d'intervalles de longueurl_k telle que :

E ⊆

∞

[

k=0

Ik,

∞

X

k=0

lk≤ε.

b) La locution presque partout (en abrégé p.p.) signie sauf sur un ensemble de mesure nulle.

c)SoitI un intervalle deR. Une fonctionf :I →Rest dite mesurable s'il existe une suite(ϕ_k)de fonctions en escalier surIqui converge simplement presque partout versf surI.

Toutes les fonctions que l'on rencontre en pratique sont mesurables.

Avant de dénir l'intégrale au sens de Lebesgue, rappelons briévement ce qu'est l'intégrale au sens de Riemann. Soit f une fonction réelle bornée dénie sur un intervalle [a, b]. Pour dénir l'intégrale au sens de Riemann, notée Rb

af(x)dx, on considère une subdivision de[a, b]en un nombre ni de points tels que : a =α0 <

α₁ < . . . < α_k =b,et on écrit Z b

a

f(x)dx= lim

k→∞

k

X

i=1

(αi+1−αi)f(ξi), αi ≤ξi ≤αi+1,

ce qui représente l'aire comprise entre le graphe defet l'axeox. Pour qu'une fonction bornée soit intégrable au sens de Riemann, il faut et il sut que l'ensemble des points de discontinuités def soit de mesure nulle.

L'idée principale de la construction de l'intégrale de Lebesgue, réside dans le fait de considérer une subdivision du domaine des valeurs def (et non du domaine [a, b]de f, comme dans le cas de Riemann). Soitf une fonction mesurable réelle et positive. Soit [m, M]un intervalle sur l'axe oy tel que : Imf ⊂[c, d] et considérons une subdivision de [c, d] en un nombre ni de valeurs distinctes y_k. Posons E_i = {x ∈ [a, b] : y_i ≤ f(x) ≤ y_i+1} = f⁻¹([y_i, y_i+1]), et µ(E_i) = mesure de E_i. C'est la longueur usuelle de Ei si Ei est un intervalle ou une réunion nie d'intervalles disjoints.

Dénition 26 a) L'intégrale de Lebesgue R

f dµ (µ étant la mesure de Lebesgue) est la limite commune des sommesPk

i=1y_iµ(E_i) etPk

i=1y_i+1µ(E_i). Autrement dit, l'expression Pk

i=1η_iµ(E_i), ∀η_i ∈ [y_i, y_i+1[, représente une approximation de l'aire comprise entre le graphe de f et l'axe ox.

b) On dit qu'une fonctionf est intégrable au sens de Lebesgue ou sommable si et seulement sif est mesurable et R

|f|dµ est ni.

Une autre façon de dénir l'intégrale au sens de Lebesgue, consiste à introduire la notion de fonction positivement intégrable. SoitI un intervalle deRetf :I −→R une fonction.

a)On dit que f est positivement intégrable, s'il existe une suite croissante (ϕ_k) de fonctions en escalier surI qui converge simplement versf presque partout surI et telle que lim

k→∞

R

Iϕk existe.

b) La fonction f est dite intégrable au sens de Lebesgue ou sommable sur I, si elle est la diérence de deux fonctionsf₁ et f₂ positivement intégrables c'est-à-dire sif =f1−f2.

c) L'intégrale de Lebesgue de f surI estR

If =R

If₁−R

If₂.

d) Si f = f₁ −f₂ = g₁ −g₂ avec f₁, f₂, g₁, g₂ positivement intégrables sur I, alorsR

If1−R

If2=R

Ig1−R

Ig2. Autrement dit, l'intégraleR

If est indépendante du mode de représentation de la fonctionf par une diérence de fonctions positivement intégrables.

e) Si deux suites croissantes (ϕk) et (ψk) de fonctions en escalier vérient les conditions de la dénition précédente (voir fonction positivement intégrable) pour une même fonctionf, alors lim

k→∞

R

Iϕ_k= lim

k→∞

R

Iψ_k.Autrement dit, la limite lim

k→∞

R

Iϕ_k qui intervient dans la dénition de fonction positivement intégrable, ne dépend pas du choix de la suite(ϕ_k).

f)Le nombre lim

k→∞

R

Iϕ_k, est appelé l'intégrale de Lebesgue def surI et est noté R

If.

Toute fonction intégrable au sens de Riemann est intégrable au sens de Lebesgue et les deux intégrales sont égales. L'intégrale de Lebesgue généralise celle de Riemann puisqu'elle permet d'intégrer des fonctions qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann dès que les discontinuités ne forment pas un ensemble de mesure nulle.

Exemple 27 La fonction de Dirichletf(x) = 1sixest rationnel et= 0 sinon, n'est pas intégrable au sens de Riemann (elle est discontinue en tout point), par contre, elle est intégrable au sens de Lebesgue et son intégrale est nulle.

Remarques importantes pour les applications : a) Une condition susante, très utilisée, pour montrer qu'une fonction est sommable est la suivante : une fonctionf n'ayant qu'un nombre ni de points de discontinuité est sommable si et seulement si

|f|est intégrable au sens de Riemann.

b) Dans la pratique, pour prouver qu'une fonction est sommable, il sut de montrer qu'elle est majorée en module par une fonction positive dont l'intégrale est convergente. Lorsque l'intégrale est prise au sens de Lebesgue, il ne s'agit pas d'intégrales généralisée car il y a convergence absolue.

Dénition 28 Soit Ω un ouvert de Rⁿ. On note L¹(Ω) ou plus simplement L¹, l'espace vectoriel (sur R ou C) des fonctions sommables sur Ω. L'espace L¹(Ω) ou L¹ est, par dénition, le quotient de L¹ par la relation d'équivalence égalité presque partout.

Remarques 29 a) Pour montrer que f ∈ L¹ , il sut de vérier que l'intégrale R

Ω|f(x)|dx existe. De même, pour montrer que f ∈ L², il sut de vérier que R

Ω|f(x)|²dxexiste. Rappelons que sif est réelle,|f(x)|² =f²(x)et sif est complexe,

|f(x)|² =f(x)f(x).

b) Deux fonctions égales presque partout seront considérées comme égales. Et conformément à l'usage, on confondra d'une partL¹ etL¹ et de l'autre L² etL². Exemple 30 La fonctionf :]0,1]−→R,x7−→ ^√1

x, appartient àL¹ mais pas à L². Par contre la fonctiong:]1,∞[−→R, x7−→ _x¹, appartient à L² mais pas àL¹.

Propriétés :a) Sif, g∈L¹,α, β∈C, alors αf+βg∈L¹ et Z

(αf+βg)dx=α Z

f dx+β Z

gdx.

b) Pour qu'une fonctionf ∈L¹, il faut et il sut que |f| ∈L¹. En outre

Z

f dx

≤ Z

|f|dx.

c)Sif est mesurable et s'il existe une fonction positiveg∈L¹telle que :|f(x)| ≤ g(x)presque partout, alors f ∈L¹.

d) Sif(x) ≥0 est mesurable, alors R

f dx= 0 si et seulement si f = 0 presque partout.

e) Sif ∈L¹ etf =g presque partout, alors g∈L¹ etR

f dx=R gdx. f)La quantité kfk=R

Ω|f(x)|dx, est une norme surL¹(Ω). g) La quantité kfk=

qR

Ω|f(x)|²dx, est une norme surL²(Ω). h) Inégalité de Schwarz : Si f, g∈L², alors

Z

Ω

f(x)g(x)dx

2

≤ Z

Ω

|f(x)|²dx Z

Ω

|g(x)|²dx.

1.3 Exercices

Exercice 1.3.1 On considère la fonction F dénie par F(x) =R+∞

0 e^−xt2dt. a) Montrer que F est continue pour x≥a >0.

b) Montrer que F(x) = ¹₂p_π

x.

c) En déduire la valeur de l'intégrale R+∞

0 t^2ke^−xt2dt,k∈N^∗, x≥a >0. Exercice 1.3.2 Soitx7−→F(x) =R+∞

0

e^−xt (1+t)√

tdt.

a) Montrer que F est dénie sur [0,+∞[.

b) Montrer que l'intégrale ci-dessus converge uniformément sur [a,+∞[, a > 0 et que la fonctionF est de classeC¹ sur ]0,+∞[.

b) Montrer queF vérie une équation diérentielle du premier ordre avec second membre et déterminerF sous une autre forme intégrale.

Exercice 1.3.3 Soit l'intégrale F(x) =R+∞

0 f(x, t)dt où f(x, t) =

1 sit= 0 e^−xtsint_t sit >0

a) Etudier la convergence uniforme de cette intégrale et montrer queF est déri- vable pourx >0.

b) Montrer que F vérie une équation diérentielle du premier ordre qu'on pré- cisera.

c) Déterminer explicitementF(x).

d) Calculer lim_x→0+F(x) et en déduire que R+∞

0 sint

t dt= ^π₂.

Exercice 1.3.4 a) En utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue, montrer que :

k→∞lim Z _k

0

1−x

k k

lnxdx= Z ∞

0

e^−xlnxdx.

b) Montrer que : Z k

0

1−x

k k

lnxdx= k k+ 1



lnk−

k+1

X

j=1

1 jdt



. c) En déduire que :

Z ∞ 0

e^−xlnxdx=−γ, oùγ = limk→∞

Pk j=11

jdt−lnk

= 0,57721..., est la constante d'Euler.

Exercice 1.3.5 Déterminer un équivalent, au voisinage de +∞, de la fonction F dénie parF(x) =Rx

e ln(lnt)dt.

Exercice 1.3.6 1) Montrer que la fonction dénie par f(x) =sinx

x^α , α∈R^∗+

est sommable sur [0,1]pour 0< α <2 et sur[1,∞[pour α >1.

2) Soit f : R+ −→ R (ou C), une fonction localement sommable (c-à-d., in- tégrable sur tout intervalle borné). On appelle transformée de Laplace de f(x) la fonction de la variable complexep=σ+iω dénie par

F(p) = Z ∞

0

f(x)e^−pxdx.

a) Montrer que si cette intégrale converge pour Re p=σ₀, alors il en est de même pour toutp tel que : Re p≥σ0.

b) Que peut-on dire si l'intégrale ci-dessus diverge pour Re p=σ0? Exercice 1.3.7 On appelle fonction gamma d'Euler la fonction dénie par

Γ(x) = Z +∞

0

e^−tt^x−1dt.

a) Montrer que Γ est dénie sur]0,+∞[.

b) Montrer que cette intégrale converge uniformément sur l'intervalle [a, b] où 0< a < b <+∞.

c) En déduire queΓ est continue sur ]0,+∞[. d) Montrer que Γ est de classeC^∞ sur ]0,+∞[avec

Γ^(k)(x) = Z +∞

0

e^−t(lnt)^kt^x−1dt.

e) Montrer que : ∀x >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x). f) En déduire que :∀k∈N^∗, Γ(k+ 1) =k!. g) Montrer que pour toutk∈N, on a

Γ

k+1 2

= (2k)!

2^2kk!

√π, Γ

−k+ 1 2

= (−1)^k2^2kk!

(2k)!

√π.

Exercice 1.3.8 SoitΓ(x) la fonction gamma d'Euler (voir exercice 8.3.13).

a) Montrer que Γ est convexe.

b) Montrer que Γ⁰ s'annule une et une seule fois en un pointα∈]1,2[. c) Montrer que : lim_x→0+xΓ(x) = 1 et

x→0lim⁺Γ(x) = lim

x→+∞Γ(x) = +∞.

d) Calculer limx→+∞Γ(x)

x et interpréter le résultat obtenu.

e) Montrer que l'on peut dénir la fonctionΓ(x) pour des valeurs négatives dex et qu'elle agit comme un prolongement de la fonction factorielle.

f) Esquisser une représentation graphique de la fonctionΓ(x).

Exercice 1.3.9 a) Montrer que Γ(x) =

Z +∞

0

e^−tt^x−1dt= lim

k→+∞

Z k 0

1− t

k k

t^x−1dt, x >0 oùΓ est la fonction gamma étudiée dans l'exercice précédent.

b) Montrer que

Γ(x) = lim

k→+∞

k^x.k!

x(x+ 1)...(x+k), x >0 c) En déduire la formule de Weierstrass :

1

Γ(x) =xe^γx

∞

Y

k=1

1 +x

k

e^−xk, x >0 oùγ = limk→∞

Pk l=1

1 l −lnk

= 0,57721..., est la constante d'Euler.

Exercice 1.3.10 On dénit la fonction bêta d'Euler par B(p, q) =

Z ₁

0

x^p−1(1−x)^q−1dx.

Montrer que cette intégrale converge pourp∈]0,+∞[et q∈]0,+∞[.

Chapitre 2

Intégrales multiples

2.1 Réduction des intégrales multiples (FUBINI)

Considérons une fonction continue

f :D⊂Rⁿ−→R, (x1, ..., xn)7−→f(x1, ..., xn), oùD est un pavé deRⁿ ou un borné (fermé) quelconque deRⁿ.

2.1.1 D est un pavé de R

Considérons d'abord le casn= 2. L'ensemble

D= [a, b]×[c, d] ={(x, y)∈R²:a≤x≤b, c≤y≤d}, (a, b, c, d∈R), est un rectangle.

Considérons les fonctions dénies par

f : [a, b]×[c, d]−→R, (x, y)7−→f(x, y), g : [a, b]−→R, x7−→g(x) =

Z d c

f(x, y)dy, h : [c, d]−→R, y7−→h(y) =

Z d c

f(x, y)dx.

Proposition 31 Sif(x, y) est continue sur D, alors (i) g(x) est continue sur [a, b].

(ii) h(y) est continue sur [c, d].

Théorème 32 (Fubini). Sif(x, y) est continue sur D, alors (∗)

Z b a

Z d c

f(x, y)dy

dx= Z d

c

Z b a

f(x, y)dx

dy.

14

Dénition 33 Dans le théorème précédent, le nombre (∗) s'appelle intégrale double def sur Det on note R

Df, R R

Df ou R R

Df(x, y)dxdy. On peut par convention écrire

Z b a

dx Z d

c

f(x, y)dy pour Z b

a

Z d c

f(x, y)dy

dx,

et Z d

c

dy Z b

a

f(x, y)dx pour Z d c

Z b a

f(x, y)dx

dy.

Exemple 34 Calculons l'intégrale R R

Df(x, y)dxdy où f(x, y) = 2x+ 3y² et D = [1,3]×[1,2]. On a

Z ₃

1

Z 2 1

(2x+ 3y²)dy

dx= Z ₃

1

(2x+ 7)dx= 22.

De même, on a Z 2

1

Z 3 1

(2x+ 3y²)dx

dy= Z 2

1

(8 + 6y²)dx= 22.

D'après cet exemple, on voit bien que l'ordre dans lequel on eectue les intgrations n'a pas d'importance mais dans certains cas, un ordre d'intégration sera plus avantageux que l'autre. Par exemple, si

f(x, y) = cos(x−e^y), D= [0,2π]×[1,2], il est plus dicile d'utiliser la formule

Z Z

D

f(x, y)dxdy = Z 2π

0

Z 2 1

cos(x−e^y)dy

dx, car il n'est pas facile de calculer l'intégrale R2

1 cos(x−e^y)dy. On a donc intérêt à utiliser l'autre formule, c-à-d.,

Z 2 1

Z 2π 0

cos(x−e^y)dx

dy= Z 2

1

(sin(2π−e^y) + sine^y)dy= 0.

Interprétation géométrique : On suppose que f(x, y)≥0,∀(x, y)∈D⊂R². On a

Z Z

D

f =volume (dansR³) de l'ensemble{(x, y, z) : (x, y)∈D,0≤z≤f(x, y)}.

En particulier, sif(x, y) = 1, alors Z Z

D

1dxdy = volume d'un ensemble dont la base est D et la hauteur 1,

= aire de D,

= base × hauteur.

(Si f est négative sur D, R R

Df sera négative, sa valeur absolue représentera le volume de l'ensemble{(x, y, z) : (x, y)∈D, f(x, y)≤z≤0}).

Propriété 35 Si f et g sont continues sur D et si α, β ∈ R, alors αf +βg et continue surD et

Z Z

D

(αf+βg) =α Z Z

D

f+β Z Z

D

g.

Propriété 36 Si f est continue sur D, alors |f|et continue sur D et

Z Z

D

f

≤ Z Z

D

|f|.

Propriété 37 Si f est continue sur D et si f ≥0, alors Z Z

D

f ≥0, Z Z

D

f = 0⇐⇒f = 0.

Propriété 38 Si f et g sont continues surD, alors f ≤g=⇒

Z Z

D

f ≤ Z Z

D

g.

Théorème 39 (de la moyenne). Sif :D−→R est une fonction continue, alors il existe (x₀, y₀)∈D tel que :

Z Z

D

f(x, y)dxdy=f(x0, y0) Aire(D).

Pour n= 3,D = [a1, b1]×[a2, b2]×[a3, b3],(ai, bi ∈ R, ai < bi,1 ≤i≤ 3), on parle dans ce cas d'intégrale triple et le théorème de Fubini fournit

Z Z Z

D

f(x, y, z)dxdydz=



















− succession d'une intégrale double et d'une intégrale simple.

− succession d'une intégrale simple et d'une intégrale double.

− succession de trois intégrales simples (réduction complète).

Pourn >3,D= [a₁, b₁]×[a₂, b₂]×...×[a_n, b_n],(a_i, b_i ∈R,a_i < b_i,1≤i≤n), le théorème de Fubini fournit, parmi d'autres, les formules de réduction complète :

Z

D

f =

Z b1

a1

Z b2

a2

...

Z bn

an

f(x₁, x₂, ..., x_n)dx_n

...dx₂

dx₁,

= Z bn

an

Z bn−1

an−1

...

Z b1

a1

f(x1, ..., xn−1, xn)dxn

...dxn−1

! dxn.

Pourn=k+l, avecD=I×J ⊂R^k×R^l=Rⁿ oùI est un pavé deR^k etJ est un pavé deR^l, le théorème de Fubini fournit,

Z

D

f =

Z

I

Z

J

f(x, y)dy

dx,

= Z

J

Z

I

f(x, y)dx

dy, x∈I, y∈J et plus particulièrement, sif(x, y) =g(x)h(y), alors

Z

D

f = Z

I

g(x)dx Z

J

h(y)dy

.

2.1.2 D est un borné (fermé) quelconque de R

Considérons d'abord le casn= 2. Soitf :D⊂R² −→R une fonction oùD est un borné (par exemple une courbe fermée dansR²). Rappelons queD est un borné s'il existe un rectangleP = [a, b]×[c, d]tel que : D⊂P.

Soitfe:P −→R, le prolongement def déni par fe(x, y) =

f(x, y), ∀(x, y)∈D 0, ∀(x, y)∈P\D.

Si feest bornée et Aire {(x, y) :fe(x, y)discontinue} = 0, alors feest intégrable surP. Dès lors, feest intégrable sur P si f est continue sur D et si Aire (frD)= 0 (car les seuls points oùfepeut être discontinue doivent appartenir à la frontière fr D deD.

Par dénition, on a

Z Z

D

f = Z Z

P

f ,e avecfeintégrable sur P. Soitαi, βj ∈∆ij où

∆_ij = max

0≤i,j≤k−1

q

(x_i+1−x_i)²+ (y_j+1−y_j)², [x_i, x_i+1]×[y_j, y_j+1]⊂P.

On a

Z Z

D

= lim

∆ij−→0 k−1

X

i,j=0

f(αi, βj)(xi+1−xi)(yj+1−yj).

1er cas : on considère l'ensemble

D={(x, y)∈R² :a≤x≤b, g₁(x)≤y≤g₂(x)},

où g₁, g₂ : [a, b] −→ R, sont deux fonctions continues telles que : g₁ ≤g₂. Dans ce cas le théorème de Fubini fournit,

Z Z

D

f = Z b

a

Z g2(x) g1(x)

f(x, y)dy

! dx.

2ème cas : on considère l'ensemble

D={(x, y)∈R² :c≤y≤d, h₁(y)≤x≤h₂(y)},

où h1, h2 : [c, d]−→ R, sont deux fonctions continues telles que : h1 ≤h2. Dans ce cas le théorème de Fubini fournit,

Z Z

D

f = Z d

c

Z h2(y) h1(y)

f(x, y)dx

! dy.

3ème cas : on considère un ensemble combinant les deux cas précédents. Dans ce cas le théorème de Fubini fournit,

Z Z

D

f =

Z b a

Z g2(x) g1(x)

f(x, y)dy

! dx,

= Z d

c

Z h2(y) h1(y)

f(x, y)dx

! dy.

Exercice 2.1.1 CalculonsR R

Df(x, y)dxdy, où f(x, y) = (1−x²)^3/2, et

D={(x, y)∈R² : 0≤x≤1,0≤y≤p

1−x²}.

En utilisant le1er cas, c-à-d.,a= 0, b= 1, g1(x) = 0, g2(x) =√

1−x², on obtient Z Z

D

f(x, y)dxdy= Z 1

0

Z

√1−x²

0

(1−x²)^3/2dy

! dx=

Z 1 0

(1−x²)²dx= 8 15. Si on utilise le 2ème cas, c-à-d., c = 0, d = 1, h1(y) = 0, h2(y) = p

1−y², on obtient

Z Z

D

f(x, y)dxdy = Z 1

0

Z

√

1−y² 0

(1−x²)^3/2dx

! dy,

ce qui montre que dans cet exemple, il est avantageux d'intégrer d'abord par rapport à y, puis par rapport à x, c-à-d., d'utiliser le 1er cas.

Exercice 2.1.2 CalculonsR R

Df(x, y)dxdy, où f(x, y) =xy, et

D={(x, y)∈R² : 0< x < y <2x, x²+y²>4, xy <4}.

Notons que :D=D1∪D2, où D₁={(x, y)∈R²: 2

√5 < x <√ 2,p

4−x²< y <2x},

et

D2 ={(x, y)∈R² :√

2< x <2, x < y < 4 x}.

On a Z Z

D

f(x, y)dxdy = Z

√ 2

√2 5

Z 2x

√4−x²

xydy

dx+ Z 2

√ 2

Z _x⁴

x

xydy

! dx,

= Z

√2

√2 5

5x³ 2 −2x

dx+

Z 2

√ 2

8 x −x³

2

dx,

= −3

5+ 4 ln 2.

Lemme 40 (Inégalité de Young). Soientp >1etq >1deux nombres réels tels que : 1

p +1 q = 1.

Alors,

∀α, β ∈R+, αβ ≤ α^p p +β^q

q .

Proposition 41 (Inégalité de Hölder). Si p et q sont comme ci-dessus et si f, g : D−→R, sont deux fonctions continues et bornées, alors

Z Z

D

|f g| ≤ Z Z

D

|f|^{p 1}

p

. Z Z

D

|f|^{q 1}

q

.

Proposition 42 (Inégalité de Cauchy-Shwarz). C'est l'inégalité de Hölder avecp= q= 2.

Proposition 43 (Inégalité de Minkowski). Soient p ≥ 1 un nombre réel et f, g : D−→R deux fonctions continues et bornées. On a

Z Z

D

|f +g|^{p 1}

p

≤ Z Z

D

|f|^{p 1}

p

+ Z Z

D

|g|^{p 1}

p

. Sin= 3 et

D={(x, y, z)∈R³:a≤x≤b, ϕ₁(x)≤y≤ϕ₂(x), ψ₁(x, y)≤z≤ψ₂(x, y)}, où ϕ₁, ϕ₂ : [a, b] −→ R, sont deux fonctions continues telles que : ϕ₁ ≤ ϕ₂ et ψ₁, ψ₂ : {(x, y) ∈ R² :a ≤ x ≤b, ϕ₁(x) ≤ y ≤ ϕ₂(x)} −→ R, sont deux fonctions continues telles que :ψ1≤ψ2. Dans ce cas, le théorème de Fubini fournit

Z Z Z

D

f(x, y, z)dxdydz = Z b

a

Z ϕ2(x) ϕ1(x)

Z ψ2(x) ψ1(x)

f(x, y, z)dz

! dy

! dx.

Soit n= k+l,D ⊂Rⁿ = R^k×R^l. Désignons respectivement par pr_R^k etpr_R^l les projections dénies par

pr_Rk :R^k×R^l −→R^k, (x, y)7−→x, pr_Rl :R^k×R^l−→R^l, (x, y)7−→y, et posons

A=pr_RkD={x∈R^k:∃y ∈R^l,(x, y)∈D}, B=pr_R^lD={y∈R^l :∃x∈R^k,(x, y)∈D},

∀x∈A, B_x ={y∈∈R^l,(x, y)∈D}= section de D par une droite,

∀y∈B, A_y ={x∈∈R^k,(x, y)∈D}= section de D par une droite. Notons que

D={(x, y) :x∈A, y∈Bx}={(x, y) :y∈B, x∈Ay}.

Dans ces conditions, le théorème de Fubini s'écrit Z

D

= Z

A

Z

Bx

f(x, y)dy

dx= Z

B

Z

Ay

f(x, y)dx

! dy.

2.2 Changements de variables dans les intégrales multiples

Considérons l'application

g: Ω−→Rⁿ, y7−→g(y) =x, oùΩest un ouvert de Rⁿ. On a

x1 = g1(y1, ..., yn), x₂ = g₂(y₁, ..., y_n),

...

xn = gn(y1, ..., yn).

On suppose que les dérivées partielles ^∂g_∂yjⁱ(y),1≤i, j≤n, existent pour touty∈Ω. Rappelons que le jacobien deg est

detJg(y) = ∂(x1, ..., xn)

∂(y₁, ..., y_n) = det ∂gi

∂y_j(y)

1≤i,j≤n

. Sin= 2, on a

detJg(y) = ∂(x1, x2)

∂(y1, y2) = det

∂x1

∂y1

∂x1

∂y2

∂x2

∂y1

∂x2

∂y2

! .

Théorème 44 (de changement de variable). SoientΩ un ouvert de Rⁿ, g: Ω−→Rⁿ, y7−→g(y) =x,

une bijection de classe C¹ telle que : detJ_g(y)6= 0, ∀y∈Ω et f :D−→R, x7−→f(x),

une fonction intégrable oùD⊂g(Ω). Alors(f og)|detJg(y)|est intégrable surg⁻¹(D)

et Z

D

f = Z

g⁻¹(D)

(f og)|detJg(y)|. Coordonnées polaires : Considérons l'application

g: Ω =]0,+∞[×]0,2π[−→R²\{(x, y)∈R² :x≥0, y= 0},(r, θ)7−→(x, y), où

x=rcosθ, y=rsinθ.

gest une bijection de classe C¹ dont le jacobien est detJ_g = ∂(x, y)

∂(r, θ) = det _∂x

∂r x

∂y ∂θ

∂r

∂y

∂θ

= det

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

=r6= 0 surΩ.

SoitDun secteur de couronne circulaire D=

(x, y)∈R² :x=rcosθ, y =rsinθ, r∈[r1, r2], θ∈[θ1, θ2] , où0< r₁< r₂,0< θ₁< θ₂ <2π. On a

g⁻¹(D) = [r₁, r₂]×[θ₁, θ₂].

D'après le théorème du changement de variable, sif :D−→Rest intégrable, alors Z Z

D

f(x, y)dxdy = Z Z

g⁻¹(D)

f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ,

= Z _θ2

θ1

Z r2

r1

f(rcosθ, rsinθ)rdr

dθ.

SiD=C est le cercle de centre(0,0)et de rayonR, alors en passant à la limite, la formule ci-dessus devient

Z

C

f = Z 2π

0

Z R 0

f(rcosθ, rsinθ)rdr

dθ.

Exercice 2.2.1 CalculonsR R

Dsin(x²+y²)dxdy, où D=

(x, y)∈R²:x≥0, y≥0,1≤x²+y² ≤4 . En passant aux coordonnées polaires, on trouve

g⁻¹(D) ={(r, θ) : 1≤r≤2,0≤θ≤ π 2}, d'où

Z Z

D

sin(x²+y²)dxdy = Z ₂

1

Z ^π

2

0

(sinr²).rdθ

!

dr= π

4(cos 1−cos 4).

Coordonnées sphériques : Considérons l'application

g: Ω =]0,+∞[×]0,2π[]0, π[−→R³\{(x, y, z)∈R³ :x≥0, y= 0}, (r, θ, ϕ)7−→(x, y, z),

où

x = rcosθsinϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosϕ

(Note : on emploie également le système : x = rcosθcosϕ, y = rsinθcosϕ, z = rsinϕoù (r, θ, ϕ)∈]0,+∞[×]0,2π[]0, π[).

g est une bijection dont le jacobien est detJg = ∂(x, y, z)

∂(r, θ, ϕ) = det





cosθsinϕ −rsinθsinϕ rcosθcosϕ sinθsinϕ rcosθsinϕ rsinθcosϕ

cosϕ 0 −rsinϕ



=−rsinϕ.

SoitDun secteur sphérique D=

(x, y, z)∈R³ :x=rcosθsinϕ, y=rsinθsinϕ, z=rcosϕ ,

où r ∈ [r1, r2], θ ∈ [θ1, θ2], ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2], avec 0 < r1 < r2, 0 < θ1 < θ2 < 2π, 0< ϕ1 < ϕ2< ^π₂. On a

g⁻¹(D) = [r₁, r₂]×[θ₁, θ₂]×[ϕ₁, ϕ₂].

D'après le théorème du changement de variable, sif :D−→Rest intégrable, alors Z Z Z

D

f(x, y, z)dxdydz

=

Z Z Z

g⁻¹(D)

f(rcosθsinϕ, rsinθsinϕ, rcosϕ)|J_g|drdθdϕ,

= Z _ϕ2

ϕ1

Z θ2

θ1

Z r2

r1

f(rcosθsinϕ, rsinθsinϕ, rcosϕ)r²sinϕdr

dθ

dϕ.

Si D = S est la sphère de rayon R, on peut faire le passage à la limite, r1 → 0, θ₁ →0,θ₂→2π,ϕ₁ →0,ϕ₂ →π, et la formule précédente devient

Z

S

f = Z π

0

Z 2π 0

Z R 0

f(rcosθsinϕ, rsinθsinϕ, rcosϕ)r²sinϕdr

dθ

dϕ.

Exercice 2.2.2 Déterminons le volume de l'intersection D du cône : x²+y² < z² avec la boule :x²+y²+z²<2az. En coordonnées sphériques, on a

g⁻¹(D) ={(r, θ, ϕ)∈R³ : 0< θ <2π,0< ϕ < π

4,0< r <2acosϕ}, d'où

V = Z

g⁻¹(D)

r²sinϕdrdθdϕ= Z ^π

4

0

sinϕdϕ

Z 2acosϕ 0

r²dr Z 2π

0

dθ=πa³. Coordonnées cylindriques : Considérons l'application

g: Ω =]0,+∞[×]0,2π[]0,2π[−→R³\{(x, y, z)∈R³ :x≥0, y = 0, z∈R}, (r, θ, ϕ)7−→(x, y, z),

où

x = rcosθ, y = rsinθ,

z = z

gest bijective et son jacobien est detJ_g = ∂(x, y, z)

∂(r, θ, ϕ) = det





cosθ −rsinθ 0 sinθ rcosθ 0

0 0 1



=r6= 0 surΩ.

On a

D=

(x, y, z)∈R³ :x=rcosθ, y =rsinθ, z∈R ,

oùr ∈[r1, r2],θ∈[θ1, θ2], avec 0< r1 < r2,0< θ1 < θ2 <2π. D'après le théorème du changement de variable, sif :D−→Rest intégrable, alors

Z Z Z

D

f(x, y, z)dxdydz =

Z Z Z

g⁻¹(D)

f(rcosθ, rsinθ, z)rdrdθdz.

SiDest le cylindre

D={(x, y, z)∈R³ :x²+y² < R², h1 < z < h2}, rtf :D−→R intégrable, alors

Z Z Z

D

f(x, y, z)dxdydz = Z 2π

0

Z h2

h1

Z R 0

f(rcosθ, rsinθ, z)rdr

dz

dθ.

En particulier, sif ≡1, V(D) =

Z Z Z

D

dxdydz = Z 2π

0

Z h2

h1

Z R 0

rdr

dz

dθ=πr²(h2−h1).

Exercice 2.2.3 CalculonsR R R

D

px²+y²dxdydz, où

D={(x, y, z)∈R³ :x >0, y >0, z²< x²+y²< ax}.

On a, en coordonnées cylindriques,

g⁻¹(D) ={(r, θ, ϕ)∈R³: 0< θ < π

2,0< r < acosθ,−r < z < r},

d'où Z Z Z

D

px²+y²dxdydz= Z ^π

2

0

dθ

Z acosθ 0

r²dr Z r

−r

dz= 3a⁴ 32 .

2.3 Exercices

Exercice 2.3.1 Calculer a) R1

0 dyR1 y e^yxdx. b) R2

1 dxR2

1 x

ye^xydx. Exercice 2.3.2 Calculer

a) R R

Dxydxdy où D={(x, y)∈R²: 0≤x < y <2x, x²+y²>4, xy <4}. b) R R

Dsin(x²+y²)dxdy où D={(x, y)∈R²:x≥0, y≥0,1≤x²+y² ≤4}. c) R R

D|x+y|dxdy où D={(x, y)∈R²:|x|<1,|y|<1}. Exercice 2.3.3 Soitf une application continue de Rdans R.

a) Exprimer l'intégrale multiple Z b

0

dxn

Z xn

0

dxn−1...

Z x3

0

dx2

Z x2

0

f(x1)dx1, sous la forme d'une intégrale en x₁.

b) Soity une fonction de x, de classe Cⁿ, dénie sur Ret satisfaisant aux condi- tions suivantes :

y(0) =y⁰(0) =...=y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = 0, y⁽ⁿ⁾(x) =f(x).

Montrer que :

y(x) = Z x

0

f(t)(x−t)⁽ⁿ⁻¹⁾ (n−1)! dt.

Exercice 2.3.4 Calculer le volume de l'ellipsoïde x²

a² + y² b² +z²

c² = 1, (a, b, c >0).

Exercice 2.3.5 a) La transformation suivante peut-elle être utilisée comme chan- gement de variables sur le domaineD du plan limité par les droites u= 0,v= 0 et u+v= 2, ϕ(u, v) = (u+v, v−u²)?

b) Caratériser l'image deD par ϕ.

c) Calculer l'aire de ϕ(D) directement et par changement de variables.

d) Calculer directement et par changement de variables l'intégrale sur ϕ(D) de la fonction _x−y+1¹ .

Exercice 2.3.6 Calculer l'intégrale de e

x−y

x+y sur le domaine limité par les droites x= 0, y= 0 et x+y= 1.

Exercice 2.3.7 Soit D la région du premier quadrant limitée par les hyperboles, xy= 1, xy = 3, x²−y² = 1, x²−y² = 4. Calculons l'intégrale de x²+y² sur D.

Exercice 2.3.8 Calculer l'intégrale dexy sur D,

a) lorsqueDest le domaine limité par la droite y= 0 et le demi cercle déni par (x−1)²+y² = 1 et y≥0.

b) lorsque D est le domaine limité par les droites x = 0 et y = 0 et par l'arc d'astroïdex=Rcos³t, y=Rsin³t, 0≤t≤ ^π₂.

Exercice 2.3.9 Une sphère de rayon R₁ est percée d'un trou cylindrique de rayon R2dont l'axe passe par le centre de la sphère. Calculer le volume résiduel de la sphère.

Exercice 2.3.10 Soit P = [a1, a2]×[b1, b2] le pavé de R² et Ω un ouvert de R² contenatP. On considère une fonctionf : Ω−→R, de classe C². Calculer

Z Z

P

∂²f

∂x∂ydxdy.

Exercice 2.3.11 Calculer l'aire du quadrilatère curviligne limité par les arcs d pa- rabolex²=ay, x² =by, y²=cx, y²=dx où 0< a < bet 0< c < d.

Exercice 2.3.12 Calculer le volume du corps limité par le plan z = 0, le cylindre x²+y²= 2axet le cône x²+y² =z².

Exercice 2.3.13 Calculer l'aire de la surface découpée sur la sphèrex²+y²+z² =a² par le cylindre x²+y²−ax= 0.

Exercice 2.3.14 Calculer l'intégraleR R

D xy

x²+y²dxdy, où D={(x, y)∈R² :x >0, y >0, x+y <1}.

Exercice 2.3.15 Déterminer le volume de l'intersectionD du cône : x²+y² < z² avec la boule :x²+y²+z²<2az.

Exercice 2.3.16 On dénit la fonction bêta d'Euler par B(p, q) =

Z 1 0

x^p−1(1−x)^q−1dx.

a) Montrer que cette intégrale converge pour p∈]0,+∞[et q∈]0,+∞[.

b) Etablir la formule suivante : B(p, q) = ^Γ(p)Γ(q)_Γ(p+q) où Γ est la fonction gamma d'Euler dénie précédemment.

Exercice 2.3.17 Etablir la formule des compléments suivante : B(p,1−p) = Γ(p)Γ(1−p) = π

sinπp, 0< p <1

oùΓ etB sont les fonctions gamma et bêta d'Euler dénies dans les exercices précé- dents.

Exercice 2.3.18 Exprimer à l'aide des fonctions gamma et bêta d'Euler, les inté- grales elliptiquesR1

0

√dx

1−x³ etR1 0

√dx

1−x⁴ ainsi que l'intégrale trigonométriqueR^π₂

0 sin^mxcosⁿxdx, m >−1,n >−1.

Chapitre 3

Formes diérentielles, intégrales curvilignes

(N.B. Seules les formes diérentielles de degré 1, 2 dans R² et R³, sont au pro- gramme. Les formes diérentielles de degrék, sont données ici en tant que complé- ment).

3.1 Généralités

Formes diérentielles de degré 1: considérons l'espace vectorielRⁿet son espace dual (Rⁿ)^∗ = L(Rⁿ,R). Ce dernier étant l'espace des formes linéaires sur Rⁿ. On note(dx₁, ..., dx_n) la base duale de la base canonique (e₁, ..., e_n) de Rⁿ. Autrement dit,dx1, ..., dxn sont nformes linéaires sur Rⁿ dénies par

dx_i(e_j) =

1 sii=j 0 sii6=j

Dénition 45 Soit U un ouvert de Rⁿ. On appelle forme diérentielle de degré 1 ou1-forme diérentielle sur U, l'application dénie par

ω:U −→ L(Rⁿ,R), x7−→ω(x) =

n

X

i=1

f_i(x)dx_i,

oùfi sont des applications deU dans R. Sifi ∈ C^p, (0≤p≤+∞), on dit alors que ω est de classeC^p.

Notation : On désigne parfois une1-forme diérentielle par ω=ω_f¹ où f = (f_i). Remarque 46 Soit

f :U −→R, (x1, ..., xn)7−→f(x1, ..., xn), une fonction de classeC^p. La diérentielle

df =

n

X

i=1

∂f

∂x_idxi, 27

est une forme diérentielle de classe C^p−1. Par ailleurs, il existe des formes dié- rentielles qui ne sont pas la diérentielle d'une fonction. Considérons par exemple la forme

ω=x1dx2,

et supposons qu'elle soit la diérentielle d'une fonctionf(x1, x2). On aurait donc ω=df = ∂f

∂x1

dx₁+ ∂f

∂x2

dx₂=x₁dx₂.

On en déduit que _∂x^∂f₁ = 0 (doncf ne dépend pas de x₁) et _∂x^∂f₂ =x₁ (doncf dépend dex1), ce qui est absurde.

Formes diérentielles de degré 2 : considérons l'espaceΛ²(Rⁿ) des applications ϕ:Rⁿ×Rⁿ−→R, (y, z)7−→ϕ(y, z),

bilinéaires et antisymétriques. Rappelons que :

a) ϕest bilinéaire si∀α, β ∈R,∀y, z, u∈Rⁿ, on a ϕ(αy+βz, u) =αϕ(y, u) +βϕ(z, u), ϕ(y, αz+βu) =αϕ(y, z) +βϕ(y, u).

b) ϕest antisymétrique si ∀y, z ∈Rⁿ, on a ϕ(y, z) =−ϕ(z, y).

Notons queΛ²(Rⁿ)est un espace vectoriel réel (voir ci-dessous). Pour décrire une base de cet espace, on introduit les applications dxi∧dxj ∈ Λ²(Rⁿ),1 ≤ i, j ≤n, dénies par

dx_i∧dx_j :Rⁿ×Rⁿ−→R, (y, z)7−→det

y_i z_i y_j z_j

=y_iz_j−y_jz_i. On en déduit que :

dx_i∧dx_j = −dx_j∧dx_i, dx_i∧dx_i = 0.

Proposition 47 Λ²(Rⁿ) est un espace vectoriel de dimension ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ et sa base est déterminée par la famille des fonctions bilinéires antisymétriques(dxi∧dx_j)1≤i<j≤n.

SoientU un ouvert deRⁿ et

fij :U −→R, x7−→fij(x),1≤i < j ≤n

des fonctions de classeC^p,0≤p≤+∞. Une fonction à valeurs dansΛ²(Rⁿ)est dite de classe C^p, si ses coordonnées dans la base (dx_i ∧dx_j)1≤i<j≤n sont de classe C^p. Le choix de cette base dansΛ²(Rⁿ) détermine un isomorphisme de cet espace avec R

n(n−1)

2 .