Dénition 95 On appelle cheminC1 par morceaux une application continue γ : [a, b]−→C,
dénie sur un intervalle femé[a, b]de R et telle qu'il existe une subdivision : a=α1 < α2 < . . . < αn=b,
de [a, b] pour laquelle la restriction de γ à chaque intervalle [αk−1, αk] (1≤k≤n) soit de classeC1. On dit que le cheminγ est fermé (ou un circuit, ou encore un lacet) siγ(a) =γ(b).
Dénition 96 Soient f : Ω −→ C une fonction continue et γ : [a, b] −→ C un cheminC1 par morceaux. On appelle intégrale de f le long de γ l'expression
Z
γ
f(z)dz = Z b
a
f(γ(t))γ0(t)dt=
n
X
k=1
Z αk αk−1
f(γ(t))γ0(t)dt.
Remarque 97 Une autre façon de dénir l'intégrale ci-dessus, est la suivante : partageons γ en nmorceaux, au moyen des points z0, z1, ..., zn. De plus, choisissons un pointξk sur chaque arc joignant zk−1 à zk (1≤k≤n).
On dénit la somme
Sn=
n
X
k=1
f(ξk) (zk−zk−1).
La limite obtenue en faisant croître le nombrende subdivisions, de façon que max
1≤k≤n|zk−zk−1| tende vers zéro, est appelée intégrale curviligne de f(z) le long de γ et est notée
R
La formule ci dessus, est une combinaison linéaire d'intégrales curvilignes réelles.
Les propriétés habituelles de ces dernières sont donc conservées.
Si on change le sens du parcours du cheminγ : [a, b]−→C, l'intégrale change de signe
Si le chemin γ admet la représentation paramétrique x=ϕ(t), y=ψ(t),
Proposition 99 Sif est holomorphe, alors Z
γ
f0(z)dz =f(γ(b))−f(γ(a)), oùγ : [a, b]−→Cest un chemin C1 par morceaux.
Proposition 100 (formules de majoration). Soitf : Ω−→Cune fonction continue etγ : [a, b]−→Cun chemin C1 par morceaux. Alors
Théorème 101 Soientγ : [a, b]−→Cun chemin fermé et ∆ le complémentaire de l'image deγ, c'est-à-dire∆ =Icoù I ={z:∃t∈[a, b], z=γ(t)}. Pour tout z∈∆,
on a 1
2πi Z
γ
dζ
ζ−z =indγ(z),
où indγ(z) est un entier dépendant du point z. Il est égal au nombre de tours que faitγ autour de z. La fonction z7−→indγ(z) est constante sur toute partie connexe de∆ et s'annule sur l'unique composante connexe non bornée de ∆.
Dénition 102 On dit queindγ(z) est l'indice deγ par rapport à z. Pourγ ci-dessous, on aindγ(z) = 2:
Exemple 103 Soit γ le cercle (orienté positivement) de centre a et de rayon r, déni par
γ(t) =a+reit, t∈[0,2π]
Le complémentaire du cercle |z−a|=r (support deγ) se divise en deux parties : le disque|z−a < r et la couronne |z−a|> r. D'après le théorème précédent, l'indice indγ(a) est constant dans le disque et il sut de le calculer au point a,
indγ(a) = 1 2πi
Z
γ
dz z−a = r
2π Z 2π
0
eit
reitdt= 1.
Par ailleurs, dans la couronne, l'indice est nul. Par conséquent, on a indγ(a) =
1 si|z−a|< r 0 si|z−a|> r Dénition 104 Soient
γ1 : [a, b]−→C, t7−→γ1(t), γ2 : [a, b]−→C, t7−→γ2(t),
deux chemins dénis sur le même intervalle [a, b], ayant mêmes extrémités γ1(a) = γ2(a) et γ1(b) = γ2(b). On dit que γ1 et γ2 sont homotopes dans Ω⊂C s'il existe une application continue
ϕ: [a, b]×[0,1]−→Ω, (t, s)7−→ϕ(t, s),
telle que :
ϕ(t,0) = γ1(t), ∀t∈[a, b], ϕ(t,1) = γ2(t), ∀t∈[a, b],
ϕ(a, s) = γ1(a) =γ2(a), ∀s∈[0,1], ϕ(b, s) = γ1(b) =γ2(b), ∀s∈[0,1].
L'applicationϕ est dite une homotopie entreγ1 et γ2. Si γ1 et γ2 sont fermés, alors les deux dernières conditions seront remplacées par celle-ci :
ϕ(a, s) =ϕ(b, s), ∀s∈[0,1].
Intuitivement,γ1 etγ2 sont homotopes dansΩsi on peut déformer continûment, tout en restant dansΩ, l'un des chemins en l'autre.
Dénition 105 Un domaine est un ensemble ouvert connexe.
Dénition 106 On dit qu'un domaine Ω est simplement connexe si tout chemin ferméγ inclus dansΩest homotope à un point. Autrement dit, si tout chemin fermé γ inclus dansΩpeut être réduit à un point par déformation continue, sans quitterΩ. Donc un ouvert Ω est simplement connexe s'il est connexe ainsi que son com-plémentaire. De façon imagée, un ouvert est simplement connexe s'il est connexe et sans trou.
Exemple 107 Un disque est simplement connexe. Par contre, le disque privé de son centre n'est pas simplement connexe. Une couronne circulaire n'est pas simplement connexe. Le plan C\R− est simplement connexe. Un ouvert étoilé1 est simplement connexe.
Théorème 108 (Cauchy). a) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω⊂C et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω. Alors
Z
γ
f(z)dz= 0.
b) Soitf(z)une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω⊂ C, sauf en z1, z2, ..., zk et soitγ un chemin fermé contenu dansΩentourant tous ces points. Si γj (1≤j≤k) est un chemin fermé contenu dans le domaine intérieur à γ entourantzj et n'entourant pas les autres zl (l6=j), alors
Z
γ
f(z)dz =
k
X
j=1
Z
γj
f(z)dz.
1. Un ouvert Ω est dit étoilé par rapport à un point a si pour toutx ∈Ω, le segment [a, x]est inclus dansΩ.
Remarques 109 a) Si le domaineΩn'est pas simplement connexe et siγ est homo-tope à zéro, alors on peut trouver un domaine simplement connexe∆⊂Ωcontenant γ et le résultat reste inchangé.
b) Si γ a des points doubles alors on décompose le chemin γ de telle façon qu'il n'y plus d'ambiguité et dès lors
Z
γ
f(z)dz = Z
γ1
f(z)dz+ Z
γ2
f(z)dz.
c) Dans le langage des formes diérentielles, le théorème de Cauchy s'énonce comme suit : sif(z) est holomorphe dans Ω, alors la forme diérentielle f(z)dz est fermée dansΩ.
Nous allons étudier quelques conséquences du théorème précédent.
Propriété 110 Soit γ un chemin d'extrémités a et b, et contenu dans Ω. Alors, l'intégraleR
γf(z)dz ne dépend que des extrémitésa etb de γ. On pose
Z
γ
f(z)dz = Z b
a
f(z)dz.
Soitf(z) une fonction holomorphe dansΩ. D'après la propriété précédente, on peut dénir dans Ω une fonction uniforme (dénie à une constante près, dépendant du choix du pointz0),
F(z) = Z z
z0
f(ζ)dζ, z0 ∈Ω.
Proposition 111 F(z) est holomorphe dans Ωet on a F0(z) =f(z), sur Ω. Dénition 112 La fonction F(z) est dite primitive de f(z).
Remarques 113 a) Dans la proposition précédente, on suppose que f est holo-morphe mais dans la démonstration seule la propriété de continuité def sera utilisée.
b) On montre de façon similaire que si Ω est un ouvert étoilé par rapport à un de ses points, alors toute fonction holomorphe dans Ω y admet une primitive holomorphe. Ceci correspond au théorème de Poincaré : toute forme diérentielle fermée dans un ouvert étoilé y est exacte.
c) Notons que siF est une primitive def, alors Rb
af(z)dz=F(b)−F(a). d) La formule d'intégration par partie ainsi que celle du changement de variables restent valables.
Théorème 114 Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soit γ un chemin fermé contenu dansΩet soit∆le domaine simplement connexe ayantγ pour frontière. Alors
a) Pour tout z∈∆, on a la formule intégrale de Cauchy : f(z) = 1
2πi Z
γ
f(ζ) ζ−zdζ.
b) La fonction f est indéniment dérivable dans ∆ et on a, pour toutz∈∆, f(n)(z) = n!
2πi Z
γ
f(ζ) (ζ−z)n+1dζ.
(γ étant parcouru dans le sens positif, c-à-d., anti-horlogique).
Le théorème suivant n'est rien d'autre que la réciproque du théorème de Cauchy (ou plus précisément une réciproque du théorème de Goursat qui dit que sif(z) est holomorphe dansΩ, alors f0(z)est continue dans Ω).
Théorème 115 (Moréra). Sif(z)est continue dans un domaine simplement connexe
Ωet si Z
γ
f(z)dz= 0,
pour tout chemin fermé γ deΩ, alors f(z) est holomorphe dansΩ.
Dénition 116 Soit Ω un ouvert de C. On dit qu'une fonction f : Ω −→ C est analytique au pointz0∈Ω si elle admet un développement en série entière2 dont le rayon de convergencer n'est pas nul. On dit que f est analytique sur Ω si elle l'est en tout point z0 ∈Ω.On écrit
f(z) =
∞
X
k=0
ak(z−z0)k, z∈Ω, où|z−z0|< r et (ak) est une suite de nombres complexes.
2. Pour un rappel sur les propriétés des séries entières, voir appendice 9.1
Théorème 117 Soit Ωun ouvert deC etf : Ω−→Cune fonction complexe d'une variable complexez. Alors la fonctionf est analytique dans Ωsi et seulement si elle est holomorphe dansΩ.
Remarque 118 La réciproque du théorème précédent est fausse en général pour les fonctions réelles. En eet, une fonctionf possédant des dérivées de tout ordre en z0, n'est pas nécessairement égale à la série entière
∞
X
k=0
f(k)(z0)
k! (z−z0)k,
correspondante. Il sut de considérer la fonction f :R−→R dénie par f(x) =
(
e−x12 six6= 0 0 six= 0
On vérie aisément qu'elle est de classe C∞, mais qu'elle n'est pas égale à la série entière correspondante.