Un cheminγ dans Rn est une application,γ :R⊃[a, b]−→Rn, continue. Nous appelons chemin, l'application γ et non son image γ([a, b]) ⊂ Rn. Le chemin γ est dit - simple siγ est injective.
- fermé siγ(a) =γ(b).
- de classeC1 siγ est de classe C1.
- régulier siγ est de classeC1 et queγ0(t)6= 0,∀t∈[a, b].
Soientγ : [a, b]−→Rn, un chemin de classeC1 et soit ω une forme diérentielle continue sur une partieD⊂Rn contenant l'image de γ. On dénit l'intégrale de ω surγ, comme le nombre
Z
γ
ω= Z
[a,b]
ω(γ(t))γ0(t)dt.
Les résultats de ce paragraphe sont encore vrais pour des chemins de classe C1 par morceaux. Rappelons qu'un chemin de classeC1 par morceaux, est une application γ([a, b])⊂Rn telle qu'il existe une subdivision
a=α1< α2 < ... < αn=b,
de [a, b] pour laquelle la restriction de γ à chaque intervalle ]αk−1, αk[, 1 ≤k ≤n, soit de classeC1. L'intégrale est alors dénie par
Z
γ
ω=
n
X
k=1
Z
γ(]αk−1,αk[)
. (Voir quelques propriétés dans le chapitre suivant).
Formule de Green-Riemann : soit
ω =P(x, y)dx+Q(x, y)dy,
une 1-forme diérentielle dans D ⊂ R2. On suppose que P, Q ∈ C1. La formule de Green-Riemann s'écrit
Z
γ
P dx+Qdy = Z Z
D
∂Q
∂x −∂P
∂y
dxdy,
où γ est un chemin fermé simple de classe C1 (parcouru suivant l'orientation, sens positif c-à-d., sens trigonométrique).
Formule de Stokes-Ampère (ou de la circulation) : soit
ω=f1(x1, x2, x3)dx1+f2(x1, x2, x3)dx2+f3(x1, x2, x3)dx3,
une 1-forme diérentielle dans D⊂R3. On suppose que f1, f2, f3 ∈ C1. La formule de Stokes-Ampère s'écrit
Z
γ
f1dx1+f2dx2+f3dx3
= Z Z
D
∂f3
∂x2 − ∂f2
∂x3
dx2∧dx3+ ∂f1
∂x3 − ∂f3
∂x1
dx3∧dx1+ ∂f2
∂x1 − ∂f1
∂x2
dx1∧dx2, c-à-d., le ux du rotationnel def à travers une surface Dest égal à la circulation de f le long deγ (courbe).
Formule de Gauss-Ostrogradski (ou de la divergence) : soit
ω=f1(x1, x2, x3)dx2∧dx3+f2(x1, x2, x3)dx3∧dx1+f3(x1, x2, x3)dx1∧dx2, une 2-forme diérentielle dans D⊂R3. On suppose que f1, f2, f3 ∈ C1. La formule de Gauss-Ostrogradski s'écrit
Z
γ
f1dx2∧dx3+f2dx3∧dx1+f3dx1∧dx2
= Z Z Z
D
∂f1
∂x1
+ ∂f2
∂x2
+ ∂f3
∂x3
dx1∧dx2∧dx3,
c-à-d., l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs dans un volume est égale au ux du champ à travers la surface fermée délimitant ce volume
3.7 Exercices
Exercice 3.7.1 Soitf :U ⊂R3 −→R, une fonction de classeC2. Montrer que : rot grad f = 0.
Exercice 3.7.2 Soitf :U ⊂R3 −→R3, une fonction de classeC2. Montrer que : div rot f = 0.
Exercice 3.7.3 Considérons l'espace vectorielR3 dans lequel on aura xé des coor-donnéesx1, x2, x3 :R3 −→ R. Soient f etg des fonctions deR3 dans R, u et v des fonctions deR3dansR3, de classeC1 sur un ouvertU deR3. Démontrer les formules suivantes :
grad(fg) = f grad g+ g grad f, rot(fu) = grad f∧u + f rotu, div(fu) = hgrad f, ui+f div u, div(u∧v) = hrot u, vi − hu,rot vi.
Exercice 3.7.4 SoitD un ouvert étoilé deR2 càd. un ouvert tel que : (x1, x2)∈D et 0 ≤ t ≤ 1 entraînent (tx2, tx3) ∈ D, et I un intervalle ouvert de R. Soit ω une 2−forme diérentielle dénie et continûment dérivable sur I×D,telle que :
dx1∧ω = 0, dω= 0.
a) Montrer que
ω=dx1∧
3
X
i=2
fidxi,
où lesfi sont des fonctions complexes, dénies et continûment dérivables sur I×D.
Quelles conditions lesfi doivent-ils satisfaire ? b) Si x= (x1, x2, x3)∈I ×D,on pose
h(x) =
3
X
i=2
Z 1 0
xifi(x1, tx2, tx3)dt.
Montrer queh est continûment dérivable et que ω=dx1∧dh.
En déduire une forme diérentielleλde degré1, dénie et continûment dérivable sur I×D, telle que ω=dλ.
Exercice 3.7.5 Soit la forme diérentielle
ω=dx1∧dx2+dx3∧dx4+· · ·+dx2n−1∧dx2n. Calculerωn.
Réponse :ωn=n!dx1∧dx2∧...∧dx2n−1∧dx2n.
Exercice 3.7.6 Examiner si les formes diérentielles suivantes dansR2sont exactes et, le cas échéant, en trouver les primitives (c-à-d., une fonctionf telle que :ω=df).
a) ω= (xycosxy+ sinxy)dx+ x2cosxy+y2 dy. b) ω= 5x2y−4xy
dx+ 3x2−2y dy.
Exercice 3.7.7 Même question pour les formes diérentielles suivantes dans R3 : a) ω= 3x2+ 2y2+ 3z
dx+ (4xy+ 2y−z)dy+ (3x−y−2)dz.
b) ω=x2dy+ 3xzdz.
Exercice 3.7.8 a) Examiner si la forme diérentielle suivante dans l'ouvert Ω = R2\{(x, y) :x+y6= 0} :
ω= x+ 2y
(x+y)2dx+ y (x+y)2dy, est exacte et, le cas échéant, en trouver les primitives.
b) Même question pour les formes diérentielles suivantes dans R3 : ω = (y+z)dx+ (x+z)dy+ (x+y)dz,
ω = yzdx+xzdy+xydz.
Exercice 3.7.9 Soit la forme diérentielle dénie dansR2 par ω= (1−x2)dy+ 2xydx
(1−x2)2+y2 .
Montrer queω est exacte et déterminer la fonction f telle que :ω =df. Exercice 3.7.10 Résoudre l'équation diérentielle dansR2 :
(2xy3+ 1) + (3x2y2−2y)y0 = 0, y0 = dy dx.
Exercice 3.7.11 Soit la1-forme diérentielle dans l'ouvertΩ =R2\ {(0,0)} : ω = xdy−ydx
x2+y2 .
Montrer que la formeω st fermée mais n'est pas exacte sur Ω. Trouver, si possible, un ouvert dont la diérence avecΩ soit de mesure nulle et sur lequelω soit exacte.
Exercice 3.7.12 Soit la1-forme diérentielle dans l'ouvertΩ =R2\ {(0,0)} : ω = x+ 2y
x2+y2dx+ y−2x x2+y2dy.
Même question que l'exercice précédent.
Exercice 3.7.13 Soit la sphère S2={x21+x22+x23} ⊂R3. Montrer que la 2-forme diérentielle surS2,
ω = dx2∧dx3 x1
= dx3∧dx1 x2
= dx1∧dx2 x3
, est fermée mais pas exacte.
Exercice 3.7.14 Soient ω une forme diérentielle et g∗ω sa transformée par g où g est de classe C2. Montrer que si ω est fermée, alors g∗ω est fermée. Inversement, supposons queg∗ω est fermée,g est bijective, de classeC2, g−1 de classeC2, montrer queω est fermée.
Exercice 3.7.15 Utiliser la formule de Green-Riemann pour le calcul de l'intégrale curviligne
Z
C
x3dy−y3dx,
oùC est le cecle (de centre 0 et de rayonR), orienté dans le sens direct.
Exercice 3.7.16 Calculer l'intégrale curviligne Z
C
2(x2+y2)dx+ (x+y)2dy,
oùC est le bord d'un triangle D de sommets(1,1),(2,2) et(1,3).
Chapitre 4
Calcul d'intégrales par la méthode des résidus
4.1 Généralités
SoientΩun ouvert de C'R2 et
f : Ω−→C, z 7−→f(z) =w,
une fonction complexe d'une variable complexez=x+iy,(x, y∈R).
Dénition 82 On dit que la fonction f est uniforme si à chaque valeur de z ne correspond qu'une seule valeur dew. Sinon, elle est dite multiforme.
Exemples de fonctions uniformes : a) La fonction linéaire :
w=az+b, (a, b∈C).
b) La fonction exponentielle :
w=ez. Par dénition, on a
ez =ex(cosy+isiny).
Lorsquez est réel c'est-à-dire z=x, nous retrouvons la fonction exponentielle ez = ex. La fonction ez est périodique, de période2πi. En outre, on a
ez1ez2 =ez1+z2. En écrivant
z=r(cosθ+isinθ) =reiθ,
45
oùr =|z|etθ= argz, on obtient la formule de Moivre zn=rneinθ,
et les formules d'Euler
cosy = eiy+e−iy
2 ,
siny = eiy−e−iy 2i .
c) Les fonctions circulaires. Par extension des dénitions dans le cas réel, on pose cosz = eiz+e−iz
2 ,
sinz = eiz−e−iz 2i , et de là
tanz = sinz cosz, cotz = cosz
sinz.
Les relations entre les fonctions trigonométriques réelles s'étendent au cas complexe.
Les fonctionscoszetsinzsont périodiques, de période2π. Elles ont les mêmes zéros que les fonctions réelles correspondantes. Signalons que les fonctionscoszetsinz ne sont pas bornées.
d) Les fonctions hyperboliques. Nous les dénirons par extension du cas réel, en posant
coshz = ez+e−z
2 ,
sinhz = ez−e−z
2 ,
et de là
tanhz = sinhz coshz cothz = coshz sinhz.
Les fonctionscoshzetsinhzsont périodiques, de période2πiet sont, respectivement, paires et impaires. Les relations entre les fonctions hyperboliques réelles s'étendent au cas complexe.
Remarque 83 On peut dénir les fonctions ez,cosz,sinz,coshz,sinhz, par leurs développements en série entière qui convergent dans tout le plan complexe :
ez = 1 +z+ z2 2! + z3
3! +· · · cosz = 1−z2
2! +z4 4! − · · · sinz = z−z3
3! +z5 5! − · · · coshz = 1 +z2
2! +z4 4! +· · · sinhz = z+z3
3! +z5 5! +· · · Exemples de "fonctions" multiformes : a) La fonction racine carrée :
w=√ z.
Considérons
f :C−→C, z 7−→w:w2=z.
Il est clair quef n'est pas une fonction : à chaque valeur dez6= 0, correspond deux valeurs dew. Lorsque l'on tourne autour du point z = 0, par exemple le long d'un cercle centré en0, alors wchange de signe. En eet, soit
z=reiθ, w =√ reiθ2,
où r = |z| et θ = argz. On veut tourner autour de z = 0, donc r sera petit et θ variera entre0 et2π. Siθ= 0, alors
w=√
re0 =√ r.
Siθ= 2π, alors
w=√
reπi=−√ r.
On peut utiliser le fait que l'argumentθ d'un nombre complexe z est déni à 2kπ près. On pose θ = θ0 + 2kπ et dès lors la fonction w = √
z prend deux valeurs distinctesw1 etw2 pour chaque valeur de z6= 0 :
w1 = √ reiθ20, w2 = √
rei(θ20+π)=−w1. On dit que la fonctionw=√
z a deux branches ou déterminations. Donc siz décrit un cercle entourant 0, la fonction √
z est multiforme et passe de manière continue d'une branche à l'autre ; de w = √
r à w = −√
r. Si on refait de nouveau un tour complet c'est-à-dire deθ= 2π àθ= 4π,alors on obtient√
r c'est-à-dire la valeur de
départ. On dit que le pointz= 0est un point de branchement ou de ramication de la fonctionw=√
z. A distance nie, le pointz= 0est le seul point de branchement de√
z, car la considération de tout cercle autour d'un pointz6= 0ne conduit à aucun changement de branches de √
z. On peut rendre la fonction√
z uniforme en faisant une coupure le long de la demi droite issue dez= 0.
b) Logarithme complexe. Soit z ∈ C. Sous forme trigonométrique z s'écrit sous la forme
z=reiθ =r(cosθ+isinθ), r >0
PosonsZ =X+iY. L'équation eZ =z, s'écriteXeiY =reiθ ou sous la forme eX(cosY +isinY) =r(cosθ+isinθ).
D'où,eX =r etY =θ+ 2kπ,k∈Z. Dès lors,
Z = logz= lnr+iθ+ 2kπi, k∈Z
La fonctionlogz est dénie comme étant la fonction réciproque de la fonction expo-nentielle. On montre que la fonctionlogz est multiforme, à une innité de détermi-nations.
La détermination principale delogzest dénie pour tout z∈C∗ par logz= lnr+iθ, −π ≤θ < π.
La détermination principale du logarithme est une bijection de C∗ sur la bande horizontale4du plan complexe, dénie par Z =X+iY ∈ 4 ⇐⇒ −π≤Y < π.
Au lieu de choisirθ∈[−π, π[, on peut prendreθdans un intervalle quelconque semi-ouvert à droite ou à gauche et d'amplitude2π, c-à-d., [a, a+ 2π[ou ]a, a+ 2π]. Soit Z =X+iY ∈ 4. On a eZ =eX(cosY +isinY), le module de eZ est donc r=eX etθ=Y est l'argument satisfaisant à−π≤θ≤π. Dès lors,
logeZ = lnr+iθ= lneX+iY =X+iY =Z,
où eX désigne l'exponentielle réelle. Ainsi une détermination quelconque du loga-rithme, notée
loga:C∗ −→ {z: Im z∈[a, a+ 2π[}, est l'inverse de la fonction exponentielle
exp :{z: Im z∈[a, a+ 2π[} −→C∗, ∀a∈R.
Une telle détermination prolonge la fonction logarithme réelle (dénie surR∗+) avec la condition 0∈[a, a+ 2π[car si z∈R∗+,z=|z|(cosθ+isinθ) avec θ= 0 comme seule valeur. Notons que l'expression logz1z2 = logz1+ logz2 ne sera pas toujours vraie siz1, z2∈C,alors queez1+z2 =ez1ez2 est toujours vraie. En fait, on a
logz1z2= logz1+ logz2 (mod2πi),
il sut d'appliquer la formule : logz = lnr +iθ, −π ≤ θ < π car si on n'a pas
−π ≤ θ1+θ2 < π la formule en question n'est vraie qu'à 2πiprès. La formule ci-dessus fournit également les logarithmes des nombres strictement négatifs. Soit, par exemple,z=−e. On a r=e,θ=−π et donc ln(−e) = 1−πi.
c) La fonction puissance zα(α∈C). Elle est dénie par zα=eαlnz.
La fonctionzα est : - uniforme siα est entier.
- multiforme, à q déterminations, si α = ±pq, où p et q sont des entiers positifs premiers entre eux.
- multiforme, à une innité de déterminations, siα=a+ib(aetbnon nuls). Soit
f : Ω−→C, z 7−→f(z), une fonction uniforme etz0 ∈Ω.
Dénition 84 On dit que f(z) tend vers une limite l lorsque z tend vers z0 et on écrit
z→zlim0f(z) =l, si et seulement si
∀ε >0, ∃δ >0 :|z−z0|< δ=⇒ |f(z)−l|< ε.
Quand la limite d'une fonction existe, elle est unique. Les propriétés classiques concernant la limite d'une somme, d'un produit ou d'un rapport de deux fonctions, s'étendent du cas réel au cas complexe.
Remarque 85 La fonctionf(z) tend vers sa limite indépendamment de la manière dont le point z tend vers z0.En d'autres termes, si la limite existe, alors lorsque z tend vers z0 suivant une loi quelconque (par exemple suivant une courbe), f(z) tend vers cette limite.
Le point à l'inni ∞ est déni par l'image de l'origine par la transformation t= 1z. Par dénition :
z→∞limf(z) =l si ∀ε >0,∃δ >0 :|z|> δ=⇒ |f(z)−l|< ε.
z→zlim0
f(z) =∞ si ∀ε >0,∃δ0 :|z−z0|< δ=⇒ |f(z)|> ε.
Notons que si lim
z→z0
f(z) =l, alors lim
z→z0
f(z) =l. Il en résulte que
z→zlim0
Ref(z) =Re(l), lim
z→z0
Imf(z) =Im(l). La réciproque est également vraie.
Dénition 86 Soitz0 un point où la fonction f prend la valeur f(z0). On dit que f(z) est continue en z0 si et seulement si
z→zlim0f(z) =f(z0).
La fonction f(z) est continue dans Ω si et seulement si elle est continue en tout point deΩ.
Les propriétés classiques concernant la somme, le produit et le rapport de fonctions continues s'étendent du cas réel au cas complexe.