Z
A
Z
Bx
f(x, y)dy
dx= Z
B
Z
Ay
f(x, y)dx
! dy.
2.2 Changements de variables dans les intégrales multiples
Considérons l'application
g: Ω−→Rn, y7−→g(y) =x, oùΩest un ouvert de Rn. On a
x1 = g1(y1, ..., yn), x2 = g2(y1, ..., yn),
...
xn = gn(y1, ..., yn).
On suppose que les dérivées partielles ∂g∂yji(y),1≤i, j≤n, existent pour touty∈Ω. Rappelons que le jacobien deg est
detJg(y) = ∂(x1, ..., xn)
∂(y1, ..., yn) = det ∂gi
∂yj(y)
1≤i,j≤n
. Sin= 2, on a
detJg(y) = ∂(x1, x2)
∂(y1, y2) = det
∂x1
∂y1
∂x1
∂y2
∂x2
∂y1
∂x2
∂y2
! .
Théorème 44 (de changement de variable). SoientΩ un ouvert de Rn, Coordonnées polaires : Considérons l'application
g: Ω =]0,+∞[×]0,2π[−→R2\{(x, y)∈R2 :x≥0, y= 0},(r, θ)7−→(x, y), où
x=rcosθ, y=rsinθ.
gest une bijection de classe C1 dont le jacobien est detJg = ∂(x, y)
SoitDun secteur de couronne circulaire D=
(x, y)∈R2 :x=rcosθ, y =rsinθ, r∈[r1, r2], θ∈[θ1, θ2] , où0< r1< r2,0< θ1< θ2 <2π. On a
g−1(D) = [r1, r2]×[θ1, θ2].
D'après le théorème du changement de variable, sif :D−→Rest intégrable, alors Z Z
Exercice 2.2.1 CalculonsR R
Dsin(x2+y2)dxdy, où D=
(x, y)∈R2:x≥0, y≥0,1≤x2+y2 ≤4 . En passant aux coordonnées polaires, on trouve
g−1(D) ={(r, θ) : 1≤r≤2,0≤θ≤ π
Coordonnées sphériques : Considérons l'application
g: Ω =]0,+∞[×]0,2π[]0, π[−→R3\{(x, y, z)∈R3 :x≥0, y= 0},
g est une bijection dont le jacobien est detJg = ∂(x, y, z)
SoitDun secteur sphérique D=
(x, y, z)∈R3 :x=rcosθsinϕ, y=rsinθsinϕ, z=rcosϕ ,
où r ∈ [r1, r2], θ ∈ [θ1, θ2], ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2], avec 0 < r1 < r2, 0 < θ1 < θ2 < 2π, 0< ϕ1 < ϕ2< π2. On a
g−1(D) = [r1, r2]×[θ1, θ2]×[ϕ1, ϕ2].
D'après le théorème du changement de variable, sif :D−→Rest intégrable, alors Z Z Z
Si D = S est la sphère de rayon R, on peut faire le passage à la limite, r1 → 0,
Exercice 2.2.2 Déterminons le volume de l'intersection D du cône : x2+y2 < z2 avec la boule :x2+y2+z2<2az. En coordonnées sphériques, on a Coordonnées cylindriques : Considérons l'application
g: Ω =]0,+∞[×]0,2π[]0,2π[−→R3\{(x, y, z)∈R3 :x≥0, y = 0, z∈R},
gest bijective et son jacobien est detJg = ∂(x, y, z) du changement de variable, sif :D−→Rest intégrable, alors
Z Z Z
SiDest le cylindre
D={(x, y, z)∈R3 :x2+y2 < R2, h1 < z < h2},
Exercice 2.2.3 CalculonsR R R
D
px2+y2dxdydz, où
D={(x, y, z)∈R3 :x >0, y >0, z2< x2+y2< ax}.
On a, en coordonnées cylindriques,
g−1(D) ={(r, θ, ϕ)∈R3: 0< θ < π Exercice 2.3.3 Soitf une application continue de Rdans R.
a) Exprimer l'intégrale multiple Z b sous la forme d'une intégrale en x1.
b) Soity une fonction de x, de classe Cn, dénie sur Ret satisfaisant aux condi-tions suivantes :
Exercice 2.3.4 Calculer le volume de l'ellipsoïde x2
a2 + y2 b2 +z2
c2 = 1, (a, b, c >0).
Exercice 2.3.5 a) La transformation suivante peut-elle être utilisée comme chan-gement de variables sur le domaineD du plan limité par les droites u= 0,v= 0 et u+v= 2, ϕ(u, v) = (u+v, v−u2)?
b) Caratériser l'image deD par ϕ.
c) Calculer l'aire de ϕ(D) directement et par changement de variables.
d) Calculer directement et par changement de variables l'intégrale sur ϕ(D) de la fonction x−y+11 .
Exercice 2.3.6 Calculer l'intégrale de e
x−y
x+y sur le domaine limité par les droites x= 0, y= 0 et x+y= 1.
Exercice 2.3.7 Soit D la région du premier quadrant limitée par les hyperboles, xy= 1, xy = 3, x2−y2 = 1, x2−y2 = 4. Calculons l'intégrale de x2+y2 sur D.
Exercice 2.3.8 Calculer l'intégrale dexy sur D,
a) lorsqueDest le domaine limité par la droite y= 0 et le demi cercle déni par (x−1)2+y2 = 1 et y≥0.
b) lorsque D est le domaine limité par les droites x = 0 et y = 0 et par l'arc d'astroïdex=Rcos3t, y=Rsin3t, 0≤t≤ π2.
Exercice 2.3.9 Une sphère de rayon R1 est percée d'un trou cylindrique de rayon R2dont l'axe passe par le centre de la sphère. Calculer le volume résiduel de la sphère.
Exercice 2.3.10 Soit P = [a1, a2]×[b1, b2] le pavé de R2 et Ω un ouvert de R2 contenatP. On considère une fonctionf : Ω−→R, de classe C2. Calculer
Z Z
P
∂2f
∂x∂ydxdy.
Exercice 2.3.11 Calculer l'aire du quadrilatère curviligne limité par les arcs d pa-rabolex2=ay, x2 =by, y2=cx, y2=dx où 0< a < bet 0< c < d.
Exercice 2.3.12 Calculer le volume du corps limité par le plan z = 0, le cylindre x2+y2= 2axet le cône x2+y2 =z2.
Exercice 2.3.13 Calculer l'aire de la surface découpée sur la sphèrex2+y2+z2 =a2 par le cylindre x2+y2−ax= 0.
Exercice 2.3.14 Calculer l'intégraleR R
D xy
x2+y2dxdy, où D={(x, y)∈R2 :x >0, y >0, x+y <1}.
Exercice 2.3.15 Déterminer le volume de l'intersectionD du cône : x2+y2 < z2 avec la boule :x2+y2+z2<2az.
Exercice 2.3.16 On dénit la fonction bêta d'Euler par B(p, q) =
Z 1 0
xp−1(1−x)q−1dx.
a) Montrer que cette intégrale converge pour p∈]0,+∞[et q∈]0,+∞[.
b) Etablir la formule suivante : B(p, q) = Γ(p)Γ(q)Γ(p+q) où Γ est la fonction gamma d'Euler dénie précédemment.
Exercice 2.3.17 Etablir la formule des compléments suivante : B(p,1−p) = Γ(p)Γ(1−p) = π
sinπp, 0< p <1
oùΓ etB sont les fonctions gamma et bêta d'Euler dénies dans les exercices précé-dents.
Exercice 2.3.18 Exprimer à l'aide des fonctions gamma et bêta d'Euler, les inté-grales elliptiquesR1
0
√dx
1−x3 etR1 0
√dx
1−x4 ainsi que l'intégrale trigonométriqueRπ2
0 sinmxcosnxdx, m >−1,n >−1.
Chapitre 3
Formes diérentielles, intégrales curvilignes
(N.B. Seules les formes diérentielles de degré 1, 2 dans R2 et R3, sont au pro-gramme. Les formes diérentielles de degrék, sont données ici en tant que complé-ment).
3.1 Généralités
Formes diérentielles de degré 1: considérons l'espace vectorielRnet son espace dual (Rn)∗ = L(Rn,R). Ce dernier étant l'espace des formes linéaires sur Rn. On note(dx1, ..., dxn) la base duale de la base canonique (e1, ..., en) de Rn. Autrement dit,dx1, ..., dxn sont nformes linéaires sur Rn dénies par
dxi(ej) =
1 sii=j 0 sii6=j
Dénition 45 Soit U un ouvert de Rn. On appelle forme diérentielle de degré 1 ou1-forme diérentielle sur U, l'application dénie par
ω:U −→ L(Rn,R), x7−→ω(x) =
n
X
i=1
fi(x)dxi,
oùfi sont des applications deU dans R. Sifi ∈ Cp, (0≤p≤+∞), on dit alors que ω est de classeCp.
Notation : On désigne parfois une1-forme diérentielle par ω=ωf1 où f = (fi). Remarque 46 Soit
f :U −→R, (x1, ..., xn)7−→f(x1, ..., xn), une fonction de classeCp. La diérentielle
df =
n
X
i=1
∂f
∂xidxi, 27
est une forme diérentielle de classe Cp−1. Par ailleurs, il existe des formes dié-rentielles qui ne sont pas la diérentielle d'une fonction. Considérons par exemple la forme
ω=x1dx2,
et supposons qu'elle soit la diérentielle d'une fonctionf(x1, x2). On aurait donc ω=df = ∂f
∂x1
dx1+ ∂f
∂x2
dx2=x1dx2.
On en déduit que ∂x∂f1 = 0 (doncf ne dépend pas de x1) et ∂x∂f2 =x1 (doncf dépend dex1), ce qui est absurde.
Formes diérentielles de degré 2 : considérons l'espaceΛ2(Rn) des applications ϕ:Rn×Rn−→R, (y, z)7−→ϕ(y, z),
bilinéaires et antisymétriques. Rappelons que :
a) ϕest bilinéaire si∀α, β ∈R,∀y, z, u∈Rn, on a ϕ(αy+βz, u) =αϕ(y, u) +βϕ(z, u), ϕ(y, αz+βu) =αϕ(y, z) +βϕ(y, u).
b) ϕest antisymétrique si ∀y, z ∈Rn, on a ϕ(y, z) =−ϕ(z, y).
Notons queΛ2(Rn)est un espace vectoriel réel (voir ci-dessous). Pour décrire une base de cet espace, on introduit les applications dxi∧dxj ∈ Λ2(Rn),1 ≤ i, j ≤n, dénies par
dxi∧dxj :Rn×Rn−→R, (y, z)7−→det
yi zi yj zj
=yizj−yjzi. On en déduit que :
dxi∧dxj = −dxj∧dxi, dxi∧dxi = 0.
Proposition 47 Λ2(Rn) est un espace vectoriel de dimension n(n−1)2 et sa base est déterminée par la famille des fonctions bilinéires antisymétriques(dxi∧dxj)1≤i<j≤n.
SoientU un ouvert deRn et
fij :U −→R, x7−→fij(x),1≤i < j ≤n
des fonctions de classeCp,0≤p≤+∞. Une fonction à valeurs dansΛ2(Rn)est dite de classe Cp, si ses coordonnées dans la base (dxi ∧dxj)1≤i<j≤n sont de classe Cp. Le choix de cette base dansΛ2(Rn) détermine un isomorphisme de cet espace avec R
n(n−1)
2 .
Dénition 48 On appelle forme diérentielle de degré 2 ou 2-forme diérentielle sur U, l'application décrite par
ω:U −→Λ2(Rn), x7−→ω(x) =
n
X
1≤i<j≤n
fij(x)dxi∧dxj. Sifij ∈ Cp, (0≤p≤+∞), on dit alors queω est de classeCp.
Notation : On désigne parfois une2-forme diérentielle parω=ω2f oùf = (fij). Formes diérentielles de degré k: considérons l'espace Λk(Rn)des applications
ϕ:Rn×Rn×...×Rn−→R, (y1, y2, ..., yk)7−→ϕ(y1, y2, ..., yk), k-linéaires et antisymétriques. Rappelons que :
a) ϕestk-linéaire si ∀α, β ∈R,∀i(1≤i≤k),∀y1, ..., yk, zi∈Rn, on a ϕ(y1, ..., αyi+βzi, ..., yk) =αϕ(y1, ..., yi, ..., yk) +βϕ(y1, ..., zi, ..., yk).
b) ϕest antisymétrique si ∀y1, ..., yk∈Rn,∀i, j(1≤i, j≤k, i6=j), on a ϕ(y1, ..., yi, ..., yj, ..., yk) =−ϕ(y1, ..., yj, ..., yi, ..., yk).
On montre queΛk(Rn)est un espace vectoriel réel (voir ci-dessous). Introduisons les applicationsdxi1∧...∧dxik ∈Λ2(Rn),1≤i1, i2, ..., ik ≤n, dénies par
dxi1 ∧...∧dxik :Rn×Rn×...×Rn−→R,
(y1, y2, ..., yk)7−→det
y1i1 y1i2 ... y1ik
y2i1 y2i2 ... y2ik ... ... ... ...
yki1 yki2 ... ykik
, 1≤i1, ..., ik≤n
On déduit des propriétés des déterminants que :
dxi1∧...∧dxir∧...∧dxis∧dxik =−dxi1 ∧...∧dxis∧...∧dxir ∧dxik, et en particulier siir=is, alors
dxi1 ∧...∧dxir ∧...∧dxir∧dxik = 0.
Pourk > n, on adxi1 ∧...∧dxik = 0.
Proposition 49 Λk(Rn) est un espace vectoriel de dimension k!(n−k)!n! et la famille des fonctions bilinéires antisymétriques(dxi1∧...∧dxik)1≤i1<...<ik≤n, forme une base de cet espace.
SoientU un ouvert deRn et
fi1,...,ik :U −→R, x7−→fi1,...,ik(x),1≤i1 < ... < ik≤n
des fonctions de classeCp,0≤p≤+∞. Une fonction à valeurs dansΛk(Rn)est dite de classe Cp, si ses coordonnées dans la base (dxi1 ∧...∧dxik)1≤i1<...<ik≤n sont de classeCp. Le choix de cette base détermine un isomorphisme :Λk(Rn)'R
n!
k!(n−k)!. Dénition 50 On appelle forme diérentielle de degré k ou k-forme diérentielle sur U, l'application décrite par
ω :U −→Λk(Rn), x7−→ω(x) = X
1≤i1<...<ik≤n
fi1,...,ikdxi1∧...∧dxik. Sifi1,...,ik ∈ Cp, (0≤p≤+∞), on dit alors que ω est de classeCp.
Notation : On désigne parfois une k-forme diérentielle par ω = ωfk où f = (fi1,...,ik).
Notons que pour k= 0, on convient qu'une 0-forme dans U est simplement une fonctionf :U −→R,x7−→f(x). On utilisera parfois la notationωf0.
Proposition 51 Lesk-formes diérentielles surU, forment un espace vectoriel noté Ωk(U).