Le théorème des résidus est particulièrement utile dans le calcul de certaines intégrales réelles dénies. Le principe de la méthode est le suivant : soit à calculer l'intégrale réelle
I = Z b
a
f(x)dx.
On associe àf(x)la fonctiong(z)et un chemin ferméγ tels que l'on puisse appliquer le théorème des résidus à l'intégrale deg(z) surγ et tels que sur une partie C de γ on ait
Z
C
g(z)dz= Z b
a
f(x)dx.
Si le calcul de l'intégrale de g(z) sur la partie complémentaire de C est possible, le calcul deI est ainsi ramené à celui d'une intégrale dans le plan complexe.
Pour le calcul des intégrales réelles, on fait souvent appel aux lemmes de Jordan suivants :
Lemme 125 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z=reiθ, r >0, 0≤θ1 ≤θ≤θ2≤2π. Silim|z|→∞zf(z) = 0, alors
r→∞lim Z
γr
f(z)dz= 0,
oùγr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 etθ2.
Lemme 126 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z=reiθ, r >0, 0≤θ1 ≤θ≤θ2≤2π. Silim|z|→0zf(z) = 0, alors
r→0lim Z
γr
f(z)dz = 0,
oùγr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 etθ2.
Lemme 127 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z=reiθ, r >0, 0≤θ1 ≤θ≤θ2≤π. Silim|z|→∞f(z) = 0, alors
r→∞lim Z
γr
f(z)eimzdz= 0, m >0
oùγr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 etθ2.
Le même resultat reste valable pour le casm <0 à condition de considérer l'arc de cercle dans le demi plan inférieur Imz <0.
Soientθ1, θ2 ∈[0,2π]et
γε: [θ1, θ2]−→C, θ7−→z0+εeiθ, un chemin dont l'image est un arc de cercle.
Lemme 128 (du petit cercle). Sif est holomorphe sur γε(z0) pour ε≤ε0 et possè-dant un pôle simple enz0, alors
ε→0lim Z
γε(z0)
f(z)dz=i(θ2−θ1)Rés(f, z0), où Rés(f, z0) = lim
z→z0
θ1≤argz≤θ2
(z−z0)f(z) est le résidu de f en z0.
Lemme 129 (du grand cercle). Si f est holomorphe sur γr(z0) pour r assez grand et possèdant un pôle simple en z0, alors
r→∞lim Z
γr(z0)
f(z)dz =i(θ2−θ1)Rés(f, z0), où Rés(f, z0) = lim
|z|→+∞
θ1≤argz≤θ2
(z−z0)f(z).
a) Intégrales ne faisant pas appel à des fonctions multiformes.
Type 1 : Z 2π 0
f(cosθ,sinθ)dθ
oùfest une fonction rationnelle encosθetsinθdont le dénominateur ne s'annule pas dans l'intervalle[0,2π]. On eectue le changement de variablez=eiθ, qui transforme [0,2π]en le bordγ du disque unité du plan complexe.
On utilise les formules
cosθ = eiθ+e−iθ
2 = z+z−1 2 , sinθ = eiθ−e−iθ
2i = z−z−1 2i , etdz=ieiθdθ=izdθ, ou plus généralement, les formules
cosnθ = einθ+e−inθ
2 = zn+z−n
2 ,
sinnθ = einθ−e−inθ
2i = zn−z−n 2i , et
dz=ineinθdθ=inzdθ, et l'intégrale en question devient
Z
γ
f
z+z−1
2 ,z−z−1 2i
dz iz,
γ étant le cercle unité. En appliquant le théorème des résidus, on obtient Z 2π
0
f(cosθ,sinθ)dθ= 2πiX Rés
f(z+z−1
2 ,z−z−1 2i )1
iz, zj ∈int D
. CommeD est le disque unité, alorszj ∈int D⇔ |zj|<1, et
Z 2π 0
f(cosθ,sinθ)dθ= 2πiX Rés
f(z+z−1
2 ,z−z−1 2i )1
iz, |zj|<1
.
Type 2 : Z +∞
Les conditions imposées sont nécessaires et susantes pour que l'intégrale converge.
On considère l'intégraleR
γ P(z)
Q(z)dz, oùγ =C ∪[−r,+r]est le chemin fermé suivant :
et on fait tendrer vers l'inni. Si PQ(x)(x) est paire, on peut utiliser cette méthode pour calculerR+∞
−∞
P(x)
Q(x)dx. En appliquant le théorème des résidus et le lemme de Jordan, on obtient
où la somme est étendue aux pôleszj de PQ(z)(z) situés dans le demi-plan supérieur du plan complexe.
Il faut bien noter que limN→∞RN
−N P(x)
Q(x)dx, peut exister (valeur principale de Cau-chy) sans que l'intégraleR+∞
−∞
P(x)
Q(x)dx converge comme le montre l'exemple suivant : limN→∞RN
−Nsinxdx = 0, mais l'intégrale R+∞
−∞ sinxdx diverge. Dès lors pour que l'on puisse avoir il faut que l'intégrale en question converge.
Type 3 : Z +∞
•ces intégrales convergent.
•m >0 (resp.m <0).
• f holmorphe dans le demi-plan fermé supérieur (resp. inférieur) sauf en un nombre ni de pôles, les pôles réels étant simples.
•lim|z|→∞f(z) = 0, Im z >0 (resp. Imz <0).
Nous allons distinguer deux cas :
1er cas : Les points singuliers de f ne sont pas sur l'axe réel. Notons que Z +∞
−∞
f(x)eimxdx= Z +∞
−∞
f(x) cosmxdx+i Z +∞
−∞
f(x) sinmxdx.
Le calcul de la première intégrale donne donc les deux autres (puisque celles-ci sont des nombres réels). On calculeR
γf(z)eimzdz, où γ =C ∪[−r, r]:
et on fait tendrervers l'inni. En appliquant le théorème des résidus et le lemme de Jordan, on obtient
Z +∞
−∞
f(x)eimxdx
=
2πiP
résidus dans le demi-plan supérieur def(z)eimz sim >0
−2πiPrésidus dans le demi-plan inférieur def(z)eimz sim <0 D'où,
Z +∞
−∞
f(x) cosmxdx=ReZ +∞
−∞
f(x)eimxdx, Z +∞
−∞
f(x) sinmxdx=ImZ +∞
−∞
f(x)eimxdx.
2ème cas : La fonction f(z) peut posséder des points singuliers (pôles simples) sur l'axe réel. Dans ce cas, on raisonne de manière analogue au cas précédent en intégrant la fonction f(z)eimz sur des chemins fermés modiés de façon à ne pas contenir ces singularités.
b) Intégrales faisant appel à des fonctions multiformes.
Le principe de la méthode est identique à celui du paragraphe a), à ceci près que les intégrants multiformes doivent être uniformisés au moyen d'une coupure adéquate.
Les contours d'intégration ne pouvant pas traverser ces coupures, l'intégrant sera déterminé univoquement par une de ses déterminations le long de ces contours.
Type I : Z +∞
0
xαf(x)dx, 0< α <1
où f est holomorphe sauf en un nombre ni de points qui ne sont pas sur le demi-axe réel x >0. Supposons que f décroît plus vite à l'inni que x12, ce qui assure la convergence de l'intégrale en question. On calculeR
γzαf(z)dz, où γ =γ1∪[R, r]∪γ2∪[r, R],
Le pointz= 0est un point de branchement de l'intégrant. La coupure rend celui-ci uniforme surγ. On choisira la détermination de l'intégrant telle que :
zα=
xα sur le bord supérieur de la coupure xαe2πiα sur le bord inférieur de la coupure On applique le théorème des résidus :
Z
γ
zαf(z)dz = Z
γ1
zαf(z)dz+ Z r
R
e2πiαxαf(x)dx +
Z
γ−2
zαf(z)dz+ Z R
r
xαf(x)dx,
= 2πiX
Résidus aux points singuliers de la détermination choisie pour zαf(z).
Le reste consiste à calculer les limites des intégrales sur γ1 etγ2 quand R → ∞ et r→0.
Type II : Z +∞
0
f(x) logxdx
où f est une fraction rationnelle n'ayant pas de pôles sur le demi-axe x ≥ 0. On suppose quef décroît plus vite à l'inni que 1x; c-à-d.,limx→∞xf(x) = 0. On a déjà vu quelogz est multiforme à une innité de déterminations et que z= 0 en est un point de ramication. On utilise le même contour que dans le cas précédent et on applique le théorème des résidus tout en tenant compte du fait que l'argument dez
vaut0 sur le bord supérieur de la coupure et2π sur le bord inférieur de celle-ci. On a
Z
γ
f(z)(logz)2dz = Z
γ1
f(z)(logz)2dz+ Z r
R
f(x)(logx+ 2πi)2dx +
Z
γ−2
f(z)(logz)2dz+ Z R
r
f(x)(logx)2dx,
= 2πiX
Résidus de la détermination choisie def(z)(logz)2aux pôles def(z).
Le reste consiste à calculer les limites des intégrales sur γ1 etγ2 quand R → ∞ et r → 0. On montre que ces intégrales tendent vers 0 en vertu du lemme de Jordan.
D'où
Z ∞ 0
f(x) logxdx+πi Z ∞
0
f(x)dx
=−1 2
XRésidus de la détermination choisie de f(z)(logz)2aux pôles def(z)
et il sut de comparer partie réelle et partie imaginaire pour obtenir les intégrales en question. Notons que dans le cas particulier oùf(x) est paire, on peut obtenir le même résultat en considérant le circuit suivant :
avecγ =γ1∪[−R,−r]∪γ2∪[r, R].
Type III : Z b
a
f(x)n q
(x−a)k(b−x)n−kdx
où f est une fraction rationnelle n'ayant pas de pôles sur l'intervalle [a, b] et n, k sont de entiers avec0< k < n. Notons quef(z)pn
(z−a)k(b−z)n−kest multiforme
àndéterminations.
On calcule l'intégrale Z
γ
f(z)n q
(z−a)k(b−z)n−kdz,
oùγ =γ1∪[α1, β1]∪γ2∪[β2, α2],γ1 ={z:|z−a|=r},γ2 ={z:|z−b|=r}. La coupure rend l'intégrant uniforme surγ. Posons
ϕ(z) =f(z)n q
(z−a)k(b−z)n−k.
On choisira la détermination de l'intégrant telle que : ϕ(z) sera égal à ϕ(x) sur le bord supérieur de la coupure. SoitC le cercle de centre a(arbitraire) et de rayon R (voir gure ci-dessus). On obtient
Z
C
ϕ(z)dz+ Z
γ−
ϕ(z)dz
= 2πiX
Résidus de la détermination choisie deϕ(z) aux pôles def(z).
Le reste consiste à calculer les limites de ces intégrales quand R → ∞ et r → 0. Les intégrales surγ1 etγ2 tendent vers0 en vertu du lemme de Jordan. L'intégrale sur[α1, β1]tend vers l'intégrale que l'on cherche à calculer et que l'on note I. Pour passer de [α1, β1] à [β2, α2], z décrit le cercle γ2 de centre b dans le sens négatif.
Dans ce cas, l'argument deb−z augmente de−2π tandis quez−areste inchangé.
Dès lors,ϕ(z) augmente de−2π(n−k)n car(b−z)n−k augmente de−2π(n−k). Donc l'intégrale sur[β2, α2]tend vers −e−2πi(n−k)n I. Par conséquent,
R→∞lim Z
C
ϕ(z)dz+
1−e−2πi(n−k)n I
= 2πiX
Résidus de la détermination choisie deϕ(z) aux pôles def(z), et le calcul de I s'en déduit aisément. Signalons que souvent le calcul de la limite ci-dessus lorsqu'elle n'est pas nulle se fait en développant l'intégrant en série de Laurent.
4.7 Exercices
Exercice 4.7.1 Montrer que la fonction cosinus complexe cos :C −→C, n'est pas bornée.
Exercice 4.7.2 Montrer que lim
z→0
z
z n'existe pas.
Exercice 4.7.3 Soitf ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonction f est holomorphe si et seulement si la forme diérentielleω=f dz est fermée dansΩ.
Exercice 4.7.4 Soitf(z) =u(x, y) +iv(x, y), une fonction complexe d'une variable complexez=x+iy.
a) Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaineΩ, on peut l'y exprimer au moyen de z seul.
b) Comment trouver formellement l'expression de u(x, y) +iv(x, y) au moyen de z seul ?
c) On suppose que u et v soient diérentiables. Montrer que si la fonction f(z) s'exprime au moyen dez seul, alors elle est holomorphe.
d) Supposons que la fonctionf soit holomorphe et que f0(z)6= 0. Posonsg(z) = P(x, y) +iQ(x, y).Montrer que g est holomorphe si et seulement si df∧dg= 0. Exercice 4.7.5 Exprimer la fonction
xy− i
2(x2−y2), au moyen de z seul.
Exercice 4.7.6 Montrer que la règle de l'Hospital reste valable dans le cas complexe, à savoir, sif(z0) =g(z0) = 0 alors :
z→zlim0
f(z)
g(z) = f0(z0) g0(z0), sig0(z0) est non nul et sif et g sont dérivables enz0.
Exercice 4.7.7 Soit f :C −→ C, une fonction holomorphe, z = x+iy et posons f(z) =u(x, y) +iv(x, y). On suppose qu'il existe trois nombres réels a, b, c non tous nuls et tels que :au+bv=c. Montrer que f est constante.
Exercice 4.7.8 Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas holomorphes.
a) f(z) =Re(z). b) g(z) =z.
Exercice 4.7.9 Montrer que la fonction f(z) = i√
xy, z = x+iy, x ≥ 0, y ≥ 0, satisfait aux équations de Cauchy-Riemann au point z = 0 mais n'est pas dérivable en ce point.
Exercice 4.7.10 Soit f une fonction holomorphe dans Ω ⊂ C. Déterminer une condition nécessaire pour que f soit aussi holomorphe dans Ω⊂C.
Exercice 4.7.11 CalculerR
γz2dzoù γ est le segment de droite reliant le pointz0 =
−i au point z1 = 2 +i, orienté de z0 à z1.
Exercice 4.7.12 Appliquer la formule de majoration ci dessus au cas de l'intégrale R
γ
dz
z2 où γ est un arc de cercle de centre 0, de rayon R et d'angle au centre θ.
Exercice 4.7.13 Soitf ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonction f admet une primitive dans Ω si et seulement si la forme diérentielle ω =f dz est exacte dansΩ.
Exercice 4.7.14 a) Calculer l'intégrale R
γ
1 +z
z dz, lorsque γ est le périmètre du carré de centre0, dont un sommet est le point (1,1) du plan complexe.
b) Même question lorsque γ est la circonférence du plan complexe d'équation : x2+y2−4x+ 3 = 0.
c) Calculer l'intégrale R
γ
cos 2πz
(z−1)7dz, où γ est le cercle|z|= 2. Exercice 4.7.15 Calculer l'intégrale
Z
γ
ez2 z(z−6)dz.
a) γ désignant le cercle |z−2|= 1. b) γ désignant le cercle |z−2|= 3.
c) γ désignant le cercle |z−2|= 5.
Exercice 4.7.16 Déterminer les premiers termes du développement de Laurent de f(z) = 1
sinz,
au voisinage dez= 0dans le disque D∗ de centre 0, privé de son centre, et de rayon π.
Exercice 4.7.17 Même question pour
f(z) = 1
(z−1)2(z−4)3,
au voisinage de z= 1, dans le disque ouvert D∗ de centre 1, privé de son centre et de rayon 3.
Exercice 4.7.18 Trouver et qualier les points singuliers de la fonction dénie par
f(z) = z
(z−1)2(z+i).
Exercice 4.7.19 Montrer quez= 0 est un point singulier essentiel de la fonction f(z) =e1z.
Exercice 4.7.20 Développer en série de Laurent la fonction f(z) =ez+e1z,
autour de l'origine du plan complexe.
Exercice 4.7.21 Développer en série de Laurent la fonction f(z) =− 2
(z−1) (z+ 1),
autour dez= 1, dans les couronnes : 0<|z−1|<2 et 2<|z−1|. Exercice 4.7.22 Calculer les résidus de la fonction
f(z) = z
(z−1)(z−2)2, en tous les pôles à distance nie.
Exercice 4.7.23 Calculer le résidu de la fonction f(z) = cosz. chz
z3sinz. shz, au pointz= 0.
Exercice 4.7.24 Calculer le résidu de la fonction f(z) =e1z, au pointz= 0.
Exercice 4.7.25 Calculer l'intégrale Z
γ
z
(z−1)(z−2)2dz,
oùγ est le cercle de centre 0 et de rayon respectivement : 12, 32 et 3.
Exercice 4.7.26 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus : a) Z 2π
0
dθ a+ cosθ, b)
Z 2π 0
dθ
a+ sinθ, a >1.
Exercice 4.7.27 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus :
Exercice 4.7.28 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus : Z 2π
0
cos 3θ 5−4 cosθdθ.
Exercice 4.7.29 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus : a)
Exercice 4.7.30 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus : a)
Exercice 4.7.31 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus : Z ∞
Exercice 4.7.32 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus : Z ∞
0
sinx x dx.
Exercice 4.7.33 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus : Z ∞
0
sin4kx
x2 dx, k >0.
Exercice 4.7.34 Calculer les intégrales de Fresnel : Z ∞
Exercice 4.7.35 Calculer l'intégrale suivante : Z ∞
−∞
eax
1 +exdx, 0< a <1
Exercice 4.7.36 Calculer l'intégrale suivante : Z ∞
−∞
eax−ebx
1 +ex dx, 0< a, b <1 Exercice 4.7.37 Calculer l'intégrale suivante :
Z ∞ 0
e−ax2cosbxdx, a >0, b >0 Exercice 4.7.38 Calculer l'intégrale suivante :
Z ∞ 0
xα
(1 +x)xdx, 0< α <1.
Exercice 4.7.39 Calculer l'intégrale suivante : Z ∞
0
logx 1 +x2dx.
Exercice 4.7.40 Calculer l'intégrale suivante : Z 1
0
p4
x3(1−x)dx, en utilisant
a) un calcul direct.
b) la méthode des résidus.
Exercice 4.7.41 Calculer l'intégrale suivante : Z ∞
0
sinax
x(x2+b2)dx, a >0, b >0
Bibliographie
[1] Genet, J. et Pupion, G : Analyse moderne, tome 2, Vuibert, 1974.
[2] Lesfari, A. : Notions fondamentales d'analyse mathématique (Résumés de cours, exercices et problèmes corrigés). Ellipses, Paris, 25 février 2014.
[3] Lesfari, A. : Variables complexes (Cours et exercices corrigés), éditions Ellipses, Paris, 9 septembre 2014.
[4] Lesfari, A. : Formes diérentielles et analyse vectorielle (Cours et exercices ré-solus), éditions Ellipses, Paris, 16 mai 2017.
[5] Lesfari, A. : Fonctions spéciales de la physique mathématique (Cours et exercices résolus), éditions Ellipses, Paris, 28 novembre 2017.
[6] Lesfari, A. : Problèmes résolus de mathématiques supérieures, éditions Ellipses, Paris, 4 juin 2019.
75