Soit (x, t)7−→f(x, t) une fonction dénie surI×[a, b[, b ni ou inni. On considère le cas b= +∞, c'est-à-dire, les intégrales généralisées de la forme
Z +∞
a
f(x, t)dt, dépendant d'un paramètrex∈I.
Les résultas suivants sont valables aussi pour les autres intégrales générali-sées de la forme
Z b a
f(x, t)dt, dépendant d'un paramètre x∈I.
Dénition 4 On dit que l'intégrale généralisée Z +∞
a
f(x, t)dt converge pour x∈I si et seulement si la limite
u→+∞lim Z u
a
f(x, t)dt,
existe. Autrement dit,
∀x∈I,∀ε >0,∃A(ε, x) :∀u≥A(ε, x) =⇒
Z u a
f(x, t)dt−F(x)
≤ε
(A(ε, x) dépend en général de ε et x).
Dénition 5 On dit que l'intégrale généralisée Z +∞
a
f(x, t)dt converge abso-lument sur I si et seulement si Z +∞
a
|f(x, t)|dt converge sur I.
Les questions que l'on rencontre lors de l'étude des suites et séries de fonc-tions concernant la continuité, la dérivabilité et l'intégration, se posent aussi aux intégrales généralisées dépendant d'un paramètre. En l'absence d'hypo-thèses supplémentaires, les trois propositions précédentes ne sont plus valables pour le cas de ces intégrales. Par exemple, la fonction dénie par
F(x) = Z +∞
0
xe−xtdt, x∈[0,1], t≥0 n'est pas continue sur[0,1]car
F(x) =
1 si x >0 0 si x= 0
et pourtant la fonctionf(x, t) =xe−xt est continue pour x∈[0,1]. Nous allons introduire la notion de convergence uniforme.
Dénition 6 On dit que l'intégrale généralisée Z +∞
a
f(x, t)dt converge uni-formément surI si et seulement si
∀ε >0,∃A(ε) :∀u≥A(ε),∀x∈I =⇒
Théorème 7 (Critère de Cauchy). L'intégrale généraliséeZ +∞
a
f(x, t)dtconverge uniformément sur I si et seulement si
∀ε >0,∃A(ε) :∀u > v ≥A(ε),∀x∈I =⇒
Théorème 8 Si f est continue sur I ×[a,+∞[ et si l'intégrale généralisée Z +∞
a
f(x, t)dt converge uniformément sur I vers F(x), alors F est continue sur I.
Théorème 9 Supposons quef et ∂f∂x sont continues surI×[a,+∞[. S'il existe x0 ∈ I tel que
∂x(x, t)dt converge unifor-mément sur I, alors F(x) =
Z +∞
a
f(x, t)dt converge uniformément sur I et elle est de classe C1 sur I. En outre, on a
Théorème 10 Si f est continue sur I×[a,+∞[ et si l'intégrale généralisée Z +∞
Théorème 11 S'il existe une fonction positive ϕ(t), intégrable sur [a, u], u≥ a, telle que :
|f(x, t)| ≤ϕ(t), ∀x∈I et siZ +∞
a
ϕ(t)dt converge, alors l'intégraleZ +∞
a
f(x, t)dtconverge absolument et uniformément sur I.
Exemple 12 L'intégrale généraliséeZ +∞
1
costx
t2 dtconverge absolument et uni-formément car
Le critère d'Abel-Dirichlet s'énonce comme suit,
Théorème 13 Soientf, g:I×[a,+∞[−→R, deux fonctions satisfaisant aux conditions suivantes :
(i) pour tout x ∈ I, la fonction t 7−→ f(x, t) est positive, décroissante et limt→+∞f(x, t) = 0 uniformément sur I.
(ii) pour tout x∈I, la fonctiont 7−→g(x, t)est intégrable sur [a, u], u≥a et il existe une constante C (indépendante de u et de x) telle que,
Alors l'intégrale Z +∞
a
f(x, t)g(x, t)dt converge absolument et uniformément sur I.
Théorème 14 (de convergence dominée). Soit(fk) une suite de fonctions de I dans R, continues par morceaux sur I et convergeant simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux. S'il existe une fonction g : I −→ R+
continue par morceaux sur I telle que :
∀k ∈N, |fk(x)| ≤g(x), (hypothèse de domination) alors f est intégrable sur I et
k→∞lim
Théorème 15 Soit (fk) une suite de fonctions de I dans R, continues par morceaux, intégrables surI et telle que la série P
fk converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux. Si la série P R
I|fk| converge, alors f est intégrable sur I et
Z
I
Xfk =XZ
I
fk = Z
I
fk.
Théorème 16 (de convergence dominée de Lebesgue). Soit (fk) une suite de fonctions sommables. Si (fk) converge simplement presque partout vers une fonction f et s'il existe une fonction sommable g telle que :
|fk(x)| ≤g(x), presque partout, alorsf(x) est sommable et
k→∞lim Z
fk(x)dx= Z
k→∞limfk(x)dx= Z
f(x)dx.
Pour des notions sur les fonctions sommables, voir le complément (facultatif) ci-dessous :
Compléments : on a rassemblé ici quelques notions sommaires sur la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue.
Dénition 17 SoitΩun ensemble. Une classeA de parties deΩ est dite une tribu (ouσ-algèbre de Boole) surΩ si les conditions suivantes sont satisfaites :i) Ω∈ A, ii) ∀A∈ A, Ac∈ A, iii)siA1, A2, . . . est une innité dénombrable de parties de A, alors S∞
i=1Ai∈ A.
Exemple 18 L'ensemble{∅,Ω}est une tribu (dite triviale) de Ω. L'ensembleP(Ω) des parties deΩ, est une tribu (dite grossière) deΩ. L'ensemble{∅,N,{1,2},{3,4, . . .}}
est une tribu surN. Par contre, l'ensembleA={A:A⊆N etA ni} n'est pas une tribu sur Ncar N∈ A/ .
Dénition 19 SoientΩun ensemble etB ⊆ P(Ω)un ensemble de parties deΩ. On appelle tribuτ(B)engendrée parB, la plus petite tribu contenantB, c'est-à-direτ(B) est une tribu telle que :B ⊆τ(B)et pour toute autre tribuAcontenantB,τ(B)⊆ A. Exemple 20 Soient A et B deux sous-ensembles de Ω. On a
τ({A}) = {∅, Ω, A, Ac},
τ({A, B}) = {∅,Ω, A, B, Ac, Bc, A∪B, Ac∪B, A∪Bc, Ac∪Bc, A∩B, Ac∩B, A∩Bc, Ac∩Bc, (A∪B)∩(Ac∪Bc),(A∩B)∪(Ac∩Bc)}.
Dénition 21 SoitΩ =RetBla tribu de parties deRengendrée par les intervalles de la forme]− ∞, a], a∈R. On dit que Best la tribu borélienne (ou tribu de Borel) deR et ses éléments sont appelés les boréliens de R.
Remarque 22 La tribu borélienne deRcontient tous les intervalles et tous les points de R. La tribu borélienne de Rn est la tribu engendrée par les parties de Rn de la forme]− ∞, a1]× · · · ×]− ∞, an], où a1, . . . , an∈R.
Dénition 23 a) Soit Ω un ensemble muni d'une tribu B. On dit qu'une fonction µ:B →Rest une mesure dénie surBsi∃B ∈ Btel que :µ(B)<∞et siB1, B2, . . . est une innité dénombrable de parties disjointes de B, alors
µ
∞
[
i=1
Bi
!
=
∞
X
i=1
µ(Bi),
c'est-à-direµ est dénombrablement ou complètement additive.
b) Un ensemble E⊂Ω est dit mesurable lorsque E∈ B.
c) Une mesure dénie sur B est dite positive si, ∀B ∈ B, µ(B)≥0.
Exemple 24 µ(∅) = 0. Mesure de Lebesgue : µ(]a, b]) = b−a=longueur de ]a, b]. µ(]a, b]×]c, d]) = (b−a) (d−c)=aire de]a, b]×]c, d]. Mesure de Dirac au point a: µ(A) = 1 si a∈A et = 0 si a /∈A
Dénition 25 Soient Ω1 et Ω2 deux ensembles munis respectivement des tribus B1 etB2. On dit qu'une fonctionf : Ω1 →Ω2 est mesurable si,∀B2∈ B2,f−1(B2)∈ B1.
On trouvera dans la littérature d'autres dénitions,
a) Une partie E ⊆R est dite de mesure nulle si pour tout ε > 0, il existe une suite(Ik) d'intervalles de longueurlk telle que :
E ⊆
∞
[
k=0
Ik,
∞
X
k=0
lk≤ε.
b) La locution presque partout (en abrégé p.p.) signie sauf sur un ensemble de mesure nulle.
c)SoitI un intervalle deR. Une fonctionf :I →Rest dite mesurable s'il existe une suite(ϕk)de fonctions en escalier surIqui converge simplement presque partout versf surI.
Toutes les fonctions que l'on rencontre en pratique sont mesurables.
Avant de dénir l'intégrale au sens de Lebesgue, rappelons briévement ce qu'est l'intégrale au sens de Riemann. Soit f une fonction réelle bornée dénie sur un intervalle [a, b]. Pour dénir l'intégrale au sens de Riemann, notée Rb
af(x)dx, on considère une subdivision de[a, b]en un nombre ni de points tels que : a =α0 <
α1 < . . . < αk =b,et on écrit Z b
a
f(x)dx= lim
k→∞
k
X
i=1
(αi+1−αi)f(ξi), αi ≤ξi ≤αi+1,
ce qui représente l'aire comprise entre le graphe defet l'axeox. Pour qu'une fonction bornée soit intégrable au sens de Riemann, il faut et il sut que l'ensemble des points de discontinuités def soit de mesure nulle.
L'idée principale de la construction de l'intégrale de Lebesgue, réside dans le fait de considérer une subdivision du domaine des valeurs def (et non du domaine [a, b]de f, comme dans le cas de Riemann). Soitf une fonction mesurable réelle et positive. Soit [m, M]un intervalle sur l'axe oy tel que : Imf ⊂[c, d] et considérons une subdivision de [c, d] en un nombre ni de valeurs distinctes yk. Posons Ei = {x ∈ [a, b] : yi ≤ f(x) ≤ yi+1} = f−1([yi, yi+1]), et µ(Ei) = mesure de Ei. C'est la longueur usuelle de Ei si Ei est un intervalle ou une réunion nie d'intervalles disjoints.
Dénition 26 a) L'intégrale de Lebesgue R
f dµ (µ étant la mesure de Lebesgue) est la limite commune des sommesPk
i=1yiµ(Ei) etPk
i=1yi+1µ(Ei). Autrement dit, l'expression Pk
i=1ηiµ(Ei), ∀ηi ∈ [yi, yi+1[, représente une approximation de l'aire comprise entre le graphe de f et l'axe ox.
b) On dit qu'une fonctionf est intégrable au sens de Lebesgue ou sommable si et seulement sif est mesurable et R
|f|dµ est ni.
Une autre façon de dénir l'intégrale au sens de Lebesgue, consiste à introduire la notion de fonction positivement intégrable. SoitI un intervalle deRetf :I −→R une fonction.
a)On dit que f est positivement intégrable, s'il existe une suite croissante (ϕk) de fonctions en escalier surI qui converge simplement versf presque partout surI et telle que lim
k→∞
R
Iϕk existe.
b) La fonction f est dite intégrable au sens de Lebesgue ou sommable sur I, si elle est la diérence de deux fonctionsf1 et f2 positivement intégrables c'est-à-dire sif =f1−f2.
c) L'intégrale de Lebesgue de f surI estR
If =R
Ig2. Autrement dit, l'intégraleR
If est indépendante du mode de représentation de la fonctionf par une diérence de fonctions positivement intégrables.
e) Si deux suites croissantes (ϕk) et (ψk) de fonctions en escalier vérient les conditions de la dénition précédente (voir fonction positivement intégrable) pour une même fonctionf, alors lim
k→∞ qui intervient dans la dénition de fonction positivement intégrable, ne dépend pas du choix de la suite(ϕk).
Toute fonction intégrable au sens de Riemann est intégrable au sens de Lebesgue et les deux intégrales sont égales. L'intégrale de Lebesgue généralise celle de Riemann puisqu'elle permet d'intégrer des fonctions qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann dès que les discontinuités ne forment pas un ensemble de mesure nulle.
Exemple 27 La fonction de Dirichletf(x) = 1sixest rationnel et= 0 sinon, n'est pas intégrable au sens de Riemann (elle est discontinue en tout point), par contre, elle est intégrable au sens de Lebesgue et son intégrale est nulle.
Remarques importantes pour les applications : a) Une condition susante, très utilisée, pour montrer qu'une fonction est sommable est la suivante : une fonctionf n'ayant qu'un nombre ni de points de discontinuité est sommable si et seulement si
|f|est intégrable au sens de Riemann.
b) Dans la pratique, pour prouver qu'une fonction est sommable, il sut de montrer qu'elle est majorée en module par une fonction positive dont l'intégrale est convergente. Lorsque l'intégrale est prise au sens de Lebesgue, il ne s'agit pas d'intégrales généralisée car il y a convergence absolue.
Dénition 28 Soit Ω un ouvert de Rn. On note L1(Ω) ou plus simplement L1, l'espace vectoriel (sur R ou C) des fonctions sommables sur Ω. L'espace L1(Ω) ou L1 est, par dénition, le quotient de L1 par la relation d'équivalence égalité presque partout.
Remarques 29 a) Pour montrer que f ∈ L1 , il sut de vérier que l'intégrale R
Ω|f(x)|dx existe. De même, pour montrer que f ∈ L2, il sut de vérier que R
Ω|f(x)|2dxexiste. Rappelons que sif est réelle,|f(x)|2 =f2(x)et sif est complexe,
|f(x)|2 =f(x)f(x).
b) Deux fonctions égales presque partout seront considérées comme égales. Et conformément à l'usage, on confondra d'une partL1 etL1 et de l'autre L2 etL2.