Sujet 2

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Sujet 2

M : Zribi

4

^ème

Sc

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Exercice 1:

1) a) Résoudre dans l’équation (E) : z²2i 3z  4 0 .

b) Mettre les solutions de l’équation (E) sous forme exponentielle.

2) Pour tout z ^ ; on pose P(z)= z³2(1i 3)z²  4( 1 i 3)z 8 . a) Calculer P(2).

b) En déduire une factorisation de P(z).

c) Résoudre dans l’équation P(z)=0.

3) a) Placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé



^{O u v}^{, ,}



les points A, B et C d’affixes respectives zA =2 ; zB= 1 i 3 et zC = 1 i 3 . b) Montrer que OACB est un losange.

Exercice 2:

L’espace est muni d’un repère orthonormé



^{O,i , j ,k}



^.

1) On considère le plan P passant par le point B( 1, -2, 1 ) et de vecteur normale _P

2 n 1

5

 

 

 

ainsi que le plan R : x 2y 7 0   a) Démontrer que P et R sont perpendiculaires.

b) Les deux plans Pet R se coupent suivant la droite . Déterminer une équation paramétrique de la droite  . Vérifier que passe par le point C ( - 1, 4 , -1) et que le vecteur

2 u 1

1

 

 

 

 

est un vecteur directeur 2) Soit le point A ( 5, -2 ,-1 ) . Calculer d A,







3) Soit S l’ensemble des points M( x , y ,z ) tel que : x²y²z²4x 2z 0  a) Démontrer que S est une sphère et en préciser les coordonnées de son

centre I et de son rayon R .

b) Démontrer que S est tangente au plan R

c) La sphère S coupe le plan P suivant un cercle ( C ) . Déterminer les coordonnées de son centre et son rayon .

Exercice 3:

Dans la figure ci-dessous :

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(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O, i, j}



^{, d’une}

fonction f définie sur [0,+∞[ \{e}.

 (OA) est la tangente à (C) au point d’abscisse 1.

 (D) :x=y est une asymptote à (C) au voisinage de +∞.

 la droite d’équation x=e est une asymptote verticale pour (C).

1) Par une lecture graphique : a) Déterminer

x x x 1

x e

f (x) 2 lim f (x); lim f (x); lim f (x) x ; lim

    x 1



 

 . b) Etudier le signe de f(x)-2x.

2) soit ¹₁

2

I (x ln x ) dx.

a) en utilisant une intégration par parties, montrer que J=^{ln 2} ³

8 16. b) en déduire la valeur de J= ¹₁

2

(x 1 x ln x) dx 

 .

3) on admet que f est la fonction définie sur [0,+∞[ par

f (x) x 1 si x 0

1 ln x f (0) 0

   

 

 



montrer que f est continue à droite en 0

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4) a) montrer que pour tout x ¹,1 2

 

    ; 2x≤ f(x) ≤ x+1-xlnx.

c) soit A l’aire de la partie limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites x ¹

2 et x=1. montrer que ³ A ¹⁷ ^{ln 2} 4 16 8 . Exercice 4 :

Soit  

In

la suite définie sur

^

par

¹

0 n t

In



t e dt

^.

Cocher la bonne réponse:

A On montre, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout

n

de

^

, on a :

I_n_₁  e



n 1



I_n

.

B Pour

0 t 1

on a

t e^{n t}  e tⁿ

donc pour

n 

,

n 1 I e

n



.

C Pour tout

n

de

^

on a

I_n_₁I_n

.

D De A et C on déduit que pour tout

n

de

^

on a

n 2 I e

 n



.

E

lim

 

I_n 0

.