U100 – Devoir sur les suites
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DEVOIR SUR LES SUITES 1
BACCALAUREAT METROPOLE JUIN 2013
Soit la suite numérique (
) définie sur ℕ par :
= 2 et pour tout entier naturel ,
= 2
3
+ 1 3 + 1
1. a. Calculer
,
,
,
. On pourra en donner des valeurs approchées à 10
près.
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n ,
≤ + 3
b. Démontrer que pour tout entier naturel n ,
−
=
( + 3 −
) c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par (
) la suite définie sur ℕ par
=
−
a. Démontrer que la suite (
) est une suite géométrique de raison
b. En déduire que pour tout entier naturel n ,
= 2
+
c. Déterminer la limite de la suite (
)
4. Pour tout entier naturel non nul n , on pose :
= =
+ + ⋯ +
! "
=
² a. Exprimer
en fonction de n .
b. Déterminer la limite de la suite ("
) .
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CORRECTION 2
1) a) = 2
3 × 2 +1
3 × 0 + 1 =7
3 ≈ 2,33 ; = 26
9 ≈ 2,89 ; = 97
27 ≈ 3,59 ; = 356 81 ≈ 4,40 b) La suite () est croissante.
2) a) Pour tout ∈ ℕ, notons la propriété ℘(): ≤ + 3 - Initialisation (au rang O)
= 2
+ 3 = 0 + 3 = 3
≤ 0 + 3 012 ℘(0) 3! 456 - Hérédité (au rang + 1)
Soit ∈ ℕ. Supposons ℘() vraie si ≤ + 3 ≤ + 3 ⇔ 2
3≤2
3( + 3) (9: ;<=>?@=?A @BCD
E ; =A F?G:A HA =I?:éGB=?>é:A KLB:GA @BF A: AMMA> D E >O
⇔ 2 3 ≤2
3 + 2
⇔ 2 3 +1
3 + 1≤2
3 + 2+1
3 + 1 (9: BP9<>A =A ;ê;A :9;RC HA @BC> A> HIB<>CA HA =I:éGB=?>é)
⇔ ≤ + 3
⇔ ≤ + 4
- Conclusion : On a montré par récurrence que ∀ ∈ ℕ, ≤ + 3 b) 16! ∈ ℕ,
− = 2 3 +1
3 + 1 − = −1 3 +1
3 + 1 = −1 3 +1
3 +3 3 =1
3 ( + 3 − ) c) Etudions le signe de <:T− <: donc de TE (: + E − <:)
16! ∈ ℕ
On a montré que ≤ + 3 ≤ + 3
⇔ 0 ≤ + 3 −
⇔ 0 ≤ 1
3 ( + 3 − )
⇔ 0 ≤ −
Donc la suite () est croissante 3) a) 16! ∈ ℕ,= − = − ( + 1)
= 2 3 +1
3 + 1 − − 1
= 2 3 −2
3
=2
3 (− )
=2 3
Donc la suite () est une suite géométrique de raison et de premier terme = − 0 = 2
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3
b)
La suite () est une suite géométrique de raison U = et de premier terme = 2, donc pour tout ∈ ℕ,
= × U= 2 × V2 3W
− = 2 × V2 3W
donc = 2 × V2 3W
+
c)
La suite () est une suite géométrique de raison U = avec −1 < U < 1, donc
→alim = 0
→alim = +∞
On sait que = − donc = + D’où par somme
→alim = +∞
4) a)
= + D’où = + c Or
=
⇔ =
+ c
On sait que la suite () est une suite géométrique de raison U = Et c est une suite arithmétique.
dI1ù = ×1 − 23
1 − 23 + (0 + )( + 1) 2 = 2 ×1 − 23
13
+ ( + 1) 2 = 2 × 1 − V2
3W
× 3+ ( + 1) 2 = 6 × f1 − V2
3W
g+ ( + 1) 2 = 6 × f1 − V2
3W
g+ ( + 1) 2
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4
b) Exprimons "
"=
²
⇔ "=6 × V1 − 23W+ ( + 1)2
²
⇔ "= 6
² h1 − 23
i + ( + 1)2
²
⇔ "= 6
² h1 − 23
i + ( + 1) 2²
⇔ "= 6
² h1 − 23
i + ² + 2²
⇔ "= 6
² h1 − 23 i +1
2 + 1 2
Calcul de limite
→alim 6 = 6
→alim = +∞j k54 U1!6 ! lim→a 6 = 0
→alim − V2 3W
= 0 V254 − 1 <2 3 < 1W
→alim 1 = 1
lm n mo
k54 31pp lim→a1 − V2 3W
= 1 lm mm n mm mo
k54 k4106! lim→a6
² h1 − 23 i = 0
lim→a6
² h1 − 23 i = 0
→alim 1 2 =1
2
→alim 1 = 1
→alim 2 = +∞q k54 U1!6 ! lim→a 1 2 = 0lmmmmn
mm mm o
k54 31pp lim→a"=1 2
