une suite numérique.

Prof/ATMANI NAJIB

http:// xriadiat.e-monsite.com 1 Résumé de Cours : SUITES NUMERIQUES

PROF : ATMANI NAJIB 2BAC SM BIOF http:// xriadiat.e-monsite.com

Soit   u

n n I_

une suite numérique.

A) Suite majorée minorée bornée croissante décroissante convergente

   u

n n I_

est majorée s’il existe un réel 𝑀 tel que : n I

  u

_n

 M

   u

n n I_

est minorée s’il existe un réel 𝑚 tel que : m  u

_n

  n I

 Une suite est bornée si elle est majorée et minorée.

  u

n n I_

est bornée ssi s’il existe un réel positif M tel que : n I

  u

_n

 M

 La suite   u

n n I_

est croissante ssi:   n I u

_n1

 u

_n

 La suite   u

n n I_

est décroissante ssi   n I u

_n1

 u

_n

 Unes suite qui tend vers une limite finie 𝑙 s’appelle une suite convergente sinon elle est dite divergente

 Toute suite convergente est bornée

 Si une suite admet une limite finie 𝑙 cette limite est unique

 Toute suite croissante et majorée est convergente.

 Toute suite décroissante et minorée est convergente

 Toute suite croissante et non majorée tend vers 

 Toute suite décroissante et non minorée tend vers 

B)Suite arithmétique :   u

n n I_

arithmétique: ssi   n I

1

n n

u

_

 u  r Le réel 𝒓 la raison de la suite

si   u

n n I_

est une suite arithmétique de raison 𝑟 et u

_p

_l’un

de ses termes.

1) u

n

 u

p

   n p r    n I

2)

¹

^...  ¹   

n p p n

2

p n

n p

s u u

_

u   u u

     

C)Suite géométrique :   u

n n I_

géométrique ssi

1

n n

u

_

 qu   n I 𝑞 s’appelle la raison de la suite.

Si   ^u

_{n n I}

est une suite géométrique de raison q et si 𝑝 est un entier naturel alors :

1) u

_n

 q

^{n p}

u

_p

  n I

2) s

_n

 u

_p

 u

_p1

 u

_p2

  ... u

_n2

 u

_n1

 u

_n

Si 𝑞 = 1 alors : s

n

  n   p ¹  u

p

Si 𝑞 ≠ 1 alors :

1

1

1

n p

n p

s u q

q



 

 

D) Suite et limites :1) On dit que la suite   ^u

_{n n}

^tend

vers +∞ (quand 𝑛 tend vers +∞) ssi : (∀𝐴 > 0)(∃ n

₀

 )(𝑛 ≥ n

₀

⇒ u

_n

> 𝐴) on écrit lim

_n

n

u



 

2)On dit que la suite   ^u

_{n n}

^{tend vers } (quand 𝑛 tend vers +∞) ssi (∀𝐴 > 0)(∃ n

₀

 )(𝑛 ≥ n

₀

⇒ u

_n

< − 𝐴) on écrit lim

_n

n

u



 

3) lim

_n

lim

_n

n

u

n

u



  



  

4) lim

²

n

n



  ; lim

^p

n

n



  p 

^

et lim

n

n



 

5) la suite   ^u

_{n n}

tend vers 𝑙 ssi

(∀𝜀 > 0)(∃ n

₀

 )(𝑛 ≥ n

₀

⇒ | u

_n

− 𝑙| <𝜀) on écrit lim

_n

n

u l





6) 1

₂

lim 0

n^

n  ; 1

lim

_p

0

n^

n  p 

^

et _lim ¹ ₀

n^

n 

E) Opération sur les limites des suites.

1) Limite de la somme :

2) Limites des produits

3) Limites des inverses

4) Limites des quotients

lim u

_n

  0 lim u

_n

 0

Remarques :1) La limite d’une suite polynôme est la limite de son plus grand terme

LES SUITES NUMERIQUES

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http:// xriadiat.e-monsite.com 2 2) La limite d’une suite rationnelle est la limite du rapport

des termes de plus grand degré

F) limites et l’ordre et techniques de calculs des limites :   u

n n_

et   ^v

_{n n}

^et   w

n n_

des suites 1)si   u

n n_

convergente vers L et : (∃𝑁 ∈ ℕ)(∀𝑛 > 𝑁) :

n

0

u  Alors : L  0

2)si   ^u

_{n n}

^et   ^v

_{n n}

convergentes tels que : (∃𝑁 ∈ ℕ)(∀𝑛 > 𝑁)( v

_n

 u

_n

) Alors : lim v

_n

 lim u

_n

3) si (∃𝑁 ∈ ℕ)(∀𝑛 > 𝑁)( v

_n

 u

_n

) et lim v

_n

  alors :

lim u

_n

 

4)si : (∃𝑁 ∈ ℕ)(∀𝑛 > 𝑁)( v

_n

 u

_n

) et lim u

_n

 

alors : lim v

_n

 

5)si 𝑙 un réel. tels que: u

_n

  l v

_n

  n p et lim

_n

0

n

v



 alors lim

_n

n

u l





6)si w

_n

u

_n

v

_n

et   n p et lim

_n

lim

_n

n

v

n

w l







 Alors :   u

n n_

est convergente et _lim

n

u

n

l





G)Suite de la forme : v

n

 f u  

n

Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 ; et   u

n

une suite numérique telle que

(∃𝑁 ∈ ℕ)(∀𝑛 > 𝑁)( u

_n

∈ 𝐼) Si lim

_n

n

u l



 et 𝑓 continue en l Alors ^lim  

n

 

n

f u f l





H)limite de Suite de la forme : a

ⁿ

et n

^p

1)a)si a 1 lim

ⁿ

n

a



 

b)si  1 a 1 lim

ⁿ

0

n

a





c)si a   1   ^a

ⁿ

n’a pas de limites 2) lim

^p

n

n



  si p 

^

I) Suite de la forme : u

n_1

 f u  

n

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et   u

n

une suite numérique telle que :

a) 𝑓 est continue sur 𝐼 b) 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐼

c) (∀𝑛 ∈ ℕ)( u

n_1

 f u  

n

) d) u

₀

∈ 𝐼 ( donc (∀𝑛 ∈ ℕ)( u

_n

∈ 𝐼) e)   u

n

est convergente

Alors la suite   u

n

tend vers 𝑙 solution de l’équation

𝑓(𝑥) = 𝑥

J) Les suites adjacentes :

1)deux suites numériques   u

n

et   v

n

sont adjacentes si : a) L’une est croissante l’autre est décroissante.

b) lim

_{n n}

0

n

v u



 

2)Si   u

n

et   v

n

sont deux suites adjacentes et   u

n

est croissante et   v

n

est décroissante alors

(∀𝑛 ∈ ℕ)( u

_n

≤ v

_n

)

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices

Que l’on devient un mathématicien