Notions de suites numériques

(1)

Lycée Blaise Pascal

mars 2016

u

n

(2)

1. Activités 1.1 Les défilés

2. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? 2.1 Représentations graphiques

3. Deux façons de définir une suite numérique

3.1 Suite dont on connait le terme général

3.2 Suite définie par récurrence

(3)

1. Activités 1.1 Les défilés

2. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? 2.1 Représentations graphiques

3. Deux façons de définir une suite numérique

3.1 Suite dont on connait le terme général

3.2 Suite définie par récurrence

(4)

valeur

rang

Chaque personnage possède un rang et porte une valeur.

Quelle est la valeur de rang 10 ?

(5)

Premier défilé

(6)

1 n = 1

3 n = 2

5 n = 3

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(7)

3 n = 2

5 n = 3

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(8)

5 n = 3

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(9)

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(10)

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(11)

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(12)

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(13)

15 n = 8

17 n = 9

?

n = 10

(14)

17 n = 9

?

n = 10

(15)

?

n = 10

(16)

Deuxième défilé

(17)

1 n = 0

2 n = 1

4 n = 2

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(18)

2 n = 1

4 n = 2

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(19)

4 n = 2

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(20)

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(21)

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(22)

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(23)

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(24)

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(25)

256 n = 8

512 n = 9

?

n = 10

(26)

512 n = 9

?

n = 10

(27)

?

n = 10

(28)

Troisième défilé

(29)

0 n = 0

1 n = 1

4 n = 2

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(30)

1 n = 1

4 n = 2

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(31)

4 n = 2

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(32)

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(33)

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(34)

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(35)

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(36)

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(37)

64 n = 8

81 n = 9

?

n = 10

(38)

81 n = 9

?

n = 10

(39)

Quatrième défilé

(40)

2 n = 1

3 n = 2

5 n = 3

7 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

17 n = 7

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(41)

3 n = 2

5 n = 3

7 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

17 n = 7

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(42)

5 n = 3

7 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

17 n = 7

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(43)

7 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

17 n = 7

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(44)

11 n = 5

13 n = 6

17 n = 7

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(45)

13 n = 6

17 n = 7

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(46)

17 n = 7

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(47)

19 n = 8

23 n = 9

?

n = 10

(48)

23 n = 9

?

n = 10

(49)

?

n = 10

(50)

Cinquième défilé

(51)

1 n = 1

1 n = 2

2 n = 3

3 n = 4

5 n = 5

8 n = 6

13 n = 7

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(52)

1 n = 2

2 n = 3

3 n = 4

5 n = 5

8 n = 6

13 n = 7

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(53)

2 n = 3

3 n = 4

5 n = 5

8 n = 6

13 n = 7

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(54)

3 n = 4

5 n = 5

8 n = 6

13 n = 7

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(55)

5 n = 5

8 n = 6

13 n = 7

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(56)

8 n = 6

13 n = 7

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(57)

13 n = 7

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(58)

21 n = 8

34 n = 9

?

n = 10

(59)

34 n = 9

?

n = 10

(60)

?

n = 10

(61)

u

_n

n

Chaque personnage possède un rang n et porte une valeur u

n

.

Que vaut u

n

?

(62)

Premier défilé

(63)

1 n = 1

3 n = 2

5 n = 3

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(64)

3 n = 2

5 n = 3

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(65)

5 n = 3

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(66)

7 n = 4

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(67)

9 n = 5

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(68)

11 n = 6

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(69)

13 n = 7

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(70)

15 n = 8

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(71)

17 n = 9

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(72)

19 n = 10

u

_n

= ?

n

(73)

u

_n

= ?

n

(74)

Changement de rang !

(75)

1 n = 0

3 n = 1

5 n = 2

7 n = 3

9 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(76)

3 n = 1

5 n = 2

7 n = 3

9 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(77)

5 n = 2

7 n = 3

9 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(78)

7 n = 3

9 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(79)

9 n = 4

11 n = 5

13 n = 6

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(80)

11 n = 5

13 n = 6

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(81)

13 n = 6

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(82)

15 n = 7

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(83)

17 n = 8

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(84)

19 n = 9

u

_n

= ?

n

(85)

u

_n

= ?

n

(86)

Deuxième défilé

(87)

1 n = 0

2 n = 1

4 n = 2

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(88)

2 n = 1

4 n = 2

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(89)

4 n = 2

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(90)

8 n = 3

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(91)

16 n = 4

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(92)

32 n = 5

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(93)

64 n = 6

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(94)

128 n = 7

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(95)

256 n = 8

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(96)

512 n = 9

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(97)

1024

n = 10

u

_n

= ?

n

(98)

u

_n

= ?

n

(99)

Changement de rang !

(100)

1 n = 1

2 n = 2

4 n = 3

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(101)

2 n = 2

4 n = 3

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(102)

4 n = 3

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(103)

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(104)

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(105)

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(106)

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(107)

128 n = 8

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(108)

256 n = 9

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(109)

512 n = 10

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(110)

1024

n = 11

u

_n

= ?

n

(111)

u

_n

= ?

n

(112)

Troisième défilé

(113)

0 n = 0

1 n = 1

4 n = 2

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(114)

1 n = 1

4 n = 2

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(115)

4 n = 2

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(116)

9 n = 3

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(117)

16 n = 4

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(118)

25 n = 5

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(119)

36 n = 6

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(120)

49 n = 7

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(121)

64 n = 8

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(122)

81 n = 9

100 n = 10

u

_n

= ?

n

(123)

u

_n

= ?

n

(124)

u

_n

= ?

n

(125)

Changement de rang !

(126)

0 n = 1

1 n = 2

4 n = 3

9 n = 4

16 n = 5

25 n = 6

36 n = 7

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(127)

1 n = 2

4 n = 3

9 n = 4

16 n = 5

25 n = 6

36 n = 7

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(128)

4 n = 3

9 n = 4

16 n = 5

25 n = 6

36 n = 7

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(129)

9 n = 4

16 n = 5

25 n = 6

36 n = 7

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(130)

16 n = 5

25 n = 6

36 n = 7

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(131)

25 n = 6

36 n = 7

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(132)

36 n = 7

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(133)

49 n = 8

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(134)

64 n = 9

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(135)

81 n = 10

100 n = 11

u

_n

= ?

n

(136)

u

_n

= ?

n

(137)

Revue générale

(138)

u

1

1 u

₂

2 u

3

3 u

₄

4 u

5

5 u

_n−₁

n − 1

u

n

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(139)

u

₂

2 u

3

3 u

₄

4 u

5

5 u

_n−₁

n − 1

u

n

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(140)

u

3

3 u

₄

4 u

5

5 u

_n−₁

n − 1

u

n

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(141)

u

₄

4 u

5

5 u

_n−₁

n − 1

u

n

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(142)

u

5

5 u

_n−₁

n − 1

u

n

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(143)

u

_n−₁

n − 1

u

n

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(144)

u

n

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(145)

u

_n+1

n + 1

u

n+2

n + 2

(146)

u

n+2

n + 2

(147)

1. Activités 1.1 Les défilés

2. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? 2.1 Représentations graphiques

3. Deux façons de définir une suite numérique

3.1 Suite dont on connait le terme général

3.2 Suite définie par récurrence

(148)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée .

On dit que u

n

est le de n ou n de la suite.

La suite u est aussi notée ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement .

(149)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée u

n

.

On dit que u

n

est le de n ou n de la suite.

La suite u est aussi notée ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement .

(150)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée u

n

.

On dit que u

n

est le terme de n ou n de la suite.

La suite u est aussi notée ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement .

(151)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée u

n

.

On dit que u

n

est le terme de rang n ou n de la suite.

La suite u est aussi notée ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement .

(152)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée u

n

.

On dit que u

n

est le terme de rang n ou d’indice n de la suite.

La suite u est aussi notée ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement .

(153)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée u

n

.

On dit que u

n

est le terme de rang n ou d’indice n de la suite.

La suite u est aussi notée (u

n

)

n∈N

ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement .

(154)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée u

n

.

On dit que u

n

est le terme de rang n ou d’indice n de la suite.

La suite u est aussi notée (u

n

)

n∈N

ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement (u

n

) .

(155)

Définition 1

Une suite numérique u est une fonction définie sur N . L’image de l’entier naturel n par la suite u est notée u

n

.

On dit que u

n

est le terme de rang n ou d’indice n de la suite.

La suite u est aussi notée (u

n

)

n∈N

ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement (u

n

) .

Remarque :

De même que l’on note f(x) l’image d’un réel x par une fonction f , on peut aussi noter

u(n) l’image de l’entier n par la suite u.

(156)

La suite u est aussi notée (u

n

)

n∈N

ou (u

n

)

n>0

ou plus simplement (u

n

) .

Remarque :

De même que l’on note f(x) l’image d’un réel x par une fonction f , on peut aussi noter u(n) l’image de l’entier n par la suite u. Mais on préfère placer n en indice et écrire u

n

plutôt que u(n) comme pour "numéroter" les différents termes de la suite.

(157)

Exemples :

La suite des nombres premiers (entiers naturels n’ayant que deux diviseurs) :

u

1

= 2, u

2

= 3, u

3

= 5, u

4

= 7, u

5

= 11, u

6

= 13, u

7

= 17 . . .

(158)

La suite des carrés des entiers naturels :

v

0

= 0, v

1

= 1, v

2

= 4, v

3

= 9, v

4

= 16, v

5

= 25, v

6

= 36, v

7

= 49 . . .

(159)

1. Activités 1.1 Les défilés

2. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? 2.1 Représentations graphiques

3. Deux façons de définir une suite numérique

3.1 Suite dont on connait le terme général

3.2 Suite définie par récurrence

(160)

(161)

u

₁

= 2 u

2

= 3 u

₃

= 5 u

4

= 7 u

5

= 11 u

₆

= 13

• •

•

• 0 1 2 3 4 5 6 7

(162)

1. Activités 1.1 Les défilés

2. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? 2.1 Représentations graphiques

3. Deux façons de définir une suite numérique

3.1 Suite dont on connait le terme général

3.2 Suite définie par récurrence

(163)

1. Activités 1.1 Les défilés

2. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? 2.1 Représentations graphiques

3. Deux façons de définir une suite numérique

3.1 Suite dont on connait le terme général

3.2 Suite définie par récurrence

(164)

Définition 2

L’expression de u

n

en fonction de n est appelée de la suite (u

n

).

u

₀

= 1 u

₁

= 3 u

₂

= 5 u

₃

= 7

•

• 0 1 2 3 4 5

u

0

= 1, u

1

= 3, u

2

= 5,

u

3

= 7, u

4

= 9 . . .

(165)

Définition 2

L’expression de u

n

en fonction de n est appelée terme général de la suite (u

n

).

u

₀

= 1 u

₁

= 3 u

₂

= 5 u

₃

= 7

•

• 0 1 2 3 4 5

u

0

= 1, u

1

= 3, u

2

= 5,

u

3

= 7, u

4

= 9 . . .

(166)

u

₀

= 1 u

₁

= 3 u

₂

= 5 u

₃

= 7 u

₄

= 9 u

₅

= 11

•

• 0 1 2 3 4 5

La suite (u

n

) définie sur N par u

n

= 2n + 1 :

u

0

= 1, u

1

= 3, u

2

= 5,

u

3

= 7, u

4

= 9 . . .

(167)

w

₂

= 1.5

w

₃

= 1.33 w

4

= 1.25 w

₅

= 1.2

•

• • •

0 1 2 3 4 5

w

4

= 5

4 . . .

(168)

3

De même avec la suite w telle que w

0

= 1,w

1

= 4, w

2

= 9, w

3

= 16, w

4

= 25.

(169)

1. Activités 1.1 Les défilés

2. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? 2.1 Représentations graphiques

3. Deux façons de définir une suite numérique

3.1 Suite dont on connait le terme général

3.2 Suite définie par récurrence

(170)

Définition 3

Une suite est définie par récurrence quand elle est définie par la donnée de : Son premier terme ;

La suite (u

n

) définie sur N par u

n+1

= 2u

n

+ 1 avec u

0

= 0 : u

0

= 0, u

1

= 1, u

2

= 3, u

3

= 7, u

4

= 15 . . .

Remarque :

La suite u

n+1

= 2u

n

+ 1 de premier terme u

0

= 0 ne doit pas être confondue avec la

suite v

n

= 2n + 1 définie pour tout n > 0.

(171)

Définition 3

Une suite est définie par récurrence quand elle est définie par la donnée de : Son premier terme ;

Une relation qui permet de calculer chaque terme à partir des précédents.

Cette relation est appelée relation de récurrence.

Remarque :

La suite u

n+1

= 2u

n

+ 1 de premier terme u

0

= 0 ne doit pas être confondue avec la

suite v

n

= 2n + 1 définie pour tout n > 0.

(172)

Définition 3

Une suite est définie par récurrence quand elle est définie par la donnée de : Son premier terme ;

Une relation qui permet de calculer chaque terme à partir des précédents.

Cette relation est appelée relation de récurrence.

Exemple :

La suite (u

n

) définie sur N par u

n+1

= 2u

n

+ 1 avec u

0

= 0 :

u

0

= 0, u

1

= 1, u

2

= 3, u

3

= 7, u

4

= 15 . . .

(173)

Cette relation est appelée relation de récurrence.

Exemple :

La suite (u

n

) définie sur N par u

n+1

= 2u

n

+ 1 avec u

0

= 0 : u

0

= 0, u

1

= 1, u

2

= 3, u

3

= 7, u

4

= 15 . . .

Remarque :

La suite u

n+1

= 2u

n

+ 1 de premier terme u

0

= 0 ne doit pas être confondue avec la

suite v

n

= 2n + 1 définie pour tout n > 0.

(174)

3

w

n

= w

n−1

n et w

1

= 2.

(175)