EPFL 15 janvier 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 11
L’exercice 6 est à rendre le 22 janvier au début de la séance d’exercices.
SoientE unF- espace vectoriel etF etGdeux sous-espaces vectoriels deEtels queE =F⊕G.
Pour x∈E, il existe un unique couple(x0, x00)∈F ×G tel que x=x0+x00.
L’application p : E → E définie par p(x) = x0 est un élément de L(E) (le vérifier !) appelé projecteur sur F parallèlement à G.
Cette série concerne différentes propriétés des projecteurs.
Exercice 1 Montrer que :
1. Si p est le projecteur sur F parallèlement àG on a p◦p=p, Im(p) =F et Ker(p) = G.
2. Réciproquement, si p ∈ L(E) est tel que p◦ p = p alors Im(p)⊕ Ker(p) = E et p est le projecteur sur Im(p) parallèlement à Ker(p). De plus, pour tout x de E x = p(x) + (x−p(x)), où p(x)∈Im(p) et x−p(x)∈Ker(p).
Exercice 2 Soient pet q deux projecteurs de E tels que p6= 0, q6= 0 et p6=q. Montrer que la famille {p, q} est linéairement indépendante dans L(E).
Exercice 3 Soient p et q deux projecteurs de E tels que p◦q = q ◦p et Ker(p) = Ker(q).
Montrer que p=q.
Exercice 4 Soient f et g dans L(E). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équiva- lentes.
1. f◦g =g et g◦f =f
2. f et g sont des projecteurs et Im(f) = Im(g)
Exercice 5 Soit p un projecteur de E on note q = IdE −p.
1. Montrer que q est un projecteur.
2. On noteL={f ∈ L(E) | ∃u∈ L(E)f =u◦p}, M ={g ∈ L(E)| ∃v ∈ L(E)g =v◦q}.
Montrer que L et M sont des sous-espaces vectoriels de L(E) tels que L⊕M =L(E).
Exercice 6 Soient p et q deux projecteurs de E. Montrer que p+q est un projecteur si et seulement si p◦q =q◦p= 0.
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