Série 11

MAT-22257 : Exercices COURS 13

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Étant donné le grapheG=!S, A"suivant :

!"#$

%&'(1 "" ^!!!"#$%&'(2##

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%&'(5

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%&'(3 "" ^!!!"#$%&'(4$$

a) Donnez la matrice de la relationA.

b) Dites lesquelles des propriétés suivantes la relation A possède : réflexivité, irréflexivité, symétrie, antisymétrie, asymétrie, transitivité, équivalence, totalité, surjectivité, déterminisme, injectivité, fonction, application, application bijective, ordre partiel, ordre partiel strict, ordre total.

c) Tracez le grapheH =!S, A◦A". d) Tracez le grapheK =!S, A⁺".

e) Est-ce queA⁺est une relation réflexive ? symétrique ? transitive ? d’équivalence ? f) Même question qu’en e) pour la relationA^∗.

Définition 1 SoitGun graphe non orienté, on note parV(G), l’ensemble des sommets du graphe et parE(G), l’ensemble des arêtes du graphe.

L’expression[x, y]∈E(G)signifie que dans le grapheGil y a une arête qui lie les sommetsxety.

Définition 2 Un ensembleXde sommets d’un graphe non orientéGest ditdominantsi

∀y∈V(G)\X ∃x∈Xtel que[x, y]∈E(G).

Définition 3 Un ensembleXde sommets d’un graphe non orientéGest ditstrictement dominantsi

∀y∈V(G) ∃x∈Xtel que[x, y]∈E(G).

Définition 4 Un ensembleXde sommets d’un graphe non orientéGest ditensemble couvrant (où VC)si

∀e∈E(G) ∃x∈V(G)tel quexest un sommet incident à l’arêtee.

Définition 5 Unparcours Eulériend’un grapheGest une séquence de la forme

!x0, [x0, x1], x1, [x1, x2], x2, . . . , xn−1, [xn−1, xn], xn, [xn, x0], x0", où chaque arête du graphe apparaît une et une seule fois.

(Les sommets peuvent apparaître plus d’une fois dans la séquence.)

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Série 11

Question 3 :(Aucune justification est demandée pour ce numéro.) Pour chacun des graphes ci-dessous,

a) exhiber (s’il existe) un parcours eulerien du graphe.

b) exhiber (s’il existe) un cycle hamiltonien du graphe.

c) Trouvez un ensemble dominant des sommets du graphe qui soit de cardinalité minimale.

d) Trouvez un ensemble strictement dominant du graphe qui soit de cardinalité minimale.

e) Trouvez un ensemble couvrant (c.-à-d. : un VC) des sommets du graphe qui soit de cardinalité minimale.

K₇ K_3,3 Le dodécaèdre Le graphe de Petersen

Définition 6 Un arbre fini est ditbinaires’il est constitué d’un unique sommet de degré 2 (appelé la racine de l’arbre) et si tout autre sommet est soit de degré 3, soit de degré 1. Les sommets de degré 1 sont appelés les feuillesde l’arbre.

Question 4 :(Aucune justification n’est demandée pour ce numéro.)

a) Énumérez (à isomorphisme près) tous les arbres binaires ayant exactement 6 feuilles.

b) Combien de sommets peut avoir un arbre binaire ayant exactement 6 feuilles.