H165 – Solutions de mobilité dans un parc de loisirs [**** à la main]
N attractions sont disséminées dans un vaste parc de loisirs. Le réseau de voies piétonnes qui les relie entre elles est conçu de sorte que pour aller de n’importe quelle attraction n°i à une autre attraction n°j, ou bien il y a une voie directe désignée par (i,j) ou bien on passe par une attraction intermédiaire n° k en empruntant la voie (i,k) puis la voie (k,j).On se fixe également pour contrainte qu’il y a au maximum k voies qui partent de chaque attraction. Sur chaque voie on peut marcher dans les deux sens si bien que i ≠ j, (i,j) ≡ (j,i).
Q₁ N = 8. Déterminer les valeurs de k qui rendent possible la construction d’un tel réseau et donner la représentation de ce réseau pour la plus petite valeur possible de k.
Q₂ Même question avec N = 16.
Solution proposée par Daniel Collignon
Remarque : lorsqu'on a une représentation de ce réseau pour la plus petite valeur possible de d, alors en ajoutant une arête entre un sommet de degré d et un sommet non voisin direct (il y en a N-1-d), toutes les valeurs de d jusqu'à N-1 conviennent.
Pour tout sommet de degré < d, on peut ainsi ajouter une arête jusqu'à obtenir un graphe d_régulier (tous les sommets ont même degré d).
Partant d'un sommet de degré d, nous atteignons d sommets voisins distincts.
Chaque sommet voisin, de degré au plus d, permettra d'atteindre au mieux d-1 "nouveaux" sommets voisins.
Ainsi nous pouvons espérer au mieux 1+d+d(d-1)=d²+1 sommets distincts (borne de Moore).
D'où une condition nécessaire d²+1 >= N.
Q1
Avec N=8, cela nécessite d>=3.
Le graphe de Wagner avec d=3 convient.
Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_de_Wagner
Q2
Avec N=16, cela nécessite d>=4.
Le graphe de Clebsch avec d=5 convient.
Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_de_Clebsch
Remarques :
- avec d=4, il n'y aura pas de graphe fortement régulier en raison d'une relation entre les paramètres non satisfaite
Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_fortement_r%C3%A9gulier
- pour une démonstration de l'impossibilité d'un graphe à 16 sommets et 4_régulier voir https://www.ijact.org/ijactold/volume4issue5/IJ0450003.pdf
Voir aussi :
https://www.quora.com/What-is-the-proof-that-a-graph-of-a-degree-at-most-4-and-diameter-of-2-can-have- at-most-15-vertices
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=13283
