KINE11-EDPH11
Janvier 2015 Introduction `a la m´ecanique IEPR 1011 -Rose- Vous pouvez conserver cet ´enonc´e !
1 Une nouvelle attraction pour Walibi...
Attention !
Il faut r´epondre exclusivement sur l’unique feuille de r´eponse fournie.
Ce questionnaire peut servir de brouillon, mais ne sera jamais lu par le correcteur ! Pour rappel, vous pouvez conserver cet ´enonc´e `a la fin de l’examen.
Un petit chariot de masse totalem = 500 kg s’´elance avec une vitesse initiale nulle d’un point situ´e `a une hauteurh. A mi-parcours, il se retrouve au sommet d’une boucle circulaire de rayon Rdont la base se trouve `a une hauteurR. Ensuite, le chariot d´ecolle de la piste lorsqu’il se trouve `a une hauteur 3R et que la piste prend la forme d’un cercle de rayon 3R. Finalement, le chariot plonge dans une rivi`ere `a une distancedde la piste, apr`es une chute libre...
Sachant queR= 10 m, il s’agit de d´eterminer les valeurs dehet ded. Nous allons analyser le mouvement du chariot en n´egligeant, d’abord, tous les effets li´es `a la rotation des quatre roues : on suppose donc que l’inertie des roues est nulle et que le chariot glisse parfaitement sur les rails.
R 3R h
d R
3R
3R A
B
C
D
1. Quelle devrait ˆetre la hauteurhminimale requise pour ´eviter le chute du chariot au pointB ? Lorsque la vitesse du chariot est minimale, l’acc´el´eration centrip`ete est exactement l’acc´el´eration de la gravit´e.
v2
R = g v2 = Rg
?
En vertu de la conservation de l’´energie, on peut ´ecrire : 12mv2=mg(h−3R) 2g(h−3R) = Rg
On d´eduit finalement : h ≥ 72R = 35 m
Cette partie de l’exercice a ´et´e faite en d´etails pendant le cours 9 !
2. Quelle doit ˆetre la hauteur hafin que le chariot quitte les rails exactement au pointC ?
Cela sera le cas si l’acc´el´eration centrip`ete est exactement l’acc´el´eration de la gravit´e.
ce qui est presque la mˆeme condition que celle obtenue plus haut !
v2
3R = g
v2 = 3Rg
?
En vertu de la conservation de l’´energie, on peut ´ecrire : 12mv2=mg(h−3R) 2g(h−3R) = 3Rg
On d´eduit donc : h = 92R = 45 m
3. Calculer la vitesse du chariot au pointC.
Comme 12mv2=mg(92R−3R), on obtient imm´ediatement : v = √
3gR = 17.2 m/s
4. Calculer la distanceddu point d’impactDpar rapport au rail.
On calcule tout d’abord le temps n´ecessaire pour la chute : gt2
2 = 3R
? t =
s 6R
g
Et ensuite comme(d+ 3R) =vt, on d´eduit :
d+ 3R = 3R√ 2
? d = 3R(√
2−1) = 12.4 m
Ce calcul ´el´ementaire est exactement aussi la copie conforme de la question de septembre 2014 : il ´etait ici essentiel de bien pr´eciser la d´emarche et il ´etait possible de calculer le temps de chute, mˆeme en n’ayant pas la bonne vitesse enC. Un nombre incalculable d’´etudiants ´echouent dans cette sous-question vraiment ´el´ementaire.
5. Dessiner l’´evolution de l’´energie potentielle et de l’´energie cin´etique en fonction du temps pendant la chute du chariot entre les pointsC etD.
On pose que l’´energie potentielle est nulle au niveau du sol.
L’´evolution de l’´energie potentielle et cin´etiqueen fonction du tempsest donn´ee par :
t E
K+Ug
Ug
K
Tracer des droites est incorrect, car c’est alors l’´evolution en fonction de la distance !
Notez aussi que c’est exactement la mˆeme question que celle pos´ee en septembre 2014... au passage.
6. A pr´esent, consid´erons que chacune des quatre roues du chariot a un moment d’inertie
I= 0.25 kg m2 et un rayonr= 0.1 m. Le roulement des roues sur le rail se fait sans glissement.
La masse totale du chariot (roues comprises) est toujours m= 500 kg.
Pour ces nouvelles hypoth`eses, adapter la valeur deh.
Une partie de l’´energie potentielle de gravit´e sera maintenant utilis´ee pour faire tourner les roues et donc la vitesse du chariot pour une mˆeme hauteur sera plus faible. La conservation de l’´energie s’´ecrit maintenant :
mv2
2 + 4Iω2
2 = mg(h−3R) mv2
2 + 2Iv2
r2 = mg(h−3R) m
2 + 2I r2
v2 = mg(h−3R)
?
Afin de d´ecoller au point C : 3Rv2 =g m
2 + 2 I r2
3Rg = mg(h−3R) 3R
2 + 3R+6RI
mr2 = h
On d´eduit donc : h = 9R 2 +6RI
mr2 = 45 + 3 m
Cette derni`ere sous-question permettait d’obtenir un bonus suppl´ementaire. Un ´etudiant ayant parfaitement r´eussi toutes les sous-questions pr´ec´edentes obtenait le maximum des points pour la question ouverte. Le maximum th´eorique (r´eellement obtenu par quelques ´etudiant(e)s !) est de 12/10 pour la question ouverte.
R´epondez `a chaque sous-question et uniquement `a ce qui est demand´e.
Faites des dessins distincts pour chaque sous-question.
Soyez pr´ecis dans les graphes.
Respectez strictement les axes d´efinis sur le dessin !
Chaque sous-question peut ˆetre r´esolue de mani`ere symbolique, si les r´esultats pr´ec´edents font d´efaut ! D´etaillez vos calculs afin de clairement montrer votre d´emarche.
Pensez `a encadrer les r´esultats principaux pour les mettre en ´evidence.
2 Questions ` a choix multiples
Attention !
Il y a toujours une et une seule bonne r´eponse !
Une r´eponse correcte rapporte 4 points, une r´eponse erron´ee en fait perdre 1 point.
Ne rien cocher ne fait rien gagner et ne fait rien perdre.
Les donn´ees des questions sans valeurs num´eriques sont suppos´ees ˆetre dans des unit´es coh´erentes :-) Remplir la feuille pour lecture optique avec un crayon noir bien taill´e !
Gommer pour les corrections !
N’utiliser en aucun cas un correcteur liquide (Typex) pour corriger !
Q1
Un bloc de masseM est plac´e sur un autre bloc triangulaire de massem.
Tous les mouvement entre les surfaces se font sans frottement : les corps glissent parfaitement.
α M
m
L’acc´el´erationadu bloc triangulaire par rapport au sol est donn´ee par A a= M gsin(α) cos(α)
M+msin2(α) A
B a= M gcos(α)
m+Msin2(α) B
C a= M gsin(α) cos(α)
m+Msin(α) C
D a= M gsin(α) cos(α)
m+M(1−cos2(α)) D
E a= M gcos(α)
m+Msin(α) E
Q2
Une balle de tennis de massemrebondit horizontalement sur un mur avec une vitesse v. Apr`es la collision, elle n’a plus que 36% de son ´energie cin´etique initiale.
Quelle est l’impulsion subie par la balle ?
A 0,5 mv2 A
B 0,18mv2 B
C 0,36mv2 C
D 1,6 mv D
E 0,4 mv E
Q3
Consid´erons une roue de rayonR avec une massem et un moment d’inertieI par rapport au centre de masse. Si la vitesse du centre de masse et la vitesse angulaire de rotation sont v et ω respectivement, l’´energie cin´etique de cette roue qui roule sans glisser est donn´ee par :
A K=
mR2+Iω2
2 A
B K=
m+IR2v2
2 B
C K= Iω2
2 C
D K= mv2
2 D
E K= mv2
2 +mR2ω2
2 E
Q4
Quelles sont les unit´es du moment d’une force ?
A N m A
B kg m2 / s B
C kg2 m2 / s2 C
D N m2 D
E N m s2 E
Q5
Le mouvement d’un pendule est d´ecrit par l’´equation : d2x
dt2(t) =−g L x(t)
La fr´equence angulaire d’oscillation du pendule est donc donn´ee par : A ω=p
L/g A
B ω=p
g/L B
C ω=p
Lg2 C
D ω=L/g D
E ω=g/L E
Q6
Une machine `a laver effectue 3 600 tours par minute, lors de l’essorage du linge dans un tambour de rayonR= 0.15m.
Que vaut l’acc´el´eration centrip`eteac ressentie par le linge ?
A ac= 56 500 m/s2 A
B ac= 21 310 m/s2 B
C ac= 19 400 m/s2 C
D ac= 2 377 m/s2 D
E ac= 22 m/s2 E
Q7
Un petit bloc est plac´e `a l’int´erieur d’un cylindre de rayon R qui tourne avec une vitesse angulaireωautour d’un axe horizontal. Le coefficient de frottement statique entre le bloc et le cylindre estµs.
~g θ(t)
Quelle relation doit ˆetre satisfaite `a l’instant o`u le bloc commence `a glisser ?
A gsin(θ) =µsRω2 A
B gsin(θ) +Rω2=µsgcos(θ) B
C tan(θ) =µs C
D gcos(θ) =µs gsin(θ) +Rω2
D
E tan(θ) =µs
1 + Rω2 gcos(θ)
E
Q8
Une bobine de masseM et de rayonR a un moment d’inertie I. On tire sur un fil avec une forceF le long d’un axe de rayonret la bobine se met `a rouler sans glissement sur sol.
F~
R r
La norme de l’acc´el´eration du centre de masse est donn´ee par : A a= F
M A
B a=F (rR+R2)
(I+M R2) B
C a= F r
3M R C
D a=F R2
(I+M rR) D
E a=F(I+M R2)
(rR+R2) E
Q9
Une sph`ere de massemest suspendue par deux cordes de masse n´egligeable.
θ1= 60o θ2= 45o
T~2 T~1
m~g
Quelle est l’unique ´equation correcte parmi les cinq relations ? A T2=√
2 T1 A
B T2=T1 B
C 2mg=T1(1 +√
3) C
D 2T1=mg(1 +√
3) D
E T1= 2mg(√ 2 +√
3) E
Q10
Pour mod´eliser la chute d’un parachutiste, on introduit une force de train´ee d´efinie par :
FD=kv2 Quelle est l’unique affirmation incorrecte ? A La vitesse limite du parachutiste estp
mg/k A
B La constantekd´epend de la masse volumique de l’air. B C La force de train´ee ralentit la chute du parachutiste. C D A basse vitesse, la force de train´ee s’´ecrit plutˆotFD=γv D
E La force de train´ee est une force conservative. E
N’oubliez pas de reporter vos r´eponses sur la feuille pour lecture optique.
