EPFL 30 novembre 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 11
L'exercice 3 est à rendre le 7 décembre au début de la séance d'exercices.
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
Exercice 1. 1. Montrer que
φ: Mat(n, m;F) → Mat(m, n;F)
A 7→ At
est un isomorphisme d'espaces vectoriels. On rappelle que si A ∈ Mat(n, m;F), alors At ∈ Mat(m, n;F)est la matrice ayant pour coecients(At)ij =Ajipouri= 1, . . . , metj = 1, . . . , n. 2. Montrer que(A·B)t=Bt·At pour tout A∈Mat(n, k;F),B∈Mat(k, m;F).
3. Soitm=n. Montrer que si A est inversible, alors (At)−1 = (A−1)t. Exercice 2. On considère l'application L:P2(R)→R2,L(p) = (p(−1), p0(1)).
1. Montrer queL est linéaire.
2. SoientB1= (1, X, X2) etB2 = (e1, e2) les bases canoniques de P2(R) et de R2, respectivement.
Trouver[L]B2,B1. En déduire la matrice colonneL(4−3X+X2) par rapport à B2.
3. Soient B01 = (1,(1−X),(1−X)2) et B02 = ((1,0),(−2,1)) des bases de P2(R) et de R2, res- pectivement. Trouver [L]B0
2,B01. En déduire la matrice colonne L(4−3X +X2) par rapport à B02.
Exercice 3. SoitA∈Mat(n;F)xée. Considérons ψ: Mat(n;F)→Mat(n;F),ψ(M) =AM. 1. Montrer queψ est linéaire.
2. Montrer queψ est un isomorphisme si et seulement si Aest inversible.
3. Soit icin= 2,A∈Mat(2;F) etB la base canonique de Mat(2;F). Calculer[ψ]B,B. Exercice 4. SoitB la base canonique de F3 etA=
1 2 −3 2 4 −1 0 2 0
∈Mat(3,3;F).
1. Trouver TA. 2. SoitB =
−1/5 3/5 −1
0 0 1/2
−2/5 1/5 0
∈Mat(3,3;F). Montrer que AB=I3=BA.
3. En déduire l'applicationTA−1.
Exercice 5. Calculer le rang de la matrice
As:=
s−1 s−1 0
3 s s
3 s s2
pour tout s∈R.
Exercice 6. (facultatif) Soient A1 ∈ Mat(n, m;F), A2 ∈ Mat(n, l;F), A3 ∈ Mat(p, m;F), A4 ∈ Mat(p, l;F), B1 ∈ Mat(m, q;F), B2 ∈ Mat(m, r;F), B3 ∈ Mat(l, q;F), B4 ∈ Mat(l, r;F) et A ∈ Mat(n+p, m+l;F),B ∈Mat(m+l, q+r;F) dénies par
A=
A1 A2
A3 A4
et B =
B1 B2
B3 B4
. Plus précisément, on a
(A)ij =
(A1)ij si1≤i≤n, 1≤j≤m (A2)i(j−m) si1≤i≤n, m+ 1≤j≤m+l (A3)(i−n)j sin+ 1≤i≤n+p, 1≤j≤m (A4)(i−n)(j−m) sin+ 1≤i≤n+p, m+ 1≤j≤m+l
.
Montrer que
A·B =
A1·B1+A2·B3 A1·B2+A2·B4 A3·B1+A4·B3 A3·B2+A4·B4
∈Mat(n+p, q+r,F).
En déduire que
A·B =
A1 Onl
Opm A4
·
B1 Omr
Olq B4
=
A1·B1 Onr
Opq A4·B4
.
