Série 11

EPFL 1 décembre 2008 Algèbre linéaire

1ère année 2008-2009

Série 11

L’exercice 3 est à rendre le 8 décembre au début de la séance d’exercices.

Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C.

Exercice 1. Trouver la matrice par rapport aux bases indiquées pour les application linéaires suivantes :

1. T:F³ →F², T(x, y, z) = (5x+ 2y+ 7z, x+y−z), B = (~e1, ~e2, ~e3),B⁰ = (~e1, ~e2).

2. T:F³ →F² de (a), B = ((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)), B⁰ = (−~e₁+~e₂, ~e₁+~e₂).

3. S₁: F³ →F³,S₁(x, y, z) = (x, y,0), B =B⁰ = ((√ 2,√

2,0),(−√ 2,√

2,0),(0,0,1)).

4. S₂: F³ →F³,S₂(x, y, z) = (0,0, x+y+z),B =B⁰ = ((√ 2,√

2,0),(−√ 2,√

2,0),(0,0,1)).

5. U₁: C → C, U₁(z) = αz, où α ∈ R et où on voit C comme R-espace vectoriel, de base B =B⁰ = (1, i).

6. U2: C → C, U2(z) = ¯z, où on voit C comme R-espace vectoriel, de base B = B⁰ = (1 +i,1−i).

7. D: P3(F) → P2(F), D P3

i=0a_ixⁱ

= a₁ + 2a₂x+ 3a₃x², B = (1, x, x², x² +x³), B⁰ = (1,1−x, x+x²).

8. p: Mat(2,2;F)→Mat(2,2;F),p(A) = ¹₂(A−A^T),B =B⁰ = ¹0 ⁰0

, ⁰0 ¹0

, ⁰1 ⁰0

, ⁰0 ⁰1

. Exercice 2. Trouver les application linéaires associées aux matrices et bases suivantes :

1. A₁ =





−2 3 1

5 1 0

4 11 3



, B =B⁰ = (~e₁, ~e₂, ~e₃)⊆F³.

2. A₂ =









1 0

0 1

−1 2 1 −1









,B = (~e₁, ~e₂)⊆R², B⁰ = (1, t,2t²−1,4t³ −3t)⊆P3(R).

3. A3 =

1 0 2 2 −1 1

, B = (~e1+~e2, ~e1+~e3, ~e2+~e3)⊆F³,B⁰ = (~e1, ~e1 −~e2)⊆F².

4. A₄ =









0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0









, B =B⁰ =

1 0 0 0

,

0 1

−1 0

,

0 1 1 0

,

0 0 0 1

⊆Mat(2,2;F).

Exercice 3. Soient B la base canonique

1 0 0 0

,

0 1 0 0

,

0 0 1 0

,

0 0 0 1

de Mat(2,2;F), C = _{1 0}

0 1

, _{1 0}

0 −1

, _{0 1}

1 0

, _{0 1}

−1 0

, B⁰ la base canonique (1, x, x²) de P2(F) et C⁰ = (1 +x+x², x+x²,1 +x²). Soit

T : Mat(2,2,F)→P2(F)

l’application linéaire définie par T

a b c d

= (4a+ 2b) + (b−c)x+ (3c+d)x².

1. Vérifier que C est une base de Mat(2,2,F) et que C⁰ est une base de P2(F).

2. Déterminer [id ]_C,B, [id ]_C⁰_,B⁰, [T]_B⁰_,B et[T]_C⁰_,C.

3. Déterminer [T]_C⁰_,B et vérifier que [T]_C⁰_,B = [T]_C⁰_,C[id ]_C,B = [id ]_C⁰_,B⁰[T]_B⁰_,B.

4. Trouver le vecteur de coordonnées de 1−3x+x² par rapport àC⁰ en utilisant [id ]_C⁰_,B⁰. Exercice 4. Soit V un espace vectoriel de dimension finie. Trouver un isomorphisme

L(V,F)→V.