Exercice 1. Soit A =

(1)

Feuille n ^o 3 MM2

Matrices

Exercice 1. Soit A =





−1 4 5 4 1 3 5 3 2



 , B =





1 0 0

−3 2 0

−1 2 3



 et C =



 1 2

−1



 . Calculer AB , BA , AC et ^t CB .

Exercice 2. Soit θ ∈ R. On pose A θ =

cos θ − sin θ sin θ cos θ

1. Soit θ ₁ ,..., θ _n ∈ R. Montrer que A _θ

₁

+···+θ

n

=

n

Y

i=1

A _θ

_i

2. En déduire A ⁿ _θ pour tout n ∈ N ^∗ .

Exercice 3. Soit M =





−1 1 1

1 −1 1

1 1 −1



 1. Montrer que M ² = −M + 2I 3 .

2. En déduire que M ³ en fonction de M et I ₃ .

3. Montrer qu'il existe deux suites (a n ) et (b n ) ∈ R ^N telles que

∀n ∈ N, M ⁿ = a n M + b n I 3

4. Calculer M ⁿ pour tout n ∈ N.

Exercice 4. Déterminer les inverses des matrices suivantes

A =

1 1

−1 2

et B =





0 1 −1

4 −3 4 3 −3 4





Exercice 5. Soit m ∈ R. On note

A _m =





1 m 1

m 1 1

1 1 m





Déterminer une condition nécessaire et susante sur m pour A m soit inver- sible et dans ce cas, calculer A ⁻¹ _m .

1

(2)

Exercice 6. On considère B ⁰ = {P ₁ , P ₂ , P ₃ } avec

P ₁ (X) = 2X ² − X, P ₂ (X) = 2X ² − 5X − 1 et P ₃ (X) = 2X ² − 3X − 2 1. Montrer que B ⁰ est une base de R 2 [X].

2. On note B la base canonique de R 2 [X] .

(a) Déterminer la matrice de passage de B à B ⁰ . (b) En déduire la matrice de passage de B ⁰ à B .

Exercice 7. Soit e ₁ = (1, 0, 0) , e ₂ = (1, −1, 0) , e ₃ = (1, 1, 1) , f ₁ = (0, 1, 1) , f 2 = (1, 0, 1) et f 3 = (1, 1, 0) des vecteurs de R ³ .

1. Montrer que B = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } et B ⁰ = {f ₁ , f ₂ , f ₃ } sont des bases de R ³ . 2. Déterminer les matrices de passage de B à B ⁰ puis de B ⁰ à B .

Exercice 8. Écrire les matrices des applications linéaires suivantes dans les bases canoniques correspondantes :

1. f : R ² → R ² avec f (x, y) = (y, −x) pour tout (x, y) ∈ R ² ;

2. f : R ³ → R ² avec f (x, y, z) = (x + y, x − z) pour tout (x, y, z) ∈ R ³ ; 3. f : R ² → R ³ avec f (x, y) = (x, x − y, x + y) pour tout (x, y) ∈ R ² ; 4. f : R 3 [X] → R 3 [X] avec f (P ) = XP ⁰ pour tout P ∈ R 3 [X] .

Exercice 9. Soit u l'endomorphisme de R ³ dont la matrice dans la base canonique de R ³ est

A =





0 −1 1

−1 0 −1

1 −1 0





et e ₁ = (1, −1, 1) , e ₂ = (1, 1, 0) et e ₃ = (0, 1, 1) . 1. Vérier que B = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } est une base de R ³ .

2. Déterminer les matrices de passage de la base canonique à B et de B à la base canonique.

3. Donner la matrice de u dans la base B .

Exercice 10. On note B et C les bases canoniques de R ² et de R ³ . Soit u : R ² → R ³ l'application dénie par

∀(x, y) ∈ R ² , u(x, y) = (3x + 4y, −x + y, 2x − 2y)

1. Soit e ⁰ ₁ = (3, 1) , e ⁰ ₂ = (−2, 5) et B ⁰ = {e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ } . Donner les matrices de passage de B à B ⁰ puis de B ⁰ à B .

2. Soit f ₁ ⁰ = (−1, 0, 1) , f ₂ ⁰ = (2, −1, 2) , f ₃ ⁰ = (1, −1, 1) et C ⁰ = {f ₁ ⁰ , f ₂ ⁰ , f ₃ ⁰ } . Donner les matrices de passage de C à C ⁰ puis de C ⁰ à C .

3. Déterminer Mat(u, B, C) , Mat(u, B ⁰ , C) , Mat(u, B, C ⁰ ) et Mat(u, B ⁰ , C ⁰ ) .

2

(3)

Exercice 11. Soit A =





1 0 0 0 0 −1 0 1 2



 et B =





1 0 0 0 1 1 0 0 1



 . Montrer que A et B sont semblables.

Exercice 12. Soit P =

1 1 1 1

.

On considère l'application u de M ₂ ( R ) vers M ₂ ( R ) dénie par

∀M ∈ M 2 ( R ), u(M ) = P M 1. Montrer que u est un endomorphisme de M 2 (R) .

2. Déterminer la matrice de u dans la base canonique de M 2 (R).

3. Déterminer Ker u et Im u.

Exercice 13. Soit A = (a _i,j ) ∈ M _n ( C ) . On appelle trace de A , la quantité tr A =

n

X

i=1

a _i,i

1. Montrer l'application tr est une forme linéaire sur M n ( C ) . 2. L'application tr est-elle bijective ?

3. Montrer que

∀A, B ∈ M _n ( C ), tr (AB) = tr (BA)

4. En déduire qu'il n'existe pas de matrices A et B dans M n ( C ) telles que AB − BA = I n

5. Soit A et B deux matrices semblables dans M _n ( C ) . Comparer tr A et tr B.

Exercice 14. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et f ∈ L(E) . On suppose que f ⁿ⁻¹ 6= 0 _L(E) et f ⁿ = 0 L(E) .

Montrer qu'il existe une base B de E telle que

Mat B f =







0 1 0 . . . . . . 0

0 0 1 ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... 1 0

... ... 0 1

0 0 . . . . . . 0 0







3

Exercice 1. Soit A =

Feuille n o 3 MM2

Matrices

Exercice 1. Soit A =





−1 4 5 4 1 3 5 3 2



 , B =





1 0 0

−3 2 0

−1 2 3



 et C =



 1 2

−1



 . Calculer AB , BA , AC et t CB .

Exercice 2. Soit θ ∈ R. On pose A θ =

cos θ − sin θ sin θ cos θ

1. Soit θ 1 ,..., θ n ∈ R. Montrer que A θ

+···+θ

=

n

Y

i=1

A θ

2. En déduire A n θ pour tout n ∈ N ∗ .

Exercice 3. Soit M =





−1 1 1

1 −1 1

1 1 −1



 1. Montrer que M 2 = −M + 2I 3 .

2. En déduire que M 3 en fonction de M et I 3 .

3. Montrer qu'il existe deux suites (a n ) et (b n ) ∈ R N telles que

∀n ∈ N, M n = a n M + b n I 3

4. Calculer M n pour tout n ∈ N.

Exercice 4. Déterminer les inverses des matrices suivantes

A =

1 1

−1 2

et B =





0 1 −1

4 −3 4 3 −3 4





Exercice 5. Soit m ∈ R. On note

A m =





1 m 1

m 1 1

1 1 m





Déterminer une condition nécessaire et susante sur m pour A m soit inver- sible et dans ce cas, calculer A −1 m .

1

Exercice 6. On considère B 0 = {P 1 , P 2 , P 3 } avec

P 1 (X) = 2X 2 − X, P 2 (X) = 2X 2 − 5X − 1 et P 3 (X) = 2X 2 − 3X − 2 1. Montrer que B 0 est une base de R 2 [X].

2. On note B la base canonique de R 2 [X] .

(a) Déterminer la matrice de passage de B à B 0 . (b) En déduire la matrice de passage de B 0 à B .

Exercice 7. Soit e 1 = (1, 0, 0) , e 2 = (1, −1, 0) , e 3 = (1, 1, 1) , f 1 = (0, 1, 1) , f 2 = (1, 0, 1) et f 3 = (1, 1, 0) des vecteurs de R 3 .

1. Montrer que B = {e 1 , e 2 , e 3 } et B 0 = {f 1 , f 2 , f 3 } sont des bases de R 3 . 2. Déterminer les matrices de passage de B à B 0 puis de B 0 à B .

Exercice 8. Écrire les matrices des applications linéaires suivantes dans les bases canoniques correspondantes :

1. f : R 2 → R 2 avec f (x, y) = (y, −x) pour tout (x, y) ∈ R 2 ;

2. f : R 3 → R 2 avec f (x, y, z) = (x + y, x − z) pour tout (x, y, z) ∈ R 3 ; 3. f : R 2 → R 3 avec f (x, y) = (x, x − y, x + y) pour tout (x, y) ∈ R 2 ; 4. f : R 3 [X] → R 3 [X] avec f (P ) = XP 0 pour tout P ∈ R 3 [X] .

Exercice 9. Soit u l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique de R 3 est

A =





0 −1 1

−1 0 −1

Feuille n ^o 3 MM2

 . Calculer AB , BA , AC et ^t CB .

1. Soit θ ₁ ,..., θ _n ∈ R. Montrer que A _θ

A _θ

2. En déduire A ⁿ _θ pour tout n ∈ N ^∗ .

 1. Montrer que M ² = −M + 2I 3 .

2. En déduire que M ³ en fonction de M et I ₃ .

3. Montrer qu'il existe deux suites (a n ) et (b n ) ∈ R ^N telles que

∀n ∈ N, M ⁿ = a n M + b n I 3

4. Calculer M ⁿ pour tout n ∈ N.

A _m =

Déterminer une condition nécessaire et susante sur m pour A m soit inver- sible et dans ce cas, calculer A ⁻¹ _m .

Exercice 6. On considère B ⁰ = {P ₁ , P ₂ , P ₃ } avec

P ₁ (X) = 2X ² − X, P ₂ (X) = 2X ² − 5X − 1 et P ₃ (X) = 2X ² − 3X − 2 1. Montrer que B ⁰ est une base de R 2 [X].

(a) Déterminer la matrice de passage de B à B ⁰ . (b) En déduire la matrice de passage de B ⁰ à B .

Exercice 7. Soit e ₁ = (1, 0, 0) , e ₂ = (1, −1, 0) , e ₃ = (1, 1, 1) , f ₁ = (0, 1, 1) , f 2 = (1, 0, 1) et f 3 = (1, 1, 0) des vecteurs de R ³ .

1. Montrer que B = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } et B ⁰ = {f ₁ , f ₂ , f ₃ } sont des bases de R ³ . 2. Déterminer les matrices de passage de B à B ⁰ puis de B ⁰ à B .

1. f : R ² → R ² avec f (x, y) = (y, −x) pour tout (x, y) ∈ R ² ;

2. f : R ³ → R ² avec f (x, y, z) = (x + y, x − z) pour tout (x, y, z) ∈ R ³ ; 3. f : R ² → R ³ avec f (x, y) = (x, x − y, x + y) pour tout (x, y) ∈ R ² ; 4. f : R 3 [X] → R 3 [X] avec f (P ) = XP ⁰ pour tout P ∈ R 3 [X] .

Exercice 9. Soit u l'endomorphisme de R ³ dont la matrice dans la base canonique de R ³ est

et e ₁ = (1, −1, 1) , e ₂ = (1, 1, 0) et e ₃ = (0, 1, 1) . 1. Vérier que B = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } est une base de R ³ .

Exercice 10. On note B et C les bases canoniques de R ² et de R ³ . Soit u : R ² → R ³ l'application dénie par

∀(x, y) ∈ R ² , u(x, y) = (3x + 4y, −x + y, 2x − 2y)

1. Soit e ⁰ ₁ = (3, 1) , e ⁰ ₂ = (−2, 5) et B ⁰ = {e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ } . Donner les matrices de passage de B à B ⁰ puis de B ⁰ à B .

2. Soit f ₁ ⁰ = (−1, 0, 1) , f ₂ ⁰ = (2, −1, 2) , f ₃ ⁰ = (1, −1, 1) et C ⁰ = {f ₁ ⁰ , f ₂ ⁰ , f ₃ ⁰ } . Donner les matrices de passage de C à C ⁰ puis de C ⁰ à C .

3. Déterminer Mat(u, B, C) , Mat(u, B ⁰ , C) , Mat(u, B, C ⁰ ) et Mat(u, B ⁰ , C ⁰ ) .

On considère l'application u de M ₂ ( R ) vers M ₂ ( R ) dénie par

Exercice 13. Soit A = (a _i,j ) ∈ M _n ( C ) . On appelle trace de A , la quantité tr A =

a _i,i

∀A, B ∈ M _n ( C ), tr (AB) = tr (BA)

5. Soit A et B deux matrices semblables dans M _n ( C ) . Comparer tr A et tr B.

Exercice 14. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et f ∈ L(E) . On suppose que f ⁿ⁻¹ 6= 0 _L(E) et f ⁿ = 0 L(E) .