CH XXII : Espaces vectoriels
I. Structure vectorielle
I.1. Définition Définition
SoitE un ensemble non vide.
• Une loi de composition interne>sur l’ensembleE est une application
>:E×E→E. Autrement dit : ∀(x, y)∈E2, x>y∈E.
• Une loi de composition externe∗ sur l’ensembleE est une application
∗:R×E →E. Autrement dit : ∀λ∈R,∀x∈E, λ∗x∈E.
Exemple
Notons E=Mn,1(R).
• Cet ensemble possède une loi de composition interne (que l’on a noté+) :
3 5 2
+
1 0
−3
=
4 5
−1
• Cet ensemble possède une loi de composition interne (que l’on a noté·) : 3·
1 0
−3
=
3 0
−9
Définition
Un ensemble non videE est un espace vectoriel surRsi : 1) E est muni d’une loi +qui vérifie les propriétés suivantes.
a) +est une loi de composition interne
b) ∀(x, y)∈E2, x+y =y+x (commutativité)
c) ∀(x, y, z)∈E2, x+ (y+z) = (x+y) +z (associativité)
d) ∃ 0E ∈E tel que : ∀x∈E, x+ 0E = 0E +x=x (élément neutre) e) ∀x∈E,∃y∈E, x+y=y+x= 0E (y opposé dex)
2) E est muni d’une loi ·qui vérifie les propriétés suivantes.
a) ·est une loi de composition externe
b) ∀(λ, µ)∈R2,∀(x, y)∈E2, λ·(x+y) =λ·x+λ·y c) ∀(λ, µ)∈R2,∀(x, y)∈E2, (λ+µ)·x=λ·x+µ·x d) ∀(λ, µ)∈R2,∀x∈E, (λµ)·x=λ·(µ·x)
e) ∀(λ, µ)∈R2,∀x∈E, 1·x=x Vocabulaire
SoitE un espace vectoriel surR.
• On parle aussi de R-espace vectoriel. À notre niveau, on pourra même omettre le Ret parler simplement d’espace vectoriel.
• Les éléments de E sont appelés vecteurs.
• Afin de faire la différence entre réels et vecteurs on note souvent les vecteurs à l’aide d’une flèche :−→x.
• L’élément neutre −→
0E de E est unique.
On pourra le noter simplement−→
0 s’il n’y a pas ambiguïté.
• Si−→x ∈E, l’opposé de−→x par+est unique et est noté −−→x.
Exemple
• R est unR-espace vectoriel.
• Mn,1(R)est un espace vectoriel puisque les lois+et·citées précédemment vérifient les propriétés de la définition.
Remarque
• L’ordre des éléments dans la multiplication externe est important :
−
→x ·λ λ· −→x X
• La définition d’ev ne fait pas apparaître de loi permettant la multiplication de vecteurs. On ne peut donc, a priori, multiplier deux vecteurs entre eux.
1 0
−3
×
3 0
−9
Proposition 1.
Soit E un espace vectoriel.
Soit (λ, µ)∈R2 et soit (−→x ,−→y)∈E2. a) λ·−→
0E =−→ 0E b) 0· −→x =−→ 0E
c) λ·(−−→x) = (−λ)· −→x =−(λ· −→x) d) λ· −→x =−→
0E ⇒ λ= 0 OU −→x =−→ 0E
Démonstration.
a) λ·−→
0E =λ·(−→ 0E +−→
0E) =λ·−→
0E+λ·−→
0E. On ajoute alors −→u l’opposé de λ−→
0E de part et d’autre de l’égalité : λ·−→
0E+−→u = λ·−→
0E +λ·−→ 0E +−→u
−→
0E = λ·−→ 0E +−→
0E = λ·−→ 0E
b) De même, on remarque 0· −→x = (0 + 0)· −→x = 0· −→x + 0· −→x et on ajoute
c) −→
0E =λ·−→
0E =λ·(−→x + (−−→x)) =λ· −→x +λ·(−−→x) et on ajoute l’opposé de λ· −→x de chaque côté.
De même, −→
0 =O· −→x = (λ+ (−λ))· −→x =λ−→x + (−λ)−→x. d) Supposonsλ· −→x =−→
0E etλ6= 0. On aura alors : 1λ·(λ· −→x) = λ1 ·−→ 0E =−→
0E
d’où1· −→x =−→
0E et−→x =−→ 0E.
Illustration sur un exemple.
Pour comprendre plus facilement ce que représentent ces propriétés, traduisons- les sur l’exemple simple deE =M3,1(R).
Notons tout d’abord que :−→ 0E =
0 0 0
a) λ·
0 0 0
=
0 0 0
b) 0·
x1
x2
x3
=
0 0 0
c) λ·
−x1
−x2
−x3
= (−λ)·
x1
x2
x3
=− λ·
x1
x2
x3
!
d) λ·
x1
x2
x3
=
0 0 0
⇒ λ= 0 OU
x1
x2
x3
=
0 0 0
Définition
SoitE unR-espace vectoriel etm∈N∗.
Soit(−→u1, . . . ,−u→m) unefamillede vecteurs de E.
• Un vecteur−→v ∈Eest unecombinaison linéairedes vecteurs−→u1, . . . ,−u→m s’il existe(λ1, . . . , λm)∈Rm tel que
−
→v =λ1−→u1+λ2−→u2+· · ·+λm−u→m
II. Sous-espaces vectoriels
II.1. Définition
Définition
SoitE unR-espace vectoriel muni des lois +et·
Une partie non videF deE est un sous-espace vectorieldeE si : a) ∀(−→x ,−→y)∈F2, −→x +−→y ∈F (F est stable pour la loi +) b) ∀λ∈R,∀−→x ∈F, λ−→x ∈F (F est stable pour la loi ·) Propriété
SoitE unR-espace vectoriel.
F est un sev deE ⇒ −→ 0E ∈F Remarque
On utilisera particulièrement la contraposée de cette propriété.
−→
0E 6∈F ⇒ F n’est pas un sev de E Notons F ={
x y z
∈M3,1(R) |x+y+z= 1}.
AlorsF n’est pas un sev de E. En effet, −→ 0E =
0 0 0
6∈F. Proposition 2 (Caractérisation des sev deE).
Soit E un R-espace vectoriel.
F est un sous-espace vectoriel de E :
ssi ∀(λ, µ)∈R2, ∀(−→x ,−→y)∈F2, λ· −→x +µ· −→y ∈F ssi ∀λ∈R, ∀(−→x ,−→y)∈F2, λ· −→x +−→y ∈F
(F est stable par combinaison linéaire d’éléments deF)
Démonstration.
1) (⇒) Soit (λ, µ) ∈ R2 et (−→x ,−→y) ∈ F2. Comme F est stable par la loi ·, on a λ· −→x ∈ F et µ· −→y ∈ F. Comme F est stable par la loi +, on a λ· −→x +µ· −→y ∈F.
(⇐) La propriété étant vraie pour tout couple(λ, µ) elle l’est pour λ= µ= 1, ce qui montre la stabilité deF par la loi+. En prenant seulement µ= 0, on prouve queF est stable pour la loi ·
2) Démonstration similaire.
Proposition 3.
SoitE un R-espace vectoriel.
F sous-espace vectoriel de E ⇒ F est un espace vectoriel Démonstration.
+est une loi de composition interne pour F (par stabilité).
·est une loi de composition externe pourF (par stabilité).
De plus, ces deux lois vérifient les axiomes des espaces vectoriels puisqu’elles font déjà deE un espace vectoriel.
Exemple
• SiE est un ev,{−→
0E} etE sont des sev de E.
• L’ensemble des fonctions deRdansR, notéF(R,R), est unR-espace vec- toriel (pour le démontrer : montrer que tous les axiomes sont vérifiés).
L’ensemble des fonctions réelles bornées / polynômes / paires sont des sous-espaces vectoriels de F(R,R) et sont donc eux-mêmes des espaces vectoriels.
• {
x1
x2
x3
∈M3,1(R)|3x1+ 2x2−x1 = 0} est un sev deM3,1(R).
Montrer qu’un ensemble F est un espace vectoriel
Afin de montrer que F est un ev, il existe deux grandes méthodes.
1) Vérifier tous les axiomes d’espace vectoriel : plutôt long et pénible.
2) Montrer que F est en fait un sev d’un evE : plus simple et rapide ! On doit alors démontrer que :
(i) F ⊆E
(ii) F 6=∅: on montre généralement que−→ 0E ∈F (iii) Si(−→x ,−→y)∈F2, −→x +−→y ∈F
(iv) Siλ∈R et−→x ∈F, λ· −→x ∈F
Étant donnée la propriété précédente, les points(iii)et(iv)peuvent être remplacés par la propriété équivalente :
(iii) Siλ∈R et(−→x ,−→y)∈F2, λ· −→x +−→y ∈F Illustration sur un exemple (fondamental !)
• Montrer que {
x1
x2
x3
∈M3,1(R) |3x1+ 2x2−x1= 0}est un ev.
• Généralisation. Soit n∈Net soit M ∈Mp,n(R). On considère : F ={X ∈Mn,1(R) |M X = 0}
Montrons que l’ensemble F est un sev de Mn,1(R) (et donc un ev).
(i) F ⊆E.
(ii) F est non vide : en effet le vecteur nul deMn,1(R)est une solution du système M X = 0.
(iii) Si X1 et X2 sont deux solutions du systèmes, alors X1 +X2 est aussi solution du système car M(X1+X2) =M X1+M X2= 0.
(iv) Si λ ∈ R et X ∈ Mn(R) solution du système alors λX est une solution du système car M(λX) =λM X = 0.
II.2. Sous-espace vectoriel engendré par une partie
Définition
SoitE unR-espace vectoriel.
SoitA une partie non vide de E (A⊆E).
• On appelle sous-espace vectoriel engendré par A et on note Vect (A) l’ensemble des vecteurs de E qui s’écrivent comme combinaison linéaire d’éléments de A. Autrement dit :
Vect (A) ={
p
P
i=1
λi−→ai |p∈N∗,(λ1, . . . , λp)∈Rp,(−→a1, . . . ,−→ap)∈Ap}
• Si de plus, A={−→a1, . . . ,−a→m} (i.e. A fini), Vect (A) = Vect (−→a1, . . . ,−a→m) =
m P
i=1
λi−→ai | (λ1, . . . , λm)∈Rm
(on note Vect (−→a1, . . . ,−a→m) en lieu et place de Vect ({−→a1, . . . ,−a→m}))
On suppose seulement queA est une partie non vide deE.
En aucun cas on ne suppose que A est un espace vectoriel.
Vect (A) est le vectorialisé de A. Partant d’une partie A, on lui ajoute tous les éléments lui permettant d’obtenir une structure vectorielle :
• pour touta∈A, on ajoute tous les λaavec λ∈R,
• une fois ces ajouts effectués, on ajoute toutes les sommes finies d’éléments de cette nouvelle partie.
En somme, partant deA, on ajoute toutes les combinaisons linéaires d’éléments deA. On obtient ainsi un espace vectoriel : c’estVect (A).
Propriété
SoitE unR-espace vectoriel.
SoitA une partie non vide de E (A⊆E).
1) −→
0E ∈Vect (A).
2) A⊆Vect (A).
3) Vect (A) est le plus petit sev deE contenantA.
4) A est un ev⇔ A= Vect (A).
5) On a notamment :Vect (Vect (A)) = Vect (A).
6) A⊆B ⇒ Vect (A)⊆Vect (B).
Démonstration.
1) En prenant p= 1,λ1 = 0,−→a ∈A, on obtient0· −→a =−→
0E ∈Vect (A).
2) En prenant p= 1,λ1 = 1,−→a ∈A, on obtient1· −→a =−→a ∈Vect (A).
3) Vect (A) est bien un sev de E car c’est une partie non vide de E, stable par+ et·. De plus, on remarque que tout sev de E qui contient A doit contenir toutes les combinaisons linéaires d’éléments deA(par définition d’ev) et doit donc contenirVect (A).
4) (⇒)SiA est un ev, alorsAest le plus petit ev deA contenantA. Ainsi, Vect (A) =A.
(⇐) SiA= Vect (A), commeVect (A)est un ev, alors A est un ev.
5) Vect (A) est un ev doncVect (Vect (A)) = Vect (A).
6) SupposonsA⊆B et soit −→x ∈Vect (A).
Alors−→x =
p
P
i=1
λi−→ai pour(λ1, . . . , λp)∈Rp et(−→a1, . . . ,−→ap)∈Ap. Comme A⊆B, pour tout ion a−→ai ∈B et donc −→x ∈Vect (B).
Exemple
• SiA={−→
0}, on aVect (A) =A={−→ 0}.
• SiA={−→a}avec −→a 6=−→
0 alorsVect (A) ={λ−→a |λ∈R}.
On notera simplementVect (−→a) au lieu deVect ({−→a}).
• SiA={−→a ,−→
b} avec −→a 6=−→ 0 et−→
b 6=−→
0 alors on a : Vect (A) ={λ−→a +β−→
b |(λ, β)∈R2}.
On notera simplementVect −→a ,−→
b
au lieu deVect
{−→a ,−→ b}
.
• On a notamment : {
x y z
∈M3,1(R) |x= 2y etz=−y}
= {
2y
y
−y
|y∈R} = {y
2 1
−1
|y∈R} = Vect
2 1 1
!
• Et aussi : { 3x+ 2y
x+ 2y+z
∈M2,1(R) |(x, y, z)∈M3,1(R)}
= {x
3 1
+y
2 2
+z
0 1
|(x, y)∈R2}
= Vect
3 1
,
2 2
,
0 1
= Vect
3 1
,
1 1
,
0 1
= Vect
1 1
,
0 1
= R2
Proposition 4.
SoitE un R-espace vectoriel.
SoitA une partie non vide deE (A⊆E).
1) Si −→a 6=−→
0E, on a Vect
−→a ,−→ 0E
= Vect (−→a).
2) De manière générale, on a :
−−−→um+1∈Vect (−→u1, . . . ,−→us) ⇒ Vect (−→u1, . . . ,−→us,−−→us+1)
= Vect (−→u1, . . . ,−→us) 3) ∀λ∈R: Vect (−→u1, . . . ,λ−→ui, . . . ,−→us) = Vect (−→u1, . . . ,−→ui, . . . ,−→us)
Démonstration.
2) (⊇) Évident.
(⊆) Si −→u ∈ Vect (−→a1, . . . ,−a→m,−−−→am+1), alors −→u s’écrit −→u =
m+1
P
i=1
λi−→ai. Or
−−−→am+1 ∈Vect (−→a1, . . . ,−a→m) donc−−−→am+1 = Pm i=1
µi−→ai. Ainsi :
−
→u = m
P
i=1
λi−→ai
+ λm+1 −−−→am+1
= m
P
i=1
λi−→ai
+ λm+1 m
P
i=1
µi−→ai
=
m
P
i=1
(λi+λm+1 µi) −→ai
et donc −→u ∈Vect (−→a1, . . . ,−a→m).
II.3. Base d’un sous-espace vectoriel Définition
SoitE un espace vectoriel.
• On dira qu’une familleB= (−→e1, . . . ,−→en)∈En est unebase de E si pour tout vecteur−→x de E, il existe un unique n-uplet
(x1, . . . , xn)∈Rn tels que :
−
→x =
n
P
i=1
xi −→ei
• Autrement dit,−→x se décompose de manière unique sous forme d’une combinaison linéaire de (−→e1, . . . ,−→en).
• Les réels(x1, . . . , xp) sont lescoordonnées de−→x dans la base B.
Exemple
a) Si on prend E=M2,1(R).
• La famille
1 0
n’est pas une base deE.
En effet, −→x =
0 1
ne peut s’écrire sous la formeλ
1 0
.
• La famille
1 0
,
0 1
est une base deM2,1(R).
Elle est appelée base canonique de M2,1(R).
• La famille
1 0
,
1 1
est elle aussi une base deM2,1(R).
• La famille
1 0
,
1 1
,
0 1
n’est pas une base de E.
En effet,
2 1
= 2
1 0
+
0 1
= 2
1 1
− 0
1
. b) Si on prend E=M3,1(R).
• La famille
1 0 0
!
n’est pas une base de E.
En effet, −→x =
0 1 0
ne peut s’écrire sous la formeλ
1 0 0
.
• La famille
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
!
est une base deM3,1(R).
Elle est appelée base canonique de M3,1(R).
• La famille
1 0 0
,
0 1 1
,
0 0 1
!
est elle aussi une base deM3,1(R).
• La famille
1 0 0
,
0 1 0
,
0 1 1
,
0 0 1
!
n’est pas une base de E.
Interprétation graphique.
a) L’ensembleM2,1(R) « n’est rien d’autre » queR2.
(note : on pourrait exprimer cette correspondance en termes mathéma- tiques précis)
• Le vecteur
1 0
peut-être vu comme le vecteur directeur de l’axe des abscisses (−→
i). Vect
1 0
est alors la droite vectorielle dirigée par
−
→i : c’est l’axe des abscisses.
• Le vecteur
0 1
peut-être vu comme le vecteur directeur de l’axe des ordonnées (−→
j).Vect
0 1
est alors la droite vectorielle dirigée par
−
→j : c’est l’axe des ordonnées.
• La famille
1 0
,
0 1
constitue une base du plan (vectoriel) R2. Tout pointP deR2 s’écrit de manière unique sous la forme :x−→
i +y−→ j. x(abscisse) et y (ordonnée) sont les coordonnées du pointP.
b) L’ensembleM3,1(R) « n’est rien d’autre » queR3.
• Le vecteur
1 0 0
peut-être vu comme le vecteur directeur de l’axe des abscisses (−→
i). Vect
1 0
est alors la droite vectorielle dirigée par
−
→i : c’est l’axe des abscisses.
• De même,−→ j =
0 1 0
et−→ k =
0 0 1
.
• Vect
1 0 0
,
0 1 0
!
et Vect
0 1 0
,
0 0 1
!
sont deux plans dont l’intersection est la droite vectorielleVect
0 1 0
! .
•
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
!
constitue une base de l’espaceR3. Tout point P de R3 s’écrit de manière unique sous la forme :x−→
i +y−→ j +z−→
k avec x (abscisse),y (ordonnée) etz (cote), coordonnées du point P.
c) De même, R4 s’identifie à Vect
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 0 1
, espace de dimension 4.
d) Et aussi R5 espace vectoriel de dimension 5.
e) . . .
Proposition 5.
SoitE un espace vectoriel.
B= (−→e1, . . . ,−→en)∈En une base deE ⇒ E = Vect (−→e1, . . . ,−→en) Démonstration.
Comme B est une base de E, tout élément −→x se décompose (de manière unique) comme combinaison linéaire d’éléments de B donc appartient à Vect (−→e1, . . . ,−→en).
Remarque
Il n’y a pas équivalence. Par exemple, si on prendE =M2,1(R).
Alors E = Vect
1 0
,
1 1
,
0 1
et
1 0
,
1 1
,
0 1
n’est pas une base de E.
Définition
SoitE un espace vectoriel.
Soit(−→e1, . . . ,−→en) une famille de vecteurs deE.
• La famille (−→e1, . . . ,−→en) est ditegénératricesi : E= Vect (−→e1, . . . ,−→en)
Autrement dit, si tout vecteur de E peut s’écrire comme combinaison li- néaire de vecteurs de la famille.
• La famille (−→e1, . . . ,−→en) est ditelibre si :
∀(λ1, . . . , λn)∈Rn, n
P
i=1
λi−→ei =−→
0 ⇒ λ1=· · ·=λn= 0
On dira aussi que les vecteurs (−→e1, . . . ,−→en) sont linéairement indépen- dants: aucun des−→ei ne peut s’exprimer comme combinaison linéaire (non triviale) des autres vecteurs.
Proposition 6.
Soit E un espace vectoriel.
La famille(−→e1, . . . ,−→en) deE
est une base deE ⇔ 1) C’est une famille génératrice.
2) C’est une famille libre.
Démonstration.
(⇒)Si(−→e1, . . . ,−→en) est une base deE, alors elle est génératrice (c’est l’objet de la proposition 5). Il reste donc à démontrer que cette famille est libre.
Supposons qu’il existe une relation de dépendance linéaire entre les−→ei; soit (λ1, . . . , λn)∈Rn un n-uplet tel que :
λ1−→e1 +· · ·+λn−→en=−→ 0 On exprime ainsi−→
0 comme combinaison linéaire d’éléments de(−→e1, . . . ,−→en).
La famille(−→e1, . . . ,−→en) étant une base deE, le vecteur −→
0 admet décomposi- tion unique dans(−→e1, . . . ,−→en). Or−→
0 s’écrit aussi comme :−→
0 = 0−→e1+· · ·+0−→en. On en déduit que ces deux décompositions sont identiques. Ainsi,λ1=· · ·= λn= 0 et la famille(−→e1, . . . ,−→en) est bien libre.
(⇐) Si la famille (−→e1, . . . ,−→en) est génératrice alors tout élément −→x de E s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs (−→e1, . . . ,−→en). Il suffit donc de montrer que cette décomposition est unique. Supposons donc que−→x ∈E admettent deux décompositions différentes :
−
→x = λ1−→e1 + . . . + λn−→en
−
→x = β1−→e1 + . . . + βn−→en
où lesλi etβi sont des réels. Par soustraction, on a alors :
−
→0 = (λ1−β1)−→e1 + . . . + (λn−βn)−→en
Comme(−→e1, . . . ,−→en)est une famille libre on obtient que :λ1−β1 =· · ·=λn− βn= 0. D’oùλi =βipour touti∈J1, nKce qui conclut la démonstration.
Théorème 1.
Soit E un espace vectoriel non réduit à {−→ 0E}.
• Si E admet une base B de cardinal fini n∈N, alors toutes les bases de E sont finies et de cardinal n.
• Ce nombrenest appelédimension de l’espace vectorielE, notédimE.
• Par convention, on note dim({−→ 0E}) = 0.
Démonstration.
Ce n’est pas un attendu du programme de première année.
On ne développera donc pas la démonstration ici.
Remarque
• dim (M2,1(R)) = 2.
• dim (M3,1(R)) = 3.
• dim (M4,1(R)) = 4.
III. Application linéaires
III.1. Définition
Définition
SoientE etF deux espaces vectoriels.
• Une applicationf :E→F est ditelinéairesi :
∀(−→x ,−→y)∈E2, f(−→x +−→y) =f(−→x) +f(−→y)
∀λ∈R,∀−→x ∈E2, f(λ· −→x) =λ·f(−→x)
(compatibilité pour les lois +et ·)
• L’ensemble des applications linéaires de E dansF est notéL(E, F).
• Lorsque E=F, on notera simplement L(E).
Proposition 7 (Caractérisation des applications linéaires).
Soient E et F deux espaces vectoriels.
Une application f :E →F est linéaire ssi :
∀(λ, µ)∈R2,∀(−→x ,−→y)∈E2, f(λ· −→x +µ· −→y) =λ·f(−→x) +µ·f(−→y) On peut aussi énoncer la propriété équivalente :
∀λ∈R,∀(−→x ,−→y)∈E2, f(λ· −→x +−→y) =λ·f(−→x) +f(−→y) Démonstration.
C’est un bon exercice. La méthode est similaire à celle utilisée dans la dé- monstration de la proposition 2.
Propriété
SoientE etF deux espaces vectoriels.
Soitf ∈L(E, F) une application linéaire. Alors : 1) f(−→
0E) = −→ 0F
2) ∀−→x ∈E, f(−−→x) =−f(−→x)
3) ∀(λ1, . . . , λn)∈Rn,∀(−→x1, . . . ,−x→n)∈En,
f(λ1· −→x1+· · ·+λn· −x→n) =λ1·f(−→x1) +· · ·+λn·f(−x→n) (compatibilité de f avec les combinaisons linéaires)
Remarque
Une application linéaire est donc à la fois convexe et concave.
Exemple
• L’application nulle deE dansF, définie par f(−→x) =−→
0F pour tout −→x ∈E est une application linéaire.
• L’application identité de E, définie par f(−→x) =−→x pour tout −→x ∈ E est une application linéaire.
• Considérons E=Ret des applications f :E→E.
a) L’application f : R → R
x 7→ 0 est linéaire.
b) L’application f : R → R
x 7→ 1 n’est pas linéaire.
En effet,f(0) = 16= 0.
c) L’application f : R → R
x 7→ 3x est une application linéaire.
En effet,f(0) = 16= 0.
d) L’application f : R → R
x 7→ 3x+ 2 n’est pas linéaire.
6= 0.
• Exemple fondamental. SiM ∈Mp,n(R), alors :
L’applicationf définie par f : Mn,1(R) → Mp,1(R)
X 7→ M X est linéaire.
Théorème 2.
Soitn et p deux entiers naturels non nuls.
Toute application linéaire f deMn,1(R) dans Mp,1(R) est de la forme : f : Mn,1(R) → Mp,1(R)
X 7→ M X
Démonstration.
Notons BE = (−→e1, . . . ,−→en) la base canonique de E=Mn,1(R).
Notons BF = (−→
f1, . . . ,−→
fp) la base canonique deF =Mp,1(R).
Tout vecteurX =
x1
... xn
de Mn,1(R) se décompose de manière unique sur la baseBE : X = x1·
1 0 ... 0
+ . . . +xn·
0
... 0 1
= x1· −→e1+ . . . +xn· −→en
Par application de la fonctionf, linéaire, on obtient : f(X) = x1·f(−→e1) + . . . +xn·f(−→en)
Ainsi, f(X) ne dépend que des valeurs des f(−→ei) : l’image de la fonction f est uniquement déterminée par la valeur de f sur les vecteurs −→ei. En fait, f peut s’écrire sous la forme matricielle f :X 7→M X où M est la matrice obtenue en concaténant les vecteursf(−→ei).
M = ( f(−→e1) , . . . , f(−→en) )
q q
(
a11
... ap1
, . . . ,
a1n
... apn
)
III.2. Noyau d’une application linéaire
Définition
SoientE etF deux espaces vectoriels et soit f ∈L(E, F).
On appelle noyau de f et on note Kerf l’ensemble : Kerf ={−→x ∈E |f(−→x) =−→
0F}
Théorème 3.
Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f ∈L(E, F).
AlorsKerf est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration.
• Kerf ⊆E (évident) etKerf 6=∅:f(−→ 0E) =−→
0F donc −→
0E ∈Kerf,
• Siλ∈Ret(−→x ,−→y)∈(Kerf)2, alors−→x +λ· −→y ∈Kerf car : f(−→x +λ· −→y) =f(−→x) +λ·f(−→y) =−→
0F +λ·−→ 0F =−→
0F. Exemple
Reprenons l’exemple fondamental.
• Soit M ∈Mp,n(R)et f : Mn,1(R) → Mp,1(R)
X 7→ M X .
AlorsKerf ={X ∈Mn,1(R) |M X = 0}.
Ainsi, Kerf est l’ensemble des solutions du système homogène M X = 0.
(ninconnues et péquation)
• Il faut savoir reconnaître les ensembles représentant des noyaux.
Par exemple, F = {
x y z
∈M3,1(R) |x= 2y etz=−y} = Kerf où l’application linéairef est définie par :
f : M3,1(R) → R2
x y z
7→
x−2y y+z
=
1 −2 0 0 1 1
x y z
On peut écrire ce noyau comme espace vectoriel engendré par une partie.
Kerf ={
2y
y
−y
|y∈R} = {y
2 1
−1
|y ∈R} = Vect
2 1 1
!
• L’ensembleF ={
x1
x2
x3
∈M3,1(R) |3x1+ 2x2−x3 = 0}est un ev.
En effet, c’est le noyau de l’application linéaire
f : M3,1(R) → R
x1
x2
x3
7→ 3x1+ 2x2−x3 = 3 2 −1
x1
x2
x3
On peut écrire ce noyau comme espace vectoriel engendré par une partie.
F = {
x1
x2
3x1+ 2x2
∈M3,1(R)}
= {x1
1 0 3
+x2
0 1 2
|(x1, x2)∈R2}= Vect
1 0 3
,
0 1 2
!
Théorème 4.
Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f ∈L(E, F).
f injective ⇔ Kerf ={−→ 0E} Démonstration.
(⇒) Comme f linéaire, f(−→
0E) = −→
0F. Comme f est injective, s’il existe un autre vecteurf(−→x) tel quef(−→x) =−→
0F, c’est que−→x =−→ 0E.
(⇐)Soit(−→x ,−→y)∈E2tel quef(−→x) =f(−→y). On a alors :f(−→x)−f(−→y) =−→ 0F, ce qui s’écritf(−→x − −→y) =−→
0F. Ainsi, −→x − −→y ∈Kerf, d’où−→x − −→y =−→ 0E et
−
→x =−→y.
III.3. Image d’une application linéaire
Définition
SoientE etF deux espaces vectoriels et soit f ∈L(E, F).
On appelle image de f et on note Imf l’ensemble : Imf ={−→y ∈F | ∃−→x ∈E, y=f(−→x)}
Théorème 5.
Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f ∈L(E, F).
AlorsImf est un sous-espace vectoriel de F. Démonstration.
• Imf ⊆F (évident) et Imf 6=∅:f(−→ 0E) =−→
0F donc −→
0F ∈Imf.
• Si λ ∈ R et (−→y1,−→y2) ∈ (Imf)2, alors il existe (−→x1,−→x2) ∈ E2 tel que y1 =f(−x→1) ety2=f(−→x2). Alors−→y1 +λ· −→y2 ∈Imf car :
−
→y1+λ· −→y2 =f(−→x1) +λ·f(−→x2) =f(−→x1+λ·f(−→x2)).
Exemple
Reprenons l’exemple fondamental.
• Soit M ∈Mp,n(R)et f : Mn,1(R) → Mp,1(R)
X 7→ M X .
Alors Imf ={Y ∈Mp,1(R) | ∃X∈Mn,1(R), Y =M X}. Ainsi, Imf est l’ensemble des seconds membres Y tels que le système M X = Y admet une solution.
• Il faut savoir reconnaître les ensembles écrits comme des images.
Par exemple, F ={
3x+ 2y x+ 2y+z
∈M2,1(R) |
x y z
∈M3,1(R)}= Imf où l’application linéaire f est définie par :
f : M3,1(R) → M2,1(R)
x
7→ 3x+ 2y =
3 2 0
x
On peut écrire cette image comme espace vectoriel engendré par une partie.
Imf = {x
3 1
+y
2 2
+z
0 1
|(x, y)∈R2}
= Vect
3 1
,
2 2
,
0 1
= Vect
3 1
,
0 1
= R2
Théorème 6.
Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f ∈L(E, F).
f surjective ⇔ Imf =F Démonstration.
On ne fait que rappeler ici le résultat obtenu dans le chapitre Ensembles et applications.
Remarque
Évidemment, dans le cas où l’application linéaire f est à la fois injective et bijective, on dit que f est bijective. Une application linéaire est avant tout une application (tout court) et les résultats obtenus dans le chapitre Ensembles et applications s’appliquent aux applications linéaires.
Théorème 7.
Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f ∈L(E, F).
SoitB= (−→e1, . . . ,−→en) une base de E.
AlorsImf est le sous-espace vectoriel deF engendré par la famille(f(−→e1), . . . , f(−→en)).
Imf = Vect (f(−→e1), . . . , f(−→en)) Démonstration.
(⊆) Soit −→y ∈Imf. Alors il existe −→x ∈E tel que−→y =f(−→x). Dans la base B,−→x s’écrit : −→x =x1· −→e1 +· · ·+xn· −→en
On a donc : f(−→x) =x1·f(−→e1) +· · ·+xn·f(−→en).
Ainsi, −→y ∈Vect (f(−→e1), . . . , f(−→en))
(⊇) Chacun des vecteurs f(−→ei) est dans Imf, ce qui suffit à démontrer l’inclusion.
Remarque
On a déjà utilisé cette propriété sans la citer. En effet, si l’on considère de nouveau l’application linéairef :
f : M3,1(R) → M2,1(R)
x y z
7→
3x+ 2y x+ 2y+z
=
3 2 0 1 2 1
x y z
AlorsImf s’écrit sous la forme : Imf = {x3
1
+y
2 2
+z
0 1
|(x, y)∈R2}
= Vect
3 1
,
2 2
,
0 1
q q q
= Vect f
1 0 0
! , f
0 1 0
! , f
0 0 1
!!
III.4. Conclusion : montrer qu’un ensemble F est un ev Nous pouvons maintenant compléter notre liste de méthodes permettant de montrer qu’un ensemble F est un espace vectoriel.
1) Revenir à la définition et vérifier tous les axiomes.
Long et pénible – à éviter.
2) Montrer que F est un sous-espace vectorielF d’un ev E.
Méthode classique (fonctionne toujours !) à connaître absolument.
3) Montrer que F s’écrit sous la forme :F = Vect (−→a1, . . . ,−a→m).
Plus élégant et rapide.
4) Montrer que F s’écrit sous la forme :F = Kerf où f est une application linéaire.
Plus élégant et rapide.
5) Montrer que F s’écrit sous la forme :F = Imf où f est une application linéaire.
Tout aussi élégant et rapide.
