Corrigé de la série 11

(1)

EPFLAlgèbre linéaire 1ère année 2009-2010

Corrigé de la série 11

Exercice 1. 1. On a dim(Mat(n, m;F)) = mn = dim(Mat(m, n;F)), donc, d'après une proposition du cours, il sut de montrer que φ est injective, c'est-à-dire ker(φ) = {0}. Si A ∈ ker(φ), alors A^t = 0. Mais on a alors 0 = (A^t)_ij = (A)_ji pour i = 1, . . . , m et j = 1, . . . , n. Tous les coecients de A sont donc nuls, ce qui montre queA est nulle. On a donc bienker(φ) = {0}.

2. On calcule pour i= 1, . . . , met j = 1, . . . , n :

((A·B)^t)ij = (A·B)ji =

k

X

s=1

(A)js(B)si =

k

X

s=1

(A^t)sj(B^t)is =

k

X

s=1

(B^t)is(A^t)sj = (B^t·A^t)ij. Comme les coecients de(A·B)^t etB^t·A^t sont les mêmes, on a donc(A·B)^t=B^t·A^t. 3. Si A est inversible, alors il existe A⁻¹ ∈ Mat(n, n;F) telle que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I_n. On calcule en utilisant la question précédente : A^t·(A⁻¹)^t = (A⁻¹·A)^t = I_n^t = I_n, car (I_n^t)_ij = (I_n)_ji = δ_ji = δ_ij = (I_n)_ij pour i, j = 1, . . . , n, ce qui implique I_n = I_n^t. (On montre de la même manière (A⁻¹)^t·A^t =I_n.) On a donc prouvé que(A⁻¹)^t est l'inverse deA^t, donc(A⁻¹)^t = (A^t)⁻¹.

Exercice 2. 1. Soient p, q ∈P2(R), et α, β ∈R. On a

L(αp+βq) = ((αp+βq)(−1),(αp+βq)⁰(1)) = (αp(−1) +βq(−1), αp⁰(1) +βq⁰(1))

=α(p(−1), p⁰(1)) +β(q(−1), q⁰(1)) =αL(p) +βL(q).

L est donc bien linéaire.

2. On calcule L(1) = (1,0) = e1, L(X) = (−1,1) =−e1 +e2 et L(X²) = (1,2) = e1+ 2e2. On trouve donc

[L]_B₂_,_B₁ =

1 −1 1 0 1 2

. D'après le cours, on trouve donc

[L(4−3X+X²)]_B₂ = [L]_B₂_,_B₁ ·[4−3X+X²]_B₁

=

1 −1 1 0 1 2

·



 4

−3 1



= 8

−1

.

3. On calcule L(1) = (1,0),L(1−X) = (2,−1) = −(−2,1)etL((1−X)²) = (4,0) = 4(1,0). On trouve donc

[L]_B⁰

2,B⁰1 =

1 0 4 0 −1 0

.

1

(2)

On calcule4−3X+X² = (1−X)²+ 2X−1−3X+ 4 = (1−X)²+ (1−X)−1 + 3 = (1−X)²+ (1−X) + 2. D'après le cours, on trouve alors

[L(4−3X+X²)]_B⁰

2 = [L]_B⁰

2,B⁰1 ·[4−3X+X²]_B⁰

1

=

1 0 4 0 −1 0

·



 2 1 1



= 6

−1

.

Exercice 3. 1. SoientM, N ∈Mat(n;F)etα, β ∈F. On aψ(αM+βN) =A·(αM+βN) = A·(αM) +A·(βN) =αA·M +βA·N =αψ(M) +βψ(N) en utilisant l'exercice 4 de la série 10 (pour la deuxième égalité). ψ est donc linéaire.

2. Si ψ est un isomorphisme, alorsψ est surjective et il existeB ∈Mat(n;F)telle queBA= In. A est donc inversible (voir le cours). Si A est inversible, alors on a ψ(A⁻¹M) = M pour tout M ∈ Mat(n;F) et ψ est surjective. Comme ψ est linéaire et ψ : Mat(n;F) → Mat(n;F), on sait alors par une proposition du cours que ψ est un isomorphisme.

3. On rappelle que la base canonique de Mat(2;F) est B = (e₁₁, e₁₂, e₂₁, e₂₂), voir le cours ou le corrigé de l'exercice 1 de la série 9. On écrit A=

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

et on calcule

ψ(e11) =

a11 a12

a₂₁ a₂₂

· 1 0

0 0

=

a11 0 a₂₁ 0

=a11e11+a21e21, ψ(e₁₂) =

a₁₁ a₁₂ a21 a22

· 0 1

0 0

=

0 a₁₁ 0 a21

=a₁₁e₁₂+a₂₁e₂₂, ψ(e₂₁) =

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

· 0 0

1 0

=

a₁₂ 0 a₂₂ 0

=a₁₂e₁₁+a₂₂e₂₁ etψ(e₂₂) =

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

· 0 0

0 1

=

0 a₁₂ 0 a₂₂

=a₁₂e₁₂+a₂₂e₂₂. On trouve donc

[ψ]_B_,_B =







a₁₁ 0 a₁₂ 0 0 a₁₁ 0 a₁₂ a21 0 a22 0

0 a₂₁ 0 a₂₂





 . Exercice 4. 1. On a

T_A(x, y, z) = Real_B(A[(x, y, z)]_B) = Real_B









1 2 −3 2 4 −1 0 2 0



·



 x y z









=Real_B









x+ 2y−3z 2x+ 4y−z

2y









On trouve donc T_A(x, y, z) = (x+ 2y−3z,2x+ 4y−z,2y) pour tout (x, y, z)∈F³. 2. On calcule

A·B =





1 2 −3 2 4 −1 0 2 0



·





−1/5 3/5 −1

0 0 1/2

−2/5 1/5 0





=





−1/5 + 6/5 3/5−3/5 −1 + 1

−2/5 + 2/5 6/5−1/5 −2 + 2

0 0 1



=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



=I3.

2

(3)

De même, on trouve

B·A=





−1/5 3/5 −1

0 0 1/2

−2/5 1/5 0



·





1 2 −3 2 4 −1 0 2 0



=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



=I₃. 3. On a, d'après le cours :

[T_A◦T_B]_B_,_B = [T_A]_B_,_B·[T_B]_B_,_B =A·B =I₃ = [Id_F³]_B_,_B.

Comme l'applicationC ∈Mat(3,3;F)7→T_C ∈L(F³,F³)est un isomorphisme, on obtient T_A◦T_B = Id_F³. De la même manière, B ·A = I₃ implique T_B ◦T_A = Id_F³. Donc T_B est l'inverse de T_A, T_A⁻¹ = T_B. Un calcul comme dans la première question de cet exercice donne T_B(x, y, z) = (−x/5 + 3y/5−z, z/2,−2x/5 +y/5) pour tout(x, y, z)∈F³.

Exercice 5. On cherche à résoudre le système :

x·



 s−1

3 3



+y·



 s−1

s s



+z·



 0 s s²



=



 0 0 0



↔





s−1 s−1 0 0

3 s s 0

3 s s² 0



 (L₁) (L₂) (L₃) On obtient après une première étape, en supposant s6= 1,

(L₁)

(L⁰₂) = (s−1)(L2)−3(L1) (L⁰₃) = (s−1)(L₃)−3(L₁)





s−1 s−1 0 0

0 s²−s−3s+ 3 s²−s 0 0 s²−s−3s+ 3 s³−s² 0





=





s−1 s−1 0 0

0 (s−1)(s−3) s(s−1) 0 0 (s−1)(s−3) s²(s−1) 0





et en continuant de la même manière (L₁)

(L⁰₂)

(L⁰⁰₃) = (L⁰₃)−(L⁰₂)





s−1 s−1 0 0

0 (s−1)(s−3) s(s−1) 0

0 0 s(s−1)² 0



.

Si s 6= 1, s 6= 0 et s 6= 3, on trouve donc z = 0, qui implique y = 0 et x = 0. Les trois vecteurs sont dans ce cas linéairement indépendants, et, par conséquent, rang(As) = 3 pour tout s∈R\ {0,1,3}.

Si s = 0, alors A_s = A₀ =





−1 −1 0

3 0 0



 et rang(A₀) = 2. Si s = 1, alors A_s = A₁ =





0 0 0 3 1 1 3 1 1



et rang(A₁) = 1. Si s= 3, alorsA_s =A₃ =





2 2 0 3 3 3 3 3 9



 et rang(A₃) = 2. Exercice 6. On a pour i= 1, . . . , n+p etk = 1, . . . , m+l

(A)_ik =











(A₁)_ik si 1≤i≤n, 1≤k≤m (A₂)_i(k−m) si 1≤i≤n, m+ 1 ≤k≤m+l

(A₃)(i−n)k sin+ 1≤i≤n+p, 1≤k≤m (A₄)(i−n)(k−m) sin+ 1≤i≤n+p, m+ 1 ≤k≤m+l

3

(4)

et pour k = 1, . . . , m+l etj = 1, . . . , q+r

(B)kj =











(B₁)_kj si 1≤k≤m, 1≤j ≤q (B2)k(j−q) si 1≤k≤m, q+ 1≤j ≤q+r (B₃)_(k−m)j si m+ 1 ≤k≤m+l, 1≤j ≤q (B₄)(k−m)(j−q) si m+ 1 ≤k≤m+l, q+ 1≤j ≤q+r On calcule (A·B)ij pouri= 1, . . . , n+p etj = 1, . . . , q+r :

(A·B)_ij =

m+l

X

k=1

(A)_ik(B)_kj =

m

X

k=1

(A)_ik(B)_kj+

m+l

X

k=m+1

(A)_ik(B)_kj

=











Pm

k=1(A₁)_ik(B₁)_kj +Pm+l

k=m+1(A₂)i(k−m)(B₃)(k−m)j

sii∈ {1, . . . , n} et j ∈ {1, . . . , q}

Pm

k=1(A₁)_ik(B₂)k(j−q)+Pm+l

k=m+1(A₂)i(k−m)(B₄)(k−m)(j−q)

sii∈ {1, . . . , n} et j ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

Pm

k=1(A₃)(i−n)k(B₁)_kj +Pm+l

k=m+1(A₄)(i−n)(k−m)(B₃)(k−m)j

si i∈ {n+ 1, . . . , n+p} et j ∈ {1, . . . , q}

Pm

k=1(A3)(i−n)k(B2)k(j−q)+Pm+l

k=m+1(A4)(i−n)(k−m)(B4)(k−m)(j−q)

si i∈ {n+ 1, . . . , n+p} et j ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

=











Pm

k=1(A₁)_ik(B₁)_kj +Pl

k=1(A₂)_ik(B₃)_kj si i∈ {1, . . . , n} etj ∈ {1, . . . , q}

Pm

k=1(A₁)_ik(B₂)k(j−q)+Pl

k=1(A₂)_ik(B₄)k(j−q)

si i∈ {1, . . . , n} etj ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

Pm

k=1(A₃)(i−n)k(B₁)_kj +Pl

k=1(A₄)(i−n)k(B₃)_kj sii∈ {n+ 1, . . . , n+p} etj ∈ {1, . . . , q}

Pm

k=1(A₃)(i−n)k(B₂)k(j−q)+Pl

k=1(A₄)(i−n)k(B₄)k(j−q)

sii∈ {n+ 1, . . . , n+p} etj ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

=











(A1·B1)ij + (A2·B3)ij si i∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , q}

(A₁·B₂)i(j−q)+ (A₂·B₄)i(j−q) si i∈ {1, . . . , n}, j ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

(A₃·B₁)(i−n)j + (A₄·B₃)(i−n)j si i∈ {n+ 1, . . . , n+p}, j ∈ {1, . . . , q}

(A3·B2)(i−n)(j−q)+ (A4·B4)(i−n)(j−q) si i∈ {n+ 1, . . . , n+p}, j ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

=











(A₁·B₁+A₂·B₃)_ij sii∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , q}

(A₁·B₂+A₂·B₄)i(j−q) sii∈ {1, . . . , n}, j ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

(A₃·B₁+A₄·B₃)_(i−n)j sii∈ {n+ 1, . . . , n+p}, j ∈ {1, . . . , q}

(A₃·B₂+A₄·B₄)(i−n)(j−q) sii∈ {n+ 1, . . . , n+p}, j ∈ {q+ 1, . . . , q+r}

=

A₁·B₁+A₂·B₃ A₁·B₂+A₂·B₄ A₃·B₁+A₄·B₃ A₃·B₂+A₄·B₄

ij

On a donc bien l'égalité demandée. La dernière chose à montrer est une conséquence directe de cette formule.

4