Universit´e PIERRE ET MARIE CURIE 2010-2011
L2 Math´ematiques Module LM220
Correction de l’Examen de Janvier 2011 (deuxi`eme session)
Exercice 1. Pour les deux premi`eres congruences, on ´ecrit 1 = 7 −2× 3, et donc x= 7×2−2×3×5≡5 mod 21 . Ensuite, on a 13×21 = 273, et 1 = 5×21−8×13, d’o`u x≡9×5×21−5×8×13 mod 273, soit x≡152 mod 273.
Exercice 2. On a 88 = 11×23.
a) On a 115 = 11×10 + 5 donc 3115≡35 mod 11 = 243 mod 11 = 1 mod 11.
On a aussi 5115 ≡55 mod 11 ≡3125 mod 11 ≡1 mod 11, d’o`u X = 3115+ 5115≡2 mod 11.
b) φ(8) = 4, 115 = 28×4 + 3, d’o`u : 3115 ≡33 mod 8 = 27 mod 8 = 3 mod 8,
5115 ≡53 mod 8 = 125 mod 8 = 5 mod 8 d’o`uX ≡0 mod 8 .
On a 1 = 3×11−4×8 d’o`u X = 0×3×11−2×4×8 =−2×4×8 = 24 mod 88.
Exercice 3. Soit p > 1 un nombre premier divisant ab ; le nombre p divise a ou b, par exemple a. Il est alors premier avec b, donc il ne peut diviser a+b. On en d´eduit que pgcd(a, b) = 1.
Exercice 4 (Entiers de Gauss).
1. 1625 = 53×19. Comme 5 et 19 sont congrus `a 1 modulo 4, d’apr`es le cours 1625 s’´ecrit comme somme de deux carr´es. 347, 349 sont premiers : 347 est congru `a 3 modulo 4 donc il n’est pas somme de deux carr´es. 349 est congru `a 1 modulo 4 donc il est somme de deux carr´es. Finalement 1625 = 352+ 202 et 349 = 182 + 52. 2. Supposons p=s2+t2 =a2+b2. Alors (s+ti)(s−ti) = (a+bi)(a−bi) avec s±ti eta±bi des entiers de Gausspremiers, d’apr`es le cours. Par le lemme d’Euclide, (s+ti) divise (a+bi) ou (a−bi), c’est-`a-dire (s+ti) est associ´e `a (a+bi) ou (a−bi) ce qui implique que{s2, t2}={a2, b2}.
3. On n’a pas l’unicit´e si pn’est pas premier. Par exemple 50 = 52+ 52 = 11+ 72. Exercice 5 (Codes correcteurs).
1. L’anneau K est un corps si et seulement si P est irr´eductibles dans F2[X]. Des exemples d’un tel polynˆome sont X2+X+ 1 et X3+X+ 1.
2. L’anneau K est de dimension r en tant queF2-espace vectoriel et donc de cardinal 2r.
3. On a K∗ =K\ {0} puisque K est un corps. On a donc card(K∗ = 2r−1 et α est d’ordre (multiplicatif) 2r−1.
4. L’image par f dui-i`eme vecteur de base ei de Fn2 est αi (1≤i≤2r−1) ; tous les
´el´ements deK sont donc dans l’image de f puisque K ={0, α, α2, . . . , αn}.
Commef est surjective, on a dim C = n−r.
5. Les colonnes de la matrice H sont les images αi par f des vecteurs de base ei (d´evelopp´ees dans la base de K). Elles sont donc non nulles et distinctes deux `a deux (carαi 6= 0 ∀i, etαi 6=αj pouri6=j et 1≤i, j ≤n−1 car sinon on aurait, si par exemplej > i,αj−i = 1 avec 0< j−i < n ce qui est impossible). Les colonnes de H sont donc n vecteurs de K non nuls et distincts deux `a deux ; ce sont donc tous les vecteurs non nuls de K puisque card(K) = 2r.
6. Soit d la distance minimale de C ; on a d ≥ 3 puisque deux colonnes d’indices diff´erents sont non nulles et diff´erentes, donc lin´eairemet ind´ependantes sur F2. D’autre part si i 6=j et si ci d´esigne la colonne d’indice i, le vecteur ci +cj est un vecteur non nul de K, donc une colonneck deH par la question pr´ec´edente ; on a donc d≤3 puisque les colonnesci, cj etck sont lin´eairement d´ependantes.
Sit d´esigne la capacot´e de correction du code C, on a ainsi t= d−12 = 1.
